自动控制原理-第4章-课件

1、第四章第四章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 4.2 常规根轨迹的绘制法则常规根轨迹的绘制法则1精品培训课件PPT4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念 一根轨迹图一根轨迹图根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数由根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数由零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在（即闭环极点）在S S平面上变化的轨迹。平面上变化的轨迹。2)s(sK)H(G(s)rs例例4-1 4-1 已知一单位负反馈系统的开环传递已知一单位负反馈系统的开环传递函数为函数为试分析该系统的特征方

2、程的根随系统参数试分析该系统的特征方程的根随系统参数KrKr 的变化在的变化在s s平面上的分布情况。平面上的分布情况。2精品培训课件PPT 解解 系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数r2rKs2sKH(s)G(s)1G(s)R(s)C(s)(s)0Ks2sr2系统的特征方程为系统的特征方程为rrKs11,K11s21特征方程的根是特征方程的根是设设Kr的变化范围是的变化范围是0, ，2s , 0s210rK当当 时时, ;2s10rK1s当当 时，时， 与与 为不相等的两个负实根；为不相等的两个负实根；1ss211rK当当 时，时， 为等实根；为等实根；3精品培训课件PPT 该系统特征方程的

3、根随开环系统参数该系统特征方程的根随开环系统参数 从零从零变到无穷时在变到无穷时在S S平面上变化的轨迹如平面上变化的轨迹如图图4-14-1所示。所示。rKrKrK1K1s2, 1rj当当1 1 11时时，特征方程有一对共轭复根，特征方程有一对共轭复根，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随尼振荡过程，振荡幅度或超调量随KrKr值值的增加而加大，但调节时间不会有显著的增加而加大，但调节时间不会有显著变化。变化。j-2-10rKrK01rKP02rKP1rKs7精品培训课件PPT 由根轨迹可见：由根轨迹可见：KrKr值的变化对闭环系统特

4、征方程的影响，值的变化对闭环系统特征方程的影响，系统参数对系统性能的影响。系统参数对系统性能的影响。 上例中，根轨迹图是用解析法作出的，二阶系统易于用上例中，根轨迹图是用解析法作出的，二阶系统易于用解析法求解，但求解高阶系统特征方程的根就较为困难。解析法求解，但求解高阶系统特征方程的根就较为困难。若若要研究要研究高阶高阶系统参数的变化对闭环系统特征方程根的系统参数的变化对闭环系统特征方程根的影响，需进行大量反复的计算。影响，需进行大量反复的计算。 19481948年伊文斯（年伊文斯（W WR REVANSEVANS）解决了这个问题，提出了解决了这个问题，提出了根根轨迹法轨迹法。该。该方法是根据

5、系统的开、闭环传递函数之间的方法是根据系统的开、闭环传递函数之间的关系，根据一些准则，直接由开环传递函数的零、极点关系，根据一些准则，直接由开环传递函数的零、极点求出闭环极点（闭环特征根）。求出闭环极点（闭环特征根）。8精品培训课件PPT三、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系三、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系 通常系统的开环零、极点是已知的，因此建立开环零、通常系统的开环零、极点是已知的，因此建立开环零、极点与闭环零、极点之间的关系，有助于闭环系统根轨极点与闭环零、极点之间的关系，有助于闭环系统根轨迹的绘制。迹的绘制。 设控制系统如设控制系统如图图4-24-2所示，其闭环传递函数为所示

6、，其闭环传递函数为 )14()()(1)()(sHsGsGs图图4-2 4-2 控制系统控制系统9精品培训课件PPT前向通路传递函数前向通路传递函数G(sG(s) )24()()()1()1()(11*11qiifiiGqiifiiGpsszsKsTssKsG)34()()()1()1()(11*11hjjljjHhjjljjHpszsKsTsKsH前向通前向通路增益路增益前向通路根前向通路根轨迹增益轨迹增益反馈通反馈通路增益路增益反馈通路根反馈通路根轨迹增益轨迹增益反馈通路传递函数反馈通路传递函数H(sH(s) )10精品培训课件PPT系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 )44()()

7、()()()()(1111*qihjjivfiljjipspsszszsKsHsG)54()()()()()(1*111*mjjniihjjfiizsKpsspszsKsG*HGKKK为开环系统的根轨迹增益；为开环系统的根轨迹增益；hqn为开环系统的极点数。为开环系统的极点数。为开环系统的零点数，为开环系统的零点数，lfm将式（将式（4-24-2）和（）和（4-44-4）代入（）代入（4-14-1）可得）可得 11精品培训课件PPT比较式（比较式（4-44-4）和式（）和式（4-54-5），可得以下结论：），可得以下结论：(1)(1)闭环系统根轨迹增益闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路，

8、等于开环系统前向通路根轨迹增益。根轨迹增益。(2)(2)闭环零点闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点组成；对于单位反馈系馈通路传递函数的极点组成；对于单位反馈系统闭环零点就是开环零点。统闭环零点就是开环零点。 (3)(3)闭环极点闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增与开环零点、开环极点以及根轨迹增益益 均有关。均有关。*K)44()()()()()()(1111*qihjjivfiljjipspsszszsKsHsG)54()()()()()(1*111*mjjniihjjfiizsKpsspszsKsG12精品培训课件PPT 根轨迹

9、法的基本任务在于：根轨迹法的基本任务在于：如何由已知的如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点图解的方法找出闭环极点, ,并根据闭环极点并根据闭环极点的分布对系统性能进行分析。的分布对系统性能进行分析。13精品培训课件PPT根轨迹是系统所有闭环极点的集合。根轨迹是系统所有闭环极点的集合。系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为即即 0) s (H) s (G11)s (H)s (G根轨迹方程是向量方程，可用模和相角的形式表示根轨迹方程是向量方程，可用模和相角的形式表示)0,1,2,(ke1e|H(s)G(s)|)12j(H(s)

10、G(s)jk4 4、根轨迹方程、根轨迹方程14精品培训课件PPTn1iim1jj*)(s)(sKH(s)G(s)pz设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为模值条件模值条件*m1jjn1iiK|s |s |zp相角条件相角条件)2,1,0,(k)1k2()(s)(sn1iim1jjpz15精品培训课件PPT 综上分析，可以得到如下结论：综上分析，可以得到如下结论： 绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益 值值 的大小无关。即在的大小无关。即在s s平面上，所有满足相角条件点的集合平面上，所有满足相角条件点的集合构成系统的根轨迹图。即构成系统的根轨迹

11、图。即相角条件是绘制根轨迹的充分必相角条件是绘制根轨迹的充分必要条件要条件 。 绘制根轨迹的模值条件与系统开环根轨迹增益绘制根轨迹的模值条件与系统开环根轨迹增益K K* *值的大值的大小有关。即小有关。即K K* *值的变化会改变系统的闭环极点在值的变化会改变系统的闭环极点在s s平面上的平面上的位置。位置。 若系数参数全部确定，则凡能满足相角条件和模值条件若系数参数全部确定，则凡能满足相角条件和模值条件的的s s值，就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环极点。值，就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环极点。 由于相角条件和模值条件只与系统的开环传递函数有关，由于相角条件和模值条件只与系统的开

12、环传递函数有关，因此，因此，已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图。已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图。*K16精品培训课件PPT一、常规根轨迹的绘制法则一、常规根轨迹的绘制法则以开环根轨迹增益以开环根轨迹增益K K* *为可变参数绘制的根轨迹叫做为可变参数绘制的根轨迹叫做普通根普通根轨迹轨迹（或一般根轨迹）。（或一般根轨迹）。绘制普通根轨迹的基本规则主要有绘制普通根轨迹的基本规则主要有7 7条：条：1.1.根轨迹的起点与终点；根轨迹的起点与终点；2.2.根轨迹的分支数；根轨迹的分支数；3.3.实轴上的根轨迹；实轴上的根轨迹；4.4.根轨迹的渐近线；根轨迹的渐近线；5.5.根轨迹在实轴

13、上的分离点；根轨迹在实轴上的分离点；6.6.根轨迹的起始角和终止角；根轨迹的起始角和终止角；7.7.根轨迹与虚轴的交点。根轨迹与虚轴的交点。4.2 常规根轨迹的绘制法则常规根轨迹的绘制法则17精品培训课件PPT 规则一规则一 根轨迹的起点和终点。根轨迹的起点和终点。0)()(1*1mjjniizsKps0K*n),1,2,(isii p*Km),1,2,(jsjj z0)()(111*mjjniizspsK18精品培训课件PPT结论：结论：根轨迹起始于开环极点（根轨迹起始于开环极点（K K* *=0=0），终止于开），终止于开环零点（环零点（K K* *) )；如果如果nmnm，则有，则有n-

14、mn-m条根轨迹终止于条根轨迹终止于s s平面的平面的无穷远处无穷远处( (无限零点无限零点) )，如果如果 nmn m m时，系统有时，系统有n-mn-m条根轨迹终止于条根轨迹终止于S S平面的无平面的无穷远处，这穷远处，这n-mn-m条根轨迹变化趋向的直线叫做条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨根轨迹的渐近线。迹的渐近线。 渐近线有渐近线有n-mn-m条，且它们交于实轴上的一点。条，且它们交于实轴上的一点。mnzpmjjniia111mn,0,1,2,kmn1k2aaa 渐近线与实轴的渐近线与实轴的交点位置交点位置 和与和与实轴正方向实轴正方向的交的交角角 分别为分别为21精品培训课件PPT 在

15、例在例4-14-1中，开环传递函数为中，开环传递函数为 1rK2)s(sKH(s)G(s)r122a0)(k21)(k23开环极点数开环极点数n=2,n=2,开环零点数开环零点数m=0,n-m=2,m=0,n-m=2,两条渐两条渐近线在实轴上的交点位置为近线在实轴上的交点位置为它们与实轴正方向的交角分别为它们与实轴正方向的交角分别为 和和 ，两条渐近线正好与，两条渐近线正好与 时时的根轨迹重合。的根轨迹重合。22精品培训课件PPT例例4-2 4-2 已知单位负反馈系统的开环传递函数为已知单位负反馈系统的开环传递函数为 试画出该系统根轨迹的渐近线。试画出该系统根轨迹的渐近线。解解 对于该系统有对

16、于该系统有n=4n=4，m=1m=1，n-m=3n-m=3；三条渐；三条渐近线与实轴交点位置为近线与实轴交点位置为 4)1)(s(ss2)(sKH(s)G(s)2r13241a0)(k31)(k 2)(k3它们与实轴正方向的交角分别是它们与实轴正方向的交角分别是23精品培训课件PPT图图4- -3 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线j-4-3-2-10BCAa6060300a18024精品培训课件PPT 规则四规则四 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 实轴上某一区域，若其右边开环零、极点实轴上某一区域，若其右边开环零、极点的个数之和为奇数，则该区域是实轴上的根轨的个数之和为奇数，则该区域是实轴上的根轨迹

17、。迹。25精品培训课件PPT分离点的坐标分离点的坐标d d是下列方程的解是下列方程的解 式中，式中，Z Zj j为开环零点的值，为开环零点的值，P Pi i为开环极点的值。为开环极点的值。n1iim1jjP1Z1dd01m1jjzd当开环系统无有限零点时，应取当开环系统无有限零点时，应取 。此时，分离点方程即为此时，分离点方程即为011niipd只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离点。只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离点。 规则五规则五 根轨迹的分离点与分离角根轨迹的分离点与分离角 分离点：分离点：两条或两条以上根轨迹两条或两条以上根轨迹分支在分支在s s平面上相遇又立即分开平面上相遇又

18、立即分开的点，称为根轨迹的分离点。的点，称为根轨迹的分离点。j-2-10rKrK01rKP02rKP1rKs26精品培训课件PPT 分离角为分离角为) 1,1 ,0() 12(lklk分离角：根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离角：根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。分离点的切线方向之间的夹角。l 为根轨迹进入并离开分离点的分支数，一般为根轨迹进入并离开分离点的分支数，一般l=2,分离角为直角。分离角为直角。27精品培训课件PPT 常见的根轨迹分离点是位于实轴上两条根轨迹分支常见的根轨迹分离点是位于实轴上两条根轨迹分支的分离点。的分离点。 若根轨迹位于实轴上两个相邻的开

19、环极点之间（其若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间（其中一个可以是无限极点），则在这两个极点之间至中一个可以是无限极点），则在这两个极点之间至少存在一个分离点；若根轨迹位于实轴上两个相邻少存在一个分离点；若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一个可以是无限零点），则的开环零点之间（其中一个可以是无限零点），则在这两个零点之间也至少有一个分离点。如在这两个零点之间也至少有一个分离点。如图图4-54-5上的分离点上的分离点d d1 1和和d d2 2 。 分离点也可能以共轭形式成对出现在复平面上，如分离点也可能以共轭形式成对出现在复平面上，如图图4-64-6中的分离点中的分离点A A和

20、和B B。28精品培训课件PPT图图4- -5 实轴上根轨迹的分离点实轴上根轨迹的分离点 j-4-3-2-101d2d分离点j4p3p1p2pAB0s图图4- -6 复平面上的分离点复平面上的分离点 29精品培训课件PPT例例4-4 4-4 已知单位负反馈系统的开环传递函数为已知单位负反馈系统的开环传递函数为试求出系统根轨迹与实轴的交点。试求出系统根轨迹与实轴的交点。 解：本系统无有限开环零点，解：本系统无有限开环零点， 可得可得 或令或令 解出解出 3)2)(s1)(s(sKH(s)G(s)r0312111ddd0111232dd得1.421d2.582d2.582d由规则四知，实轴上的根轨

21、迹为由规则四知，实轴上的根轨迹为-1-1到到-2-2线段和线段和-3-3到到-线段。线段。 不在上述两线段上，应舍去。不在上述两线段上，应舍去。1.421d 是实轴根轨迹上的点，所以是根轨迹在实是实轴根轨迹上的点，所以是根轨迹在实轴上的分离点。轴上的分离点。0)3)(2(1sdsdsdss30精品培训课件PPT图图4-7 4-7 根轨迹的分离点根轨迹的分离点 j0-1-2-31P2P3P1d2drKrK31精品培训课件PPT 规则六规则六 起始角与终止角起始角与终止角 起始角起始角 根轨迹根轨迹离开离开开环复数极开环复数极点点处在切线方向与实轴正方向的夹角。参看处在切线方向与实轴正方向的夹角。

22、参看图图4-84-8（a a）中的）中的 和和 。 终止角终止角 根轨迹根轨迹进入进入开环复数开环复数零点零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。参处的切线方向与实轴正方向的夹角。参看图看图4-84-8（b b）中的）中的 和和 。ip1p2piz1z2z注意：有开环复数极点，才有起始角；有开环注意：有开环复数极点，才有起始角；有开环复数零点，才有终止角，复数零点，才有终止角，32精品培训课件PPT图4-8(a) 根轨迹的起始角和终止角 j3P2P1P0s1p2p33精品培训课件PPTjs1z2z1p2p1z2z0图4-8(b) 根轨迹的起始角和终止角 34精品培训课件PPT, 2, 1, 0);

23、() 12(n)(lm1jpkkijjpppziijij, 2, 1, 0);() 12(nlm)(1jkkjzpijzzziijij35精品培训课件PPT)p)(sps(s)z(sKH(s)G(s)211r1p2p例例4-5 4-5 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 且且p p1 1和和p p2 2为一对共轭复数极点，为一对共轭复数极点，p p3 3和和 z z1 1分别为实极点分别为实极点和实零点，它们在和实零点，它们在s s平面上的分布如图平面上的分布如图4-94-9所示。试依所示。试依据相角条件求出根轨迹离开开环复数极点据相角条件求出根轨迹离开开环复数极点p p1 1和

24、和p p2 2 的起的起始角始角 和和 。36精品培训课件PPT图图4- -9 起始角起始角 的求取的求取 1psj1z1p2p3p)(31pp )(21pp )(11zp 01pA)p(p)p(p)z(p180312111p137精品培训课件PPT规则七规则七 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 js 0jHjG10jHjG1IjHjG1Rme0jHjG1Im0jHjG1Re解虚部方程可得角频率解虚部方程可得角频率 ，即，即根轨迹与虚轴的根轨迹与虚轴的交点的坐标值交点的坐标值；用；用 代入实部方程，可求出代入实部方程，可求出系系统开环根轨迹增益的临界值统开环根轨迹增益的临界值 。 的物理含

25、的物理含义是使系统由稳定（或不稳定）变为不稳定（或义是使系统由稳定（或不稳定）变为不稳定（或稳定）的系统开环根轨迹增益的临界值。稳定）的系统开环根轨迹增益的临界值。ccrcKrcK根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。用虚根（实部为零）。用 代入特征方程可得代入特征方程可得 即即由此可得虚部方程和实部方程为由此可得虚部方程和实部方程为38精品培训课件PPT例例4-6 4-6 试求出例试求出例4-44-4中根轨迹与虚轴的交点中根轨迹与虚轴的交点 及相及相应的开环根轨迹增益的临界值应的开环根轨迹增益的临界值 。crcK解解 由例由例4

26、-44-4知系统的开环传递函数为知系统的开环传递函数为其特征方程是其特征方程是令令 并代入特征方程得并代入特征方程得3)2)(s1)(s(sKH(s)G(s)r06Ks11s6sr2306K11j6jr23 js其虚部和实部方程分别为其虚部和实部方程分别为066K0112r33 . 3110321、（舍去）（舍去）（根轨迹与虚轴的两个交点）（根轨迹与虚轴的两个交点）39精品培训课件PPT 将将 代入实部方程便可求出代入实部方程便可求出系统开环根轨迹增益的临界值系统开环根轨迹增益的临界值 。 3.3112,360KrccrcK当系统的当系统的阶次较高时，阶次较高时，可可用劳斯判据求用劳斯判据求出

27、系统开出系统开环根轨迹增益的临界值环根轨迹增益的临界值 和根轨迹与虚轴的交和根轨迹与虚轴的交点点 。40精品培训课件PPT图图4- -10 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 jss1p2p3p-1-1-2-2-3-30 0)60( 3 . 3 rcKjrKd rK)60( 3 . 3 rcK-j41精品培训课件PPT 以上七条规则是绘制根轨迹图所必须遵循的基本规以上七条规则是绘制根轨迹图所必须遵循的基本规则。此外，尚须注意以下几点规范画法。则。此外，尚须注意以下几点规范画法。 根轨迹的根轨迹的起点起点（开环极点开环极点p pi i ) )用符号用符号“ ” ”标示；标示；根轨迹的根轨迹的终

28、点终点( (开开环零点环零点z zj j ) )用符号用符号“ o o ” ”标示。标示。 根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益K Kr r值值的增加而运动的，的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向要用箭头标示根轨迹运动的方向。 要要标出一些特殊点的标出一些特殊点的KrKr 值值，如起点（，如起点（ Kr=0Kr=0 ) )，终，终点（点（ KrKr ) )；根轨迹在实轴上的分离点根轨迹在实轴上的分离点d d ；与虚轴的与虚轴的交点交点 。还有一些要求标出的闭环极点及其对应的开环根。还有一些要求标出的闭环极点及其对应的开环根轨迹增益，也应在根轨

29、迹图上标出，以便于进行系统的轨迹增益，也应在根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析与综合。分析与综合。42精品培训课件PPT例例4-7 4-7 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统完整的根轨迹图试绘制该系统完整的根轨迹图。 解解 该系统的特征方程为该系统的特征方程为)2s)(1s(sK)s(H)s(Gr0Ks2s3sr23三、绘制根轨迹图示例三、绘制根轨迹图示例(3)(3)由规则二知，由规则二知，该系统有三条根轨迹在该系统有三条根轨迹在s s平面平面上上三条根轨迹连续且对称于实轴。三条根轨迹连续且对称于实轴。0p11p22p3由规则一知，根轨迹的起点是该系统的三个由规则

30、一知，根轨迹的起点是该系统的三个开环极点，即开环极点，即 由于没有开环零点（由于没有开环零点（m=0m=0）, , 根轨迹的终点均根轨迹的终点均在无穷远处。在无穷远处。43精品培训课件PPT 当当k=0k=0时时 当当k=1k=1时时 当当k=2k=2时时 10321mnzpjiamn1k2a603a180a6035a由规则三知，可求出根轨迹三条渐近线的交点位置和由规则三知，可求出根轨迹三条渐近线的交点位置和它们与实轴正方向的交角。它们与实轴正方向的交角。44精品培训课件PPT 由规则五知，实轴上的根轨迹为实轴上由规则五知，实轴上的根轨迹为实轴上 到到 的线段和由的线段和由 至实轴上负无穷远线

31、段。至实轴上负无穷远线段。 由规则六知，根轨迹与实轴的交点（分离点）是由规则六知，根轨迹与实轴的交点（分离点）是方程方程 经试探法解得经试探法解得 1p2p3p42. 01d 无复数开环极点和零点，不存在起始角和终无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角。止角。 012111ddd45精品培训课件PPT解虚部方程得解虚部方程得0)2( j3K32r0123 , 2其中其中 是开环极点是开环极点 对应的坐标值，它是根轨对应的坐标值，它是根轨迹的起点之一。合理的交点应为迹的起点之一。合理的交点应为将将 代入实部方程得到对应的开环根轨迹增代入实部方程得到对应的开环根轨迹增益的临界值益的临界值 。绘

32、制出系统的根轨迹图如图。绘制出系统的根轨迹图如图4-114-11所示。所示。011p23 , 2c2c6Krc 由规则八，可求出根轨迹与虚轴的交点由规则八，可求出根轨迹与虚轴的交点 及对应的及对应的 开环根轨迹增益的临界值开环根轨迹增益的临界值 。用。用 代入特征方代入特征方程得程得crck js0K2 j3jr2346精品培训课件PPTj01rKP03rKP02rKPrK-1-201drKrKs6060)6(2rcKj)6(2rcKj图图4- -11 例例4- -7系统根轨迹图系统根轨迹图47精品培训课件PPT 由开环传递函数可知，该系统有一个开环实由开环传递函数可知，该系统有一个开环实零点

33、和一对开环共轭复数极点零点和一对开环共轭复数极点 , , 根轨迹根轨迹的起点为的起点为 和和 ，其终点为无穷远，其终点为无穷远点点 和和 。 )0K(pr1)K(zr11 j1p2,1)0K(pr22z1)K(r例例4-8 4-8 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。试绘制该系统的根轨迹图。2s2s)2s(K)s(H)s(G2r由规则六，可求出根轨迹与实轴的交点（分离由规则六，可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分离点方程是点）。分离点方程是解解 是一个二阶系统，在是一个二阶系统，在S S平面上有两条连续且对平面上有两条连续且对称于实轴的根轨迹。称于实轴的

34、根轨迹。由规则五知，实轴上由由规则五知，实轴上由-2-2至至-的线段为实轴上的线段为实轴上的根轨迹。的根轨迹。48精品培训课件PPT 即即 解方程可得解方程可得 不在实轴上的根轨迹上，舍去，实际的分不在实轴上的根轨迹上，舍去，实际的分离点为离点为 。02222dssssdsd0242 dd414. 31d586. 02d586. 02d1d 由规则七，可求出开环复数极点（根轨迹的起由规则七，可求出开环复数极点（根轨迹的起点）的起始角。点）的起始角。1p1359045180)pp()zp(180211113512pp49精品培训课件PPT 证明证明 已知系统的开环零点和极点分别为已知系统的开环零

35、点和极点分别为 ， ，令，令s=u+jvs=u+jv为根轨迹的任一点，为根轨迹的任一点，由相角条件可得由相角条件可得 将将s s、 、 和和 代入得代入得 即即2z11 j1p11 j1p2180)ps ()ps ()zs (2111z1p2p180)1v( j1u() 1v( j1u()jv2u(1801u1vtg1u1vtg2uvtg111应用三角公式应用三角公式yx1yxtgytgxtg111为准确地画出为准确地画出S S平面上根轨迹的图形，运用相角条平面上根轨迹的图形，运用相角条件可证明本系统在件可证明本系统在S S平面上的根轨迹是一个半径平面上的根轨迹是一个半径为为 ，圆心位于点，圆

36、心位于点 的圆弧。的圆弧。2)0j,2(50精品培训课件PPT 将上式等号左边合并可得到将上式等号左边合并可得到 将上式等号两边取正切，则有将上式等号两边取正切，则有 180)1v()1u()1u(v22uv1)1v()1u()1u(v22uvtg222210)1v()1u()1u(v22uv220v2u4u22222)2(v)2u(方程表示在方程表示在S S平面上的根轨迹是一个圆心位于点平面上的根轨迹是一个圆心位于点 、半径、半径为为 的圆弧。由此，可画出根轨迹的准确图形如图的圆弧。由此，可画出根轨迹的准确图形如图4-124-12所示。所示。)0 j , 2(251精品培训课件PPT图4-1

37、2 例4-8系统的根轨迹图 js0-1-2-3)0(1rKP1p)0(2rKP2p414. 31d1d-4rK1-1)(1rKZ52精品培训课件PPT结论：结论： 由两个开环极点（实极点或复数极点）和一个开由两个开环极点（实极点或复数极点）和一个开环实零点组成的二阶系统，只要实零点没有位于环实零点组成的二阶系统，只要实零点没有位于两个实极点之间，当开环根轨迹增益两个实极点之间，当开环根轨迹增益K Kr r由零变到由零变到无穷大时，无穷大时，复平面上的闭环根轨迹，是以实零点复平面上的闭环根轨迹，是以实零点为圆心，以实零点到分离点的距离为半径的一个为圆心，以实零点到分离点的距离为半径的一个圆圆（当开环极点为两个实极点时）（当开环极点为两个实极点时）或圆的一部分或圆的一部分（当开环极点为一对共轭复数极点时）。这个结（当开环极点为一对共轭复数极点时）。这个结论在数学上的严格证明可参照本例进行。论在数学上的严格证明可参照本例进行。53精品培训课件PPT 例例4- -9 已知系统的开环传