数学物理方法教学课件无穷级数

1、2021-10-2291无穷级数无穷级数参考章节：参考章节：4.1,4.3,4.4基本练习：基本练习：p48:3,7附加练习：附加练习：p48:1,52021-10-2292复数级数考虑复数序列考虑复数序列将各项相加就得到一个复数级数：将各项相加就得到一个复数级数： ,210nnuuuuunnnuuuuu2100如果这个级数的部分和如果这个级数的部分和nnuuuus210构成的序列构成的序列 收敛，就说级数是收敛的。收敛，就说级数是收敛的。 ns0nnusnns lim叫做这个级数的和。叫做这个级数的和。2021-10-2293复数级数与实数级数将复数级数的每一项将复数级数的每一项按实部与虚部

2、分解：按实部与虚部分解：nnnui这个级数就可以改写成如下的样子：这个级数就可以改写成如下的样子：0innns00innnn一个复数级数是两个实数级数的有序组合。一个复数级数是两个实数级数的有序组合。由于这个原因，关于实数级数的收敛性的判别准由于这个原因，关于实数级数的收敛性的判别准则完全可以推广到复数级数中。则完全可以推广到复数级数中。请大家回顾实数级数的收敛性的判别方法，或参请大家回顾实数级数的收敛性的判别方法，或参考教科书相应的内容。考教科书相应的内容。2021-10-2294复数级数的收敛性级数收敛的柯西充要条件：任意给定级数收敛的柯西充要条件：任意给定 ，存，存在正整数在正整数n,使

3、对任意正整数使对任意正整数p有有0pnnnuuu21这实际上就是要求级数的通项趋于零。这实际上就是要求级数的通项趋于零。这显示在不改变求和次序的前提下，可以将收敛这显示在不改变求和次序的前提下，可以将收敛级数并项。级数并项。如果级数如果级数 收敛，则称收敛，则称 绝对收敛。绝对收敛。0nnu0nnu前一个级数是正项实数级数，任何用于判别其收前一个级数是正项实数级数，任何用于判别其收敛性的方法都可用于判别复数级数的收敛性。敛性的方法都可用于判别复数级数的收敛性。2021-10-2295级数相乘有时需要将两个或多个无穷级数乘起来：有时需要将两个或多个无穷级数乘起来：0kku0llv00kllku

4、v504030201000vvvvvvuuuuuu514131211101vvvvvvuuuuuu524232221202vvvvvvuuuuuu534333231303vvvvvvuuuuuu544434241404vvvvvvuuuuuu554535251505vvvvvvuuuuuulkn00nnkknku v2021-10-2296函数级数如果复数级数的每一项都是如果复数级数的每一项都是定义在区域定义在区域 g中的复变函数中的复变函数 zuunn所得到的级数叫做函数级数：所得到的级数叫做函数级数： 0nnzuzs若函数级数在若函数级数在 g 内的每一点都收敛，则它在内的每一点都收敛，则

5、它在 g内收敛，是内收敛，是 g 内的单值函数。内的单值函数。如果对任意给定的如果对任意给定的 ，存在一个与，存在一个与 无关的无关的整数整数 ，使得当，使得当 时，时，0z n nn nkkzuzs0则称级数在则称级数在g内一致收敛。内一致收敛。2021-10-2297一致收敛级数的性质一致收敛级数具有如下重要性质：一致收敛级数具有如下重要性质：如果级数的每一项都在区域如果级数的每一项都在区域 g内连续，和函数也内连续，和函数也在在g内连续，因而求极限与求和可以交换次序：内连续，因而求极限与求和可以交换次序： zuzukzzkzz00limlim如果级数的每一项都在区域如果级数的每一项都在区

6、域 g内一条分段光滑的内一条分段光滑的曲线上连续，则级数可以逐项求积分：曲线上连续，则级数可以逐项求积分： ckckzzuzzudd如果级数的每一项都在区域如果级数的每一项都在区域 g内单值解析，则内单值解析，则和函数是和函数是g内的解析函数，它的各阶导数可以通内的解析函数，它的各阶导数可以通过对级数逐项求导得到。过对级数逐项求导得到。2021-10-2298幂级数如果一个级数的通项是幂函数，就叫做幂级数：如果一个级数的通项是幂函数，就叫做幂级数： 0nnnazczs根据达朗贝尔判别法，如果以下的极限存在，根据达朗贝尔判别法，如果以下的极限存在，nnnuu1limnnnnnazcazc11limnnnccaz1lim1绝对收敛绝对收敛1级数发散级数发散r1ar这就确定了级数的收敛半径。这就确定了级数的收敛半径。2021-10-2299判别幂级数收敛的柯西公式如果求收敛半径的达朗贝尔公式所要求的极限不如果求收敛半径的达朗贝尔公式所要求的极限不存在，就必须改用柯西公式。存在，就必须改用柯西公式。根据柯西判别法，级数绝对收敛的条件是根据柯西判别法，级数绝对收敛的条件是nnnu lim1nnnnazc