材料力学第3章 扭转ppt课件

1、31 概述概述 32 薄壁圆筒的改动薄壁圆筒的改动33 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图34 等直圆杆在改动时的应力等直圆杆在改动时的应力 强度分析强度分析35 等直圆杆在改动时的变形等直圆杆在改动时的变形 刚度条件刚度条件36 等直圆杆在改动时的应变能等直圆杆在改动时的应变能37 非圆截面等直杆在自在改动时的应力和变形非圆截面等直杆在自在改动时的应力和变形38 开口和闭合薄壁截面在自在改动时的应力和变形开口和闭合薄壁截面在自在改动时的应力和变形第三章第三章 扭扭 转转 31 概概 述述 改动变形：改动变形：a工程中有一类等直杆，所受外力是作用在垂工程中有一类等直杆，

2、所受外力是作用在垂直于杆轴线的平面内的力偶，这时发生的变形为改动变形。直于杆轴线的平面内的力偶，这时发生的变形为改动变形。B单纯发生改动的杆件不多，但以改动为主要变形的很多。单纯发生改动的杆件不多，但以改动为主要变形的很多。C假设杆件的变形以改动为主，而其它变形可忽略，那假设杆件的变形以改动为主，而其它变形可忽略，那么可按改动变形进展强度和刚度计算。么可按改动变形进展强度和刚度计算。特征：特征：1 1外力的合力为一力外力的合力为一力偶，偶，2 2力偶的作用面与直杆力偶的作用面与直杆的轴线垂直。的轴线垂直。ABOmmOBA工工 程程 实实 例例例如：机器中的传例如：机器中的传动轴、水轮发动机动轴

3、、水轮发动机主轴、石油钻机中主轴、石油钻机中的钻杆等。的钻杆等。 由于使直杆发生改动的外力，是作用面垂直于杆件轴线由于使直杆发生改动的外力，是作用面垂直于杆件轴线的外力偶系，在这种外力偶作用下，杆件外表的纵向线的外力偶系，在这种外力偶作用下，杆件外表的纵向线将变成螺旋线即发生改动变形。简单计算简图如下将变成螺旋线即发生改动变形。简单计算简图如下图图 当发生改动的杆是等直圆杆时，由于杆的物性和横截面当发生改动的杆是等直圆杆时，由于杆的物性和横截面几何外形的极对称性，就可以用资料力学的方法求解。几何外形的极对称性，就可以用资料力学的方法求解。 对于非圆截面杆，由于横截面不存在极对称性，其变形对于非

4、圆截面杆，由于横截面不存在极对称性，其变形和横截面上的应力都比较复杂，不能用资料力学的方法和横截面上的应力都比较复杂，不能用资料力学的方法求解。求解。 相比而言，等直圆杆改动时的应力和变形比较复杂，等直薄壁圆筒改动时的应力和变形那么简单得多。 在求解等直圆杆改动时的应力和变形前，有必要先研讨薄壁圆筒的改动，引见有关切应力、切应变及其关系等根本概念改动变形中的胡克定律。 薄壁圆筒改动时的应力和变形分析是求解等直圆杆改动时的应力和变形的根底。32 薄壁圆筒的改动薄壁圆筒的改动 设一薄壁圆筒的壁厚设一薄壁圆筒的壁厚远小于远小于其平均半径其平均半径r0 r0/10，其两端面接受产生改动变形的其两端面接

5、受产生改动变形的外力偶矩外力偶矩Me。 由截面法，圆筒任一横截面由截面法，圆筒任一横截面n-n上的内力将是作用在该截面上上的内力将是作用在该截面上的力偶的力偶b，该内力偶矩称为，该内力偶矩称为扭矩，用扭矩，用T表示。表示。 横截面上的应力与微面积横截面上的应力与微面积dA的的乘积的合成等于截面上的扭矩，乘积的合成等于截面上的扭矩，横截面上的应力只能是切应力横截面上的应力只能是切应力？因杆无伸长或紧缩。？因杆无伸长或紧缩。32 薄壁圆筒的改动薄壁圆筒的改动 为得到沿横截面圆周上各点处切应为得到沿横截面圆周上各点处切应力的变化规律，可在圆筒外表画上力的变化规律，可在圆筒外表画上等间距的圆周线和纵向

6、线，构成一等间距的圆周线和纵向线，构成一系列方格子。系列方格子。 在圆筒两端施加外力偶矩在圆筒两端施加外力偶矩Me后，可后，可发现圆周线坚持不变，而纵向线发发现圆周线坚持不变，而纵向线发生倾斜，在小变形时仍坚持为直线生倾斜，在小变形时仍坚持为直线大变形时为螺旋线。大变形时为螺旋线。 因此可想象薄壁圆筒改动变形后，因此可想象薄壁圆筒改动变形后，横截面仍坚持为大小、外形都无改横截面仍坚持为大小、外形都无改动的平面，相邻的两个横截面只是动的平面，相邻的两个横截面只是绕圆筒轴线发生相对转动，因此横绕圆筒轴线发生相对转动，因此横截面上不仅是圆周！各点处的截面上不仅是圆周！各点处的切应力切应力 的方向必与

7、圆周相切。的方向必与圆周相切。mm OBA改动角改动角：圆筒两端横截面之间绕轴线相对：圆筒两端横截面之间绕轴线相对 转动而发生的角位移。转动而发生的角位移。切应变切应变：圆筒外表上每个格子的直角都改：圆筒外表上每个格子的直角都改 变了一样角度，该直角的改动量变了一样角度，该直角的改动量 称为切应变。称为切应变。 单位长度的改动角与杆的长度无关。但与资料性质，扭矩、截面几何性质有关。 切应变与横截面上沿圆周切线方向的切应力相对应。 由于相邻两圆周线间每个格子的直角改动量相等，且根据资料延续性假设，可推知沿圆周各点处的切应力不仅方向与圆周相切，而且数值必相等。32 薄壁圆筒的改动薄壁圆筒的改动 切

8、应力沿壁厚方向的变化规律：由于壁厚切应力沿壁厚方向的变化规律：由于壁厚 远小于远小于圆筒平均半径，可近似以为沿壁厚方向即径向圆筒平均半径，可近似以为沿壁厚方向即径向各点处的切应力数值无变化。各点处的切应力数值无变化。TrdAAdA：薄壁圆筒横截面上各点处的微面积。：薄壁圆筒横截面上各点处的微面积。 r：薄壁圆筒横截面上各点处的半径。：薄壁圆筒横截面上各点处的半径。 由于薄壁圆筒改动时横截面上任一点处的切应力 都相等，其方向与圆周相切。于是，根据内力与应力间的静力关系，即力的平衡法那么，得到内力扭矩T与切应力 的关系为：内力平衡法那么02ATA0= r02，平均半径所作圆的面，平均半径所作圆的面

9、积。积。 对于薄壁圆筒，横截面上各点处的半径相差极小，故r可用其平均半径r0表示r =r0。 积分 薄壁圆筒上各点处的切应力为等值的常量。TrdAAT=(2r0)r0= 2r02 = T /(2r02)0121221222)(rrrrrrrAdAA0r r2r1根据做图所示的几何关根据做图所示的几何关系，且改动变形量很小系，且改动变形量很小即即 与与 很小，所很小，所以，以， 与与 的关系为：的关系为：r：为薄壁圆筒的外半径：为薄壁圆筒的外半径 L = r = r/ L 或或 与与 的关系的关系 Lr剪切胡克定律剪切胡克定律经过薄壁圆筒经过薄壁圆筒的改动实验发的改动实验发现：当外力偶现：当外力

10、偶矩矩Me在某一范在某一范围之内时，相围之内时，相对改动角对改动角与与外力偶矩外力偶矩Me之之间成正比左间成正比左图图Me MeMe0101r 根据力的平衡法那么，内力偶矩 扭矩T=Me)/( ) 2( 0rLAT剪切虎克定律：当切应力不超越资料的剪切比例极剪切虎克定律：当切应力不超越资料的剪切比例极限时限时 p)，切应力与切应变成正比关系。，切应力与切应变成正比关系。外力偶矩在某一范围内外力偶矩在某一范围内Tr：薄壁圆筒外半径：薄壁圆筒外半径A0、L、r均为常量均为常量G式中：式中：G是资料的一个弹性常数，称为切变模量，因是资料的一个弹性常数，称为切变模量，因 无无量纲，故量纲，故G的量纲与

11、的量纲与 一样。一样。不同资料的不同资料的G值必需经过实验确定，钢材的值必需经过实验确定，钢材的G值约为值约为80GPa。留意：剪切胡克定律方程式只需在切应力不超越资料的留意：剪切胡克定律方程式只需在切应力不超越资料的某一极限值时才是适用的。该极限值称为资料的剪切比某一极限值时才是适用的。该极限值称为资料的剪切比例极限例极限p p。引入比例常数引入比例常数G，得到：，得到：33 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 工程中常用的传动轴，往工程中常用的传动轴，往往只知道它传送的功率和往只知道它传送的功率和转速，需求根据功率和转转速，需求根据功率和转速，求出使轴发生改动的速，

12、求出使轴发生改动的外力偶矩。外力偶矩。 设一传动轴转速为设一传动轴转速为n n，轴，轴传送的功率传送的功率p p单位为单位为kWkW由自动轮输入，然后经由自动轮输入，然后经过从动轮分配出去左上过从动轮分配出去左上图。图。传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 先假设轴处于稳先假设轴处于稳定转动形状。定转动形状。因此，外力偶因此，外力偶Me在在t秒内所做的功秒内所做的功等于其矩等于其矩Me与轮与轮在在t秒钟内的转角秒钟内的转角的乘积。的乘积。传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 P P为轮传送的功率，在工程实践中的常用单位为为轮传送的功率，在工程实践中的常用单位为kWkWn n为轴的转速为轴的转速, ,单

13、位单位r/minr/min602 nt rad = radian弧度 r = round 转 传动轴的外力偶矩与传送功率、转速的关系：传动轴的外力偶矩与传送功率、转速的关系：其中：P 功率，千瓦kW n 转速，转/分rpmmNnPMrkWe.1055.9min/3对于外力偶的转向，自动轮上的外力偶的转向与轴的转动方向一样，而对于外力偶的转向，自动轮上的外力偶的转向与轴的转动方向一样，而从动轮上的外力偶的转向那么与轴的转动方向相反。从动轮上的外力偶的转向那么与轴的转动方向相反。传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩：是构件受扭时横扭矩：是构件受扭时横截面上的内力偶矩，记作截面上的内力偶矩，记作“

14、T。作用于传动轴上的外力作用于传动轴上的外力偶往往有多个，各个轴段偶往往有多个，各个轴段上的扭矩也各不一样，可上的扭矩也各不一样，可用截面法，根据力的平衡用截面法，根据力的平衡法那么，来计算各轴段横法那么，来计算各轴段横截面上的扭矩。截面上的扭矩。MTMTMx00MeMeMeTx扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图3 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定：右手定那么：右手四指内屈，与扭矩转向一样，那么拇指右手定那么：右手四指内屈，与扭矩转向一样，那么拇指的指向表示扭矩矢的方向，假设扭矩矢方向分开截面时，的指向表示扭矩矢的方向，假设扭矩矢方向分开截面时，规定扭矩为正，反之为负。规定扭矩为正，反之为负。扭矩符号规定

15、：扭矩符号规定：mITImIITmITImIITTT4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化情况的图线。扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化情况的图线。 目目 的的给出各轴段扭矩的值；|T|max值及其截面位置 强度计算危险截面。xT扭矩图绘制方法：与轴力图的绘制方法相仿。扭矩图绘制方法：与轴力图的绘制方法相仿。数值数值例例1 图示圆轴中，各轮上的转矩分别为图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA4kNm， mB10kNm, mC6kN m，试求，试求11截面和截面和22截面上的扭矩，截面上的扭矩，并画扭矩图。并画扭矩图。AmBmCm1122轮轮轴轴轴承轴承6KNm4KNm例例2知：一传动轴

16、，知：一传动轴， n =300r/min，自动轮输入，自动轮输入 P1=500kW，从动轮输出从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭，试绘制扭矩图。矩图。nA B C DM2 M3 M1 M4解：计算外力偶矩解：计算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555. 911nPMm)(kN 78. 43001509.5555. 9232nPMMm)(kN 37. 63002009.5555. 944nPMnA B C DM2 M3 M1 M4112233求扭矩扭矩按正方向设求扭矩扭矩按正方向设mkN78. 4 0 , 02121MTMTMCmkN56.

17、9)78. 478. 4( , 0 322322MMTMMTmkN37. 6 , 0 4243MTMT绘制扭矩图绘制扭矩图mkN 569max .TBC段为危险截面段为危险截面xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.3734 等直圆杆在改动时的应力等直圆杆在改动时的应力 强度条件强度条件等直圆杆横截面应力等直圆杆横截面应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面 静力学方面静力学方面 1. 横截面变形后仍为平面；横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩；轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行纵向线变形后仍为平行 只是倾斜了一个角度只是倾斜了一个角度。一、等直圆杆

18、改动实验察看：一、等直圆杆改动实验察看：变形几何方面变形几何方面 根据实验观测结果，可假设横根据实验观测结果，可假设横截面好像刚性平面般绕杆的轴线截面好像刚性平面般绕杆的轴线转动，即为等直圆杆的平面假设。转动，即为等直圆杆的平面假设。 实验发如今杆改动变形后只需等实验发如今杆改动变形后只需等直圆杆的圆周线才仍在垂直于杆直圆杆的圆周线才仍在垂直于杆轴的平面内，所以平面假设只适轴的平面内，所以平面假设只适用于等直圆杆。用于等直圆杆。为确定横截面上任一点处的切应为确定横截面上任一点处的切应变随点的位置的变化规律，可假变随点的位置的变化规律，可假想地截取长为想地截取长为dx的杆段进展分析。的杆段进展分

19、析。变形几何方面变形几何方面由平面假设可知，杆段变形后的情况如由平面假设可知，杆段变形后的情况如左图所示。左图所示。 截面截面b-b相对于截面相对于截面a-a绕杆轴转动了一绕杆轴转动了一个角度个角度d，因此其上的恣意半径，因此其上的恣意半径O2D也也转动了同一角度转动了同一角度d。杆外表纵向线的倾。杆外表纵向线的倾斜角斜角就是就是a-a横截面周边上任一点横截面周边上任一点A处处的切应变，同理，经过半径的切应变，同理，经过半径O2D上恣意上恣意点点G的纵向线的纵向线EG在杆变形后也倾斜了一在杆变形后也倾斜了一个角度个角度，即为，即为a-a横截面半径上距圆横截面半径上距圆心为心为 的恣意点的恣意点

20、E处的切应变。处的切应变。留意：上述切应变留意：上述切应变 、 均在均在垂直于半径的平面内；显然，垂直于半径的平面内；显然， 。设设G点至横截面圆心的间隔为点至横截面圆心的间隔为 ，因假，因假设变形极其微小，由左图所示的几何关设变形极其微小，由左图所示的几何关系可得系可得 ：xGGddEGtanxdd 上式表示横截面上任一点处切应变随点的位置即上式表示横截面上任一点处切应变随点的位置即：与圆心的间隔：与圆心的间隔的变化规律。的变化规律。 为相对改动角沿杆长度方向变化率，对于给定为相对改动角沿杆长度方向变化率，对于给定的横截面是一个常量。的横截面是一个常量。xdd变形几何方面变形几何方面xdd

21、可见：距圆心为可见：距圆心为 任一点处的任一点处的均一样，与到均一样，与到圆心的间隔圆心的间隔成正成正比。比。xdd对给定横截面为常量对给定横截面为常量因因物理关系方面物理关系方面薄壁圆筒剪切胡克定律： G GxGdd G：切变模量：切变模量留意：只需是在弹性范围内，切应力与切应变成正比才成立。留意：只需是在弹性范围内，切应力与切应变成正比才成立。xdd同样，在等直圆杆距圆心为 处：等直圆杆横截面上的切应力变化规律的公式由该公式，推论：由该公式，推论：一样半径一样半径的圆周上各点处的圆周上各点处不仅切应变均一样，且切应不仅切应变均一样，且切应力也均一样，都与半径成正力也均一样，都与半径成正比。

22、比。因因为垂直于半经平面内为垂直于半经平面内的切应变，切应力的切应变，切应力的方的方向也应垂直于半径。向也应垂直于半径。等直圆杆横截面内切应力沿等直圆杆横截面内切应力沿任一半径的变化趋势如左图任一半径的变化趋势如左图所示。所示。xGdd 静力学关系静力学关系OdAAxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理关系式 得：xGdd pIT横截面的极惯性矩横截面的极惯性矩由横截面上内力与应力静力关系，由横截面上内力与应力静力关系，得：扭矩得：扭矩TpIT横截面上距圆心为处任一点切应力的计算公式。公式讨论：公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性资

23、料，且为小变形时的等圆截仅适用于各向同性、线弹性资料，且为小变形时的等圆截面直杆。面直杆。 式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法经过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法经过外力偶矩求得。 该点到圆心的间隔。该点到圆心的间隔。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。单位：单位：mm4，m4。AIApd2 虽然由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，虽然由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是极惯性矩只是极惯性矩Ip值不同。值不同。4420221032 d2 dD.DAIDAp对于实心圆截面：DdO对于空心圆截面：)1 (10)1 (32 )(3

24、2 d2 d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddDOdd ：空心圆截面内径：空心圆截面内径D ：空心圆截面外径：空心圆截面外径: 空心圆截面内、空心圆截面内、外直径之比外直径之比 应力分布应力分布实心截面空心截面工程上常采用空心截面构件：提高强度，节约资料；分量轻，构造轻便，运用广泛。 确定最大切应力：确定最大切应力：pIT由知：当max , 2Dr)2 ( 22 maxDIWWTDITIDTppppp令pWTmaxWp 改动截面系数抗扭截面模量， 几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：332 . 016DDrIWpp对于空心圆截面：)-(12 . 016)1 (4343

25、DDrIWpp即：对于空心圆截面，即：对于空心圆截面，Wp不仅与外直径有关，且与内、外直径之比有关！不仅与外直径有关，且与内、外直径之比有关！例例1 由两种不同资料组成的圆轴，里层和外层资料的切由两种不同资料组成的圆轴，里层和外层资料的切变模量分别为变模量分别为G1和和G2，且，且G1=2G2。圆轴尺寸如下图。圆轴尺寸如下图。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中的切应力分布，有图中A、B、C、D所示的四种结论，请判别哪一种是正确的。所示的四种结论，请判别哪一种是正确的。d2dT1G2GO(A)(B)(C)(D)解：

26、圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这阐明二者构成一个整体，同时产生改动变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然坚持平面，即其直径坚持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。 因此，在里、外层交界处二者具有一样的切应变。由于内层实心轴资料的剪切弹性模量大于外层圆环截面的剪切弹性模量G1=2G2，所以内层在二者交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的切应力。据此，答案A和B都是不正确的。 在答案D中，外层在二者交界处的切应力等于零，这也是不正确的，由于外层在二者交界处的切应变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不能够等于零。 根据以上分析，正确答案是Cd2dT1G2GOG1=2G2因

27、不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒和空心圆轴设计薄壁圆筒设计Dd 设平均半径 R0=(d+)/2 202 RT Td22 Tdd22223PamNmm63232331080105210100101002 mm7 . 3 空心圆轴设计 PWTmax4416dDDWP 2 dD 4416dDDT01081 . 010516108064346PamDmNDPa mmD7 .1072dD 21007 .107mmmmmm85. 3当R0/10时，即可以为是薄壁圆筒，故可判别为薄壁圆筒 例2 一内径d=100mm的空心圆轴如图示，知圆轴受扭矩T=5kNm，许用切应力=80MPa，试确定

28、空心圆轴的壁厚，是薄壁还是空心圆筒？切应力互等定理切应力互等定理 v 在圆杆的外表处用横截面、径向截面以在圆杆的外表处用横截面、径向截面以及与外表平行的面截取一微小的正六面及与外表平行的面截取一微小的正六面体，称为单元体。体，称为单元体。v 在单元体左右两侧面即杆的横截面在单元体左右两侧面即杆的横截面上只需切应力；其方向与上只需切应力；其方向与y y轴平行，在轴平行，在其前后平面即与杆外表平行的面上其前后平面即与杆外表平行的面上无任何应力？杆无伸缩。无任何应力？杆无伸缩。v 由于单元体处于平衡形状由于单元体处于平衡形状( )( )，左右两侧面上的内力元素左右两侧面上的内力元素 dydzdydz

29、应是大应是大小相等、指向相反的内力偶对小相等、指向相反的内力偶对, ,其力矩其力矩为为( ( dydz)dxdydz)dx。v 为满足平衡条件为满足平衡条件 , ,在单元体的上在单元体的上下两平面也将有大小相等且指向相反的下两平面也将有大小相等且指向相反的一对内力偶一对内力偶 dxdz, ,dxdz, ,其矩为其矩为( ( dxdz)dydxdz)dy。0yM0 xM单元体单元体切应力互等定理切应力互等定理 上式称为切应力互等定理。上式称为切应力互等定理。 该定理阐明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力该定理阐明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平

30、面的交线，必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向那么共同指向或共同背叛该交线。其方向那么共同指向或共同背叛该交线。yMxM要坚持单元体平衡，显然要坚持单元体平衡，显然:( dydz)dx = -( dxdz)dy即即:v 不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都是不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都是成立的。成立的。v 单元体在其相对相互垂直的平面上只需切应力而无正应单元体在其相对相互垂直的平面上只需切应力而无正应力的这种形状，称为纯剪切应力形状。等直圆杆和薄壁力的这种形状，称为纯剪切应力形状。等直圆杆和薄壁圆筒在发生单纯的改动时圆筒在发生单纯的改动时, ,其中

31、的单元体均处于纯剪切应其中的单元体均处于纯剪切应力形状。力形状。v 由于切应力互等定理是由单元体的平衡条件导出的，与由于切应力互等定理是由单元体的平衡条件导出的，与资料的性能无关，所以不论资料能否处于弹性范围，切资料的性能无关，所以不论资料能否处于弹性范围，切应力互等定理总是成立的。应力互等定理总是成立的。例例1试根据切应力互等定理，判别图中所示的各单元体试根据切应力互等定理，判别图中所示的各单元体上的切应力能否正确。上的切应力能否正确。kN10kN20kN10kN20kN30kN50kN50kN30kN3030kN三、等直圆杆改动时斜截面上的应力三、等直圆杆改动时斜截面上的应力 对于剪切强度

32、低于拉伸强度的资料典型：低碳钢试件：沿横截面断开似剪断。 对于拉伸强度低于剪切强度的资料典型：铸铁试件：沿与轴线约45的螺旋线断开。因此还需求研讨斜截面上的应力。在圆杆的改动实验中发现：低碳钢铸铁1. 点M的应力单元体如图(b)：(a)M(b)(c)2. 斜截面上的应力； 取分别体如图(b)：(d)x单元体前后无应力单元体前后无应力，可改为平面表示，可改为平面表示正应力正应力(d)xnt转角转角的规定：轴正向转至斜的规定：轴正向转至斜截面外向法线截面外向法线n逆时针：为“+顺时针：为“由平衡方程：0)cossind()sincosd(d ; 0AAAFn0)sinsind()coscosd(d

33、 ; 0AAAFt解得：2cos ; 2sin 斜截面外向法线斜截面面积dA2cos ; 2sin 分析：当 = 0时，max00 , 0当当 = 45时，时，0 , 45min45当当 = 45时，时，0 , 45max45当 = 90时，max9090 , 045可见：圆轴改动时，在横截面可见：圆轴改动时，在横截面 = 0= 0和纵截面和纵截面 = 90 = 90上上的切应力为最大值；在的切应力为最大值；在 = = 4545的斜截面上作用有最大拉应力的斜截面上作用有最大拉应力和最大压应力。根据这一结论，就和最大压应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏景象。可解释前述的破坏景象。四、圆轴改动

34、时的强度计算四、圆轴改动时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxmaxpWT( 称为许用切应力。)留意强度计算三要素：留意强度计算三要素： 校核强度： 设计截面尺寸： 计算答应载荷：maxmaxpWTmaxTWpmaxpWT）（空：实：433116 16 DDWpWp 改动截面系数pWTmaxmax因：因：)(Dd 例例22功率功率P P为为150kW150kW，转速为，转速为15.415.4转转/ /秒的电动机转子轴如图，秒的电动机转子轴如图，许用切应力许用切应力 =30M Pa, =30M Pa, 试校核其强度。试校核其强度。nPMTBC2103m)(kN55

35、1m)(N4151432101503.TM解：求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。D3 =D2=75 D1=70ABCMMxMPa231607. 01055. 133maxpWT因危险截面处于最细的一段，因此必需取该段校核其强度！例例3知：知：P7.5kW,n=100r/min,许用切应力许用切应力40MPa,空心圆轴的内外径之比空心圆轴的内外径之比 = 0.5。求求: 实心轴的直径实心轴的直径d1和空心轴的外径和空心轴的外径D2。nPTMe31055. 9mN 2 .7161maxpWT 36110402 .71616 d2maxpWT 643210405 . 012 .71

36、616D1005 . 71055. 933116dT MPa40mm45432116 DTMPa40mm4535 等直圆杆在改动时的变形等直圆杆在改动时的变形 刚度条刚度条件件一、改动时的变形一、改动时的变形由公式pGITx dd 知：长为 l的一段杆两截面间相对改动角 为值不变）若 ( d d0TGITlxGITplp pGITl可见：相对改动角可见：相对改动角与与GIp成反成反比。比。定义：定义： GIp为等直圆杆的截面改为等直圆杆的截面改动刚度，反映了截面抵抗改动变动刚度，反映了截面抵抗改动变形的才干。形的才干。留意：由于杆在改动时各截面上的扭距能够并不一样，留意：由于杆在改动时各截面上

37、的扭距能够并不一样，且杆的长度也各不一样，因此，在工程中对于改动杆的且杆的长度也各不一样，因此，在工程中对于改动杆的刚度通常还是用相对改动角沿杆长度的变化率刚度通常还是用相对改动角沿杆长度的变化率d/dx来来度量。以度量。以来表示这个量，称为单位长度改动角。来表示这个量，称为单位长度改动角。二、单位长度改动角二、单位长度改动角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或三、刚度条件三、刚度条件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 或 称为许用单位长度改动角。称为许用单位长度改动角。留意：此式仅适用于线弹性范围的等直圆杆留意：此式仅适

38、用于线弹性范围的等直圆杆由此式可得刚度计算的三方面：由此式可得刚度计算的三方面： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算答应载荷： max max GT Ip max pGIT 有时还可根据此条件进展选材。 32 4 GTDIp或： 32)-(D 4 4GTdIp实心空心 例例11长为长为 L=2m L=2m 的圆杆受均匀分布力偶的圆杆受均匀分布力偶 m=20Nm/m m=20Nm/m 的作用，如的作用，如图，假设杆的内外径之比为图，假设杆的内外径之比为 =0.8 =0.8 ，G=80GPa G=80GPa ，许用剪应力，许用剪应力 =30MPa=30MPa，试设计杆的外径；假设，试设计杆的外径；假

39、设 =2/m =2/m ，试校核此杆，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。的刚度，并求右端面转角。解：设计杆的外径maxTWp 116D 43）（pW314max 116）（TD314max 116）（TDx代入数值得：D 0.0226m。 由改动刚度条件校核刚度180maxmaxPGIT180maxmaxPGIT 8911108018040324429.)(D右端面转角为：弧度）( 0330 4102040202200.)xx(GIdxGIxdxGITPPLP 例例2 2 某传动轴设计要求转速某传动轴设计要求转速n = 500 r / minn = 500 r / min，输入功率，输入功率N

40、1 = N1 = 500 500 马力，马力， 输出功率分别输出功率分别 N2 = 200 N2 = 200马力及马力及 N3 = 300 N3 = 300马马力，知：力，知：G=80GPa G=80GPa ， =70M Pa =70M Pa， =1/m =1/m ，试确定：，试确定： AB AB 段直径段直径 d1 d1和和 BC BC 段直径段直径 d2 d2 ？ 假设全轴选同不断径，应为多少？假设全轴选同不断径，应为多少？ 自动轮与从动轮如何安排合理？自动轮与从动轮如何安排合理？解：图示形状下,扭矩如 图，由强度条件得： 500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)m

41、)(kN0247nN.m1马力马力=735.5w16 31TdWp mm4671070143421016163632.Td 32 4 GTdIp mm801070143702416163631.Td由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm)实心 mm47411080143180421032 3249242.GTd mm8411080143180702432 3249241 .GTd mm75 ,mm8421 dd综上：全轴选同不断径时 mm841 dd 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如下图,此时,轴的最小直径才

42、为 75mm。Tx 4.21(kNm)2.814例3如下图阶梯轴。外力偶矩M10.8KNm， M22.3KNm， M31.5KNm，AB段的直径d14cm，BC段的直径d27cm。知资料的剪切弹性模量G80GPa，试计算AB和AC。0.8kNm1.5kNm0.8m1.0m1M2M3M1d2dABC32411dIP 41 .25 cm32422dIP 4236cm111PABGILT rad0318. 0222PBCGILT rad0079. 0BCABAC radrad0079. 00318. 0rad0239. 0 例4图示一空心传动轴，轮1为自动轮，力偶矩M19KNm，轮2、轮3、轮4为从

43、动轮,力偶矩分别为M24KNm，M33.5KNm，M41.5KNm。知空心轴内外径之比d/D1/2，试设计此轴的外径D，并求出全轴两端的相对改动角 24。G80GPa，60MPa。5kN1.5kN4kN5005001M2M3M4M50043116 DWP maxTWP max43116TD 34max3116 TDmm7 .76mmD78mmd39PGILT2121 rad00734. 0PGILT1313 rad00917. 0PGILT3434 rad00275. 034132124 rad00458. 0 例5知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW，转速n=

44、180r/min，钻杆入土深度L=40m，G=80GPa，=40MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：1单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M；2作钻杆的扭矩图，并进展强度校核；3求A、B两截面相对改动角。MAlBAB)(xTxTnPT31055. 9Nm390单位长度阻力矩LTM mNm40390mNm75. 9PWTmax 16605016010390433 MPa7 .17 lPABGIdxxT0 MxxTxLTdxGIlxTlPAB0 2lGITP21050601080403903212449 rad148.0自习自习 例6一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与不断径为d的实心圆

45、杆结合成一组合圆轴，共同接受转矩Me。圆管与圆杆的资料不同，其切变模量分别为G1和G2，且G1=G2/2，假设两杆改动变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。试问两杆横截面上的最大切应力之比1/2为多大？并画出沿半径方向的切应力变化规律。dD 1 2eM21因两杆改动变形时无相对转动21 222111PPIGLTIGLT221121PPIGIGTT22112122PPIdTIDT dDITITPP1221221GG1自习自习36 等直圆杆在改动时的应等直圆杆在改动时的应变能变能一、一、 应变能与应变能密度应变能与应变能密度当圆杆改动时，杆内将积存应变当圆杆改动时，杆内将积存应变能。能。由于杆件上

46、各横截面上的扭矩能由于杆件上各横截面上的扭矩能够变化，同时，横截面上各点处的够变化，同时，横截面上各点处的切应力也随该点到圆心的间隔而改切应力也随该点到圆心的间隔而改动，因此，对于杆内应变能的计算，动，因此，对于杆内应变能的计算，应先求出纯剪切应力形状下的应变应先求出纯剪切应力形状下的应变能密度，再计算全杆内所积存的应能密度，再计算全杆内所积存的应变能。变能。 36 等直圆杆在改动时的应等直圆杆在改动时的应变能变能左图所示单元体处于纯剪切应力左图所示单元体处于纯剪切应力形状，假设其左侧面固定，那么单形状，假设其左侧面固定，那么单元体在变形后右侧面将向下挪动元体在变形后右侧面将向下挪动dx。由于

47、切应变由于切应变很小，因此，在变很小，因此，在变形过程中，上、下两面上的外力将形过程中，上、下两面上的外力将不做功，只需右侧面上的外力对相不做功，只需右侧面上的外力对相应的位移应的位移dx做功。做功。 xyzdxdzdy2-5 等直拉压杆的应变等直拉压杆的应变能能 为推导拉杆应变能的计算式，先求外力所作的功为推导拉杆应变能的计算式，先求外力所作的功W。在静荷载。在静荷载F的作用下，杆伸的作用下，杆伸长了长了L。力。力F对此位移所作的功可以从对此位移所作的功可以从F与与L的关系图线下的面积来计算。由于在的关系图线下的面积来计算。由于在弹性变形范围内弹性变形范围内F与与L成线性关系，如下图，于是，

48、可求得成线性关系，如下图，于是，可求得F力所作的功力所作的功W为为 LFW21回想回想当资料在线弹性范围内时，单元当资料在线弹性范围内时，单元体上外力所做的功为：体上外力所做的功为：由于单元体内所积存的应变能由于单元体内所积存的应变能dV数值上等于数值上等于dW，故单位体积，故单位体积内的应变能密度内的应变能密度v为：为：应变能与应变能密度应变能与应变能密度由剪切胡克定律由剪切胡克定律或者或者求得纯剪切应力形状下的应变能密度求得纯剪切应力形状下的应变能密度v后，改动时杆中积存的应变后，改动时杆中积存的应变能能V可由积分计算：可由积分计算：pIT由于 pGITl由于应变能应变能V改写成以相对改动

49、角表达的方式：改写成以相对改动角表达的方式：37 等直非圆截面杆在自在改动时的应力和变等直非圆截面杆在自在改动时的应力和变形形在等直圆杆的改动问题中，分析杆截面上的应力的主要根据为平面假设。等直非圆杆：各截面在杆改动变形等直非圆杆：各截面在杆改动变形后发生翘曲不坚持平面，不符合平后发生翘曲不坚持平面，不符合平面假设。因此，由等直圆杆改动时面假设。因此，由等直圆杆改动时推出的应力、变形公式不适用，须推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。由弹性力学方法求解。矩形截面杆的横截面周矩形截面杆的横截面周线在杆改动后变成曲线线在杆改动后变成曲线一、自在改动：等直非圆杆因改动发生横截面翘曲，两端

50、在外力一、自在改动：等直非圆杆因改动发生横截面翘曲，两端在外力偶作用下，端面可以自在翘曲。此时相邻两截面的翘曲程度完偶作用下，端面可以自在翘曲。此时相邻两截面的翘曲程度完全一样，横截面上仍只需切应力而无正应力。全一样，横截面上仍只需切应力而无正应力。二、约束改动：等直非圆杆在改动时，两端受约束而不能自在翘二、约束改动：等直非圆杆在改动时，两端受约束而不能自在翘曲。此时相邻两横截面的翘曲程度不同，将在横截面上产生附曲。此时相邻两横截面的翘曲程度不同，将在横截面上产生附加正应力。加正应力。三、矩形长方形杆横截面上的三、矩形长方形杆横截面上的切应力切应力: : hbh 1T max 留意！b1. 切应力分布如图：角点、形心、长短边中点2