2021-2021版高中数学第三章数系的扩充与复数章末复习课学案新人教B版选修2-2

1、第三章数系的扩充与复数理网络明结构植念r-实部与实部HI等噬部虚部川等复啟的分类R)虎独血叮纯虔irrijis时;、除址平而上的点尿平新向鼠曲时应英系値数的几何庖覚毎散内叩崔试的几何总史探题型提能力数. 实数x取什么值时，复数 z = (x2+ x 6) + (x2 2x 15)i是：实数；虚数；纯虚 数；零.解 当x2 2x 15= 0,即卩x = 3或x= 5时，复数z为实数； 当x2 2x 15工0,即卩xm 3且x5时，复数z为虚数； 当x2 + x 6= 0且x2 2x 15m 0,即卩x = 2时，复数z是纯虚数； 当x2 + x 6= 0且x2 2x 15 = 0，即x = 3时

2、，复数z为零.题型二数形结合思想的应用例2 等腰梯形 OAB啲顶点A B在复平面上对应的复数分别为1+ 2i， 2+ 6i , OA/ BC求顶点C所对应的复数乙解设 z = x+ yi , x, y R,如图.1B/y丄/ 一 0-2-11XOA/ BC | OC = | BA ,. koA= kBC, I Zc| = | Zb Za| ,2 y 6即1 x+ 2x2+ y2= 3 2+ 42,X1 = 5X2= 3解得或y1= 0y2= 45M| BC ,X2= 3, y2 = 4(舍去),故 z= 5.反思与感悟 数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法. 本章中，复数本身

3、的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的表达.它们得以相互转化.涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等.跟踪训练2复数 乙=i(1 i) 3.(1)求1乙| ；假设| z| = 1，求| z Z1|的最大值.解 (1)| Z1| = |i(1 i) 3| = |i| |1 i| 3= 2 2. 如下图，由|z| = 1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1,圆心为0(0,0)的圆，而 乙对应着坐标系中的点 Z(2，- 2).所以|z zi|的最大值可以看成是点 乙(2 , - 2) 到圆上的点的距离的最大值.由图知|z-zi|max= |

4、 zi| + r(r为圆半径)=2 ：2 + 1.题型三转化与化归思想的应用例3z是复数，z+ 2i ,1均为实数，且(z+ ai) 2的对应点在第一象限，求实数a2 i的取值范围.解设 z = x+ yi( x, y R),那么 z+ 2i = x+ (y + 2)i 为实数，二 y= 2.zx 2i 1又 2 =厂=5(x 2i)(2 + D1 1=5(2x + 2) + 5(x 4)i 为实数， x = 4. z= 4 2i ,又(z + ai) 2= (4 2i + ai) 2= (12 + 4a a2) + 8( a 2)i 在第一象限.212+ 4a a0，解得 2a0实数a的取值

5、范围是(2,6).反思与感悟在求复数时，常设复数z= x+ yi( x, y R)，把复数z满足的条件转化为实数x, y满足的条件，即复数问题实数化的根本思想在本章中非常重要.跟踪训练3x, y为共轭复数，且(x+ y)2 3xyi = 4 6i，求x, y.解 设 x = a+ bi( a, b R)，贝U y = a bi.2又(x + y) 3xyi = 4 6i , 4a 3(a + b)i = 4 6i ,4a2= 4,2 . 2a + b = 2,a= 1,b= 1a= 1,或b= 1a= 1, 或b= 1a= 1, 或b= 1.x= 1 + i , 或.y= 1 ix= 1 i

6、, 或y= 1 + i.题型四类比思想的应用 复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，只要注意i2=- 1.在运算的过程中常用来降幕的公式有(1)1的乘方:4k4k + 14k +24k + 3i = 1, I = I , I = 1, I = i( k Z)；2(1 i) = 2i ；1 33“2“2123n“3n + 1(3)设 3 = 二土匕I，贝U 3 = 1,3 = 3 ,+ 3+ 3= 0 ,= 3,3 = 1,3=3(n N2 23+ )等；(4) ( 2#1)3= 1；(5) 作复数除法运算时

7、，有如下技巧:a+ bia+ bi ia+ bi i解(1)方法一 (1 1)(肩)(1 +1)b aib aiI a+ bi=(2+导 + 2i -申2)。+ i)=(宁 + 1)(1 +1)=1 +! i + i2 + 2 + 2,3+1.2+ T1=1 + I： 3i.方法二 原式=(1 1)(1 + 1)( 2 + #i)21131-43厂=(1 i )( 2+)=2( 2+R = 1 + .3(2) 2作 1 + (2-)1 + 2、.3i 1 I2 0061 0032,3 + I I2厂+10031 + 2 3I I 2i2,3 + II 2 31=i = i i = 0.i=i，

8、利用此结论可使一些特殊的计算过程简化.反思与感悟 复数的运算可以看作多项式的化简，加减看作多项式加减，合并同类项，乘法和除法可看作多项式的乘法.跟踪训练4计算:1 2i1+ i2 0111 i2+ i 1 i1 2i2-+2 0111 i2+ i 2i1 i 2i 1 + i= + 1 2ii1 i22 4i 1 3i 1 + i= + 1 2i i2=2 (i + 3) i = 1 2i.呈重点、现规律高考对本章考查的重点1 对复数的概念的考查是考查复数的根底，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、 共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念.2对复数四那么运算的考查可能性较大，要加以重视，其

9、中复数的乘法运算与多项式的乘法 运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数最后整理成 bi( a, b R)的结构形式.3对复数几何意义的考查在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的 几何意义、复数加减法的几何意义.题型一分类讨论思想的应用例1实数k为何值时，复数(1 + i) k* 2(3 + 5i) k 2(2 + 3i)满足以下条件？ 是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数.解 (1 + i) k2 (3 + 5i) k 2(2 + 3i) = (k2 3k 4) + (k2 5k 6)i.(1)当k2 5k 6= 0,即卩k= 6或k= 1时，该复数为实数.当k2 5k 6工0,即卩kM6且kM 1时，该复数为虚数.2k 5k 6 m 0,(3) 当2即k= 4时，该复数为纯虚数.k 3k 4= 0,反思与感悟当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论.分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数.当x + yi没有说明x, y R时，也要分情况讨论.跟踪训练1(1)假设复数(a2 a2) + (|a 1| 1)i( a R)不是纯虚数，那么()A. a = 1B. aM 1 且 aM2C