2021-2021版高中数学第三章函数的应用3.3幂函数学案苏教版必修1

1、3.3幕函数【学习目标】1.理解幕函数的概念 2学会以简单的幕函数为例研究函数性质的方法3理解和掌握幕函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幕函数的有关问题.问题导学知识点一幕函数的概念 思考 y = 1, y = x, y = x2三个函数有什么共同特征?z.梳理 一般地，我们把形如 的函数称为幕函数，其中X是自变量，a是常数.知识点二五个幕函数的图象与性质11 .在同一平面直角坐标系内函数(1) y = x； (2) y= x2 ； (3) y= x2;y= x_1； (5) y= x3的图象如图.2 五个幕函数的性质y= x2y= x3y = x1 y=x-1y = x定义域

2、值域奇偶性单调性增在0,+上,在8, 0上在0 , +8上,在-8, 0上知识点三一般幕函数的图象特征思考 类比y = x3的图象和性质，研究 y = x5的图象与性质.梳理一般幕函数特征 所有的幕函数在(0,+ )上都有定义，并且图象都过点 .a 0时，幕函数的图象通过 ，并且在区间0,+)上是单调 函数特别地，当a 1时，幕函数的图象 ；当0a 1)，它同各幕函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幕指 数按从 到的顺序排列.类型一幕函数的概念2例1y= (mi+ 2m- 2) xm 2 + 2n- 3是幕函数，求 m, n的值.反思与感悟 幕函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解

3、析式右边的系数为23x1，底数为自变量X,指数为一常数这三个条件，才是幕函数如：y = 3x , y = (2x) , y= ?4都不是幕函数.跟踪训练11 2在函数 y=x2, y=2x，y= x2+ x,y= 1中，幕函数为类型二幕函数的图象及应用1x为何例2假设点(2, 2)在幕函数f(x)的图象上，点(2 , 4)在幕函数g(x)的图象上,值时,(1) f(x)g(x) ； (2) f(x) = g(x) ; (3) f(x)g x ,反思与感悟 注意此题中对f(x) g(x) , f(x) = g(x)的几何解释.这种几何解释帮助我们从 图形角度解读不等式方程，是以后常用的方法.跟踪

4、训练2 幕函数y = x“( a工0)，当a取不同的正数时，在区间0,1上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1,0) , B(0,1)，连结AB线段AB恰好被其中的两个幕函数y=x “，y= x $的图象三等分，即有 BM= MN= NA那么a等于.类型三幕函数性质的综合应用命题角度1比拟大小a=2 2 2 -(3)3，b=矣，c=(2)2，那么a, b, c的大小关系是5反思与感悟 此类题在构建函数模型时要注意幕函数的特点：指数不变.比拟大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥法进行分组，常数量.跟踪训练3 比拟以下各组数中两个数的大小.0和1是常用的中间(1)2

5、10.3 ,与_30.32 0.32与(0.3)5.命题角度2幕函数性质的综合应用例4幕函数y = x3m9 ( m N)的图象关于y轴对称且在(0 ,+)上单调递减，求满足mm(a+1)衣(3 2a) 3的a的取值范围.反思与感悟 幕函数y= x 中只有一个参数 a ,幕函数的所有性质都与 a的取值有关，故 可由a确定幕函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制a的取值.1. 2 *跟踪训练4 幕函数f(x) = xm m ( m N).(1) 试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； 假设函数还经过点(2 , ,2)，试确定m的值，并求满足f(2 a)f(a

6、1)的实数a的取值范 围.k+ a等于2.幕函数f(x)的图象经过点(2 ,，贝U f(4)的值等于1 a3 .设a 1,1 , 2, 3，那么使函数y = X的定义域为R的所有a的值为24以下是y = x3的图象的是.(填序号)5.以下结论正确的选项是. 当a = 0时，函数y = X的图象是一条直线； 幕函数的图象都经过(0,0) , (1,1)两点； 假设幕函数y = x的图象关于原点对称，那么 y = x在定义域内y随x的增大而增大； 幕函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限.规律与方法1幕函数y = xa( a R)，其中a为常数，其本质特征是以幕的底X为自变量，指数 a为常数

7、，这是判断一个函数是不是幕函数的重要依据和唯一标准.(1)当2 幕函数y=x 的图象与性质由于a的值不同而比拟复杂，一般从两个方面考查：a 0时，图象过点0,0 , 1,1，在第一象限的图象上升；当 a 1时，曲线下凸;当0 a 1时，曲线上凸；当a 0时，曲线下凸.13在具体应用时，不一定是y = X“，a =- 1, 2，1,2,3这五个已研究熟的幕函数，这时可根据需要构造幕函数，并针对性地研究某一方面的性质.合案精析问题导学知识点一思考底数为X,指数为常数.梳理ay = x知识点二2. R R R 0, +1x|xm0 R 0 , +s) R 0, +)y|y工0 奇偶奇非奇非偶 奇增减

8、增增减减50x1 时，X =知识点三思考 y = x3与y= x5的定义域、值域、单调性、奇偶性完全相同只不过当32353X x 1 时，X = X梳理 (1)(1,1)(2)原点题型探究2m+ 2 m- 2= 1, 例1解由题意得2n-3= 0,m=- 3 或 1,解得 3n=2，所以 m=- 3 或 1, n= |.1跟踪训练1 y= 7解析 因为y =1 = x-2,所以是幕函数;2 y = 2x由于出现系数2,因此不是幕函数；y = X2 + X是两项和的形式，不是幕函数； y= 1 = x0(x工0)，可以看出，常数函数 y = 1的图象比幕函数y= x0的图象多了一个点(0,1),

9、所以常数函数y = 1不是幕函数.例2解 设f(x) = X ，因为点(,2, 2)在幕函数f(x)的图象上，所以，将点 C 2, 2)代入 f (X) = X 中，得 2= ( ,2)，解得 a = 2,贝 y f (X) = X2.同理可求得 g(x) = X-2.在同一坐标系里作出函数f (x) = x (-) ap =( 和g(x)= x-2的图象(如下图)，观察图象可得:(1) 当 x1 或 xg(x)；(2) 当 x = 1 或 x= 1 时，f (x) = g(x);当一1x1 且 xm0 时，f(x)ac2 x 、 解析 t y= 3在R上为单调减函数,ac. bac.跟踪训练3 解 (1) T 00.33,/ y= x1在(s, 0)上是单调减函数,2 !33 5(3) I y= x0.3在(0,+s)上为单调增函数,由 |0.3，可得 2550.30.30.3.又y = 0.3 x在(s,+s)上为单调减函数, 0.3 0.3(0.3)5.2 1 由知5 0.3 (0.3)5.例4 解 因为函数在(0 ,+s)上单调递减，所以3m 90,解得m3.又因为N m+ m= 2,解得m= 1或m= 2(舍去),，所以mi= 1,2.因为函数的图象关于y轴对称，所以3m 9为偶数，故n= 1.1 1那