数学专升本考试试题

1、高等数学二命题预测试卷二、选择题本大题共5个小题，每题4分，共20分。在每个小题给出的选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内F列函数中，当X-. 1时，与无穷小量1-X相比是高阶无穷小的是 A. In(3-x)x3 _ 2x2 xC. cos(x -1)x2 -12. 1 一曲线y=3、.x-3 在1,:-内是xA .处处单调减小.处处单调增加C具有最大值.具有最小值设fx是可导函数,且limx0f(Xo 2h) - f(Xo)=1，那么 fxg为C. 2假设 f(1)x121，那么10 f (x)dx 为(.1 -I n2C.In 2=xy等于xzzxyz4

2、.xyC.z4y、填空题:本大题共10个小题,10个空，每空4分，共40分，把答案填在题中横线上。设 z = exy + yx2，贝U 仝(1,2)设 f (x) =ex ln x，贝卩 f (3) 口x m 1 f(x)=1 二，那么f(;)二10.11.12.13.14.15.三、16.17.18.9.设二重积分的积分区域 D是1 x2 y2 0 ，求 f x).Jn(1 + x)-1 c x 兰 020. (此题总分值6分)求函数y二sin(x y)的二阶导数.21. (此题总分值6分)求曲线f (x) =x4 -2x3的极值点.22. (此题总分值6分)3计算耳 dx.，x2 +123

3、. (此题总分值6分)假设f (x)的一个原函数为xln x，求x f (x)dx .24. 此题总分值6分0 k1=厂严二，求常数k的值.25. 此题总分值6分求函数 f (x, y) = y -x2 6x -12y - 5 的极值.26. 此题总分值10分求i ix2 ydxdy，其中D是由曲线y=x2与x二y2所围成的平面区域.Da0 f(x)dx3_ a_3(a1)27. 此题总分值10 分2 a设fx = x - f xdx，且常数a工一1，求证:28. 此题总分值10分求函数y-也 的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近x线并作出函数的图形.参考答案、选择题1. B

4、2.B 3. D 4. D 5.D、填空题6. 2e21731.e -38. 1x-19.3 :110.11.x =012. 513JI.r兀214.二 sin 415.0、解答题16.解这是一个分段函数，f (x)在点x二0的左极限和右极限都存在.1Hlim f(x) = lim arctanXT -xo-X 21 兀 lim f(x) = lim arctan xPx_0 x 2lim f(x) = lim f(x)x Q 一x 0故当x 0时，f(x)的极限不存在，点x=0是f(x)的第一类间断点.17. 解X - X -1原式=lim 一巻 J2x2 11218.解1设 f(x)二 a

5、rcsinx (1 x)x .由于x二0是初等函数ln f (x)的可去间断点,故 丨叫 ln f (x)二 ln li:arcsi nx (1 x)-丄1=ln lim arcsin x + lim (1 + x)xix0xT19解 首先在x = 0时，分别求出函数各表达式的导数，即1 1 1 “1“1=1当 x 0时，f (x) =(xe x) = e x xe x = e x(1 ) xx当 一1 ： x ： 0 时，f (x) = In(x 1).x+1然后分别求出在x = 0处函数的左导数和右导数，即1f _(0) = lim1xtX +1丄 1f .(0) = lim e x(1)

6、 = 0x从而f _(0 f (0)，函数在x = 0处不可导.e；(1+$所以f (x)x1x 120.解 y =sin(x y)y 二 cos(x y)(1 y )二 cos(x y)y cos(x y) y 二-sin(x y)(1 y ) y cos(x y) y L sin(x y) y )1 -cos(x y)】y = sin(x y)(1 y )2ysin(xy -cos(x y)sin(x y)1 _cos(x y) Fy )21 -cos(x + y)又由解得y cos(x y)1 cos(x + y)先出求f(x)的一阶导数:21.3223f (x) =4x3 6x2 =4

7、x2(x 33令f (x) =0 即4x2(x) = 0 解得驻点为为=0,X2二2 2再求出 f(x)的二阶导数 f (x) =12x2 -12x =12x(x-1).33当 X2 时，f (2)327=90，故f()= 一亦是极小值.当X13-0 时，f (0)=0,在(一 ：,0)内，f (x) ： 0，在(0,-)内 f (x) ： 0X1二0不是极值点.总之3曲线5鸟2只有极小值点22.33/ 2X X X - x x(x2 2 2X 1 X 1X 11) xx3x dx = (xx 1.xxdx - r dxx2+123.24.丄1 n(x21) C2由题设知 f (x)二(xln

8、 x) = In x x(ln x) = In x 1故 x f (x)dx 二 x(ln x 1)dx= xln xdx 亠 i xdx1 2 1 =In x dx x2 21 2 ln x x2=11n x x2 - 1 x2 二 dx 七 22 x1 2丨 1.12x Inx xdx x22 212 .12x In x x C .240 1 dx = k2 dx 二 k lim -.1 亠 X2a)-：: a 1-x2d(lnx/ 1 x22 1 . 1 2.：2=k - lim arctan xa0 : a = k lim 一(- arctana)二 k ?p 0 k 1又2dx =

9、S + x 2 1 2 + y)dy= (x y十?y )2故 k 解得k =丄.22兀25.解=_2x 61 =3y2 -12dxcy一 2x +6 =0解方程组2得驻点A0(3,2),B(3,_2)3y2 _12 = 0又A 二 f xx -2, B 二 f xy = 0,C 二 f yy 二 6y对于驻点 A): A = 2, B = 0, C = 6y xm=-12，故 B AC = 24 a 0ym驻点A。不是极值点.对于驻点 B0 : A = 2, B = 0, C = 6y x=3 = -12 故 B AC - -24 ：0，又 A - -2 ： 0 .函数f(x,y)在B(3,

10、2)点取得极大值f (3,一2) = (一2)3 一9 1824 5 =3026.解 由y=x2与x = y2得两曲线的交点为0(0,0)与A(1,1)x二y2(y _ 0)的反函数为yx .2(x y)dxdy = 0dxx2 (X；dxx227.)x21414=(x +-x) -(x +?x ) dx7z2 2 + 1 2351= (_x2+ x 一 x)0 =74102 axo f (x)dx dx33dx2Xa I o7aa0 - .0 f (x)dx ,0 dx3a aa 0 f(x)dx3 03aaaf (x)dx a o f (x)dx =3aa3于是 0f(x)dB28解(1)

11、先求函数的定义域为(0, =) (2) 求y 和驻点：y J - ？ x，令厂=0得驻点x = e .x(3) 由y 的符号确定函数的单调增减区间及极值.1 _ |n x当0：x：；e时，旳二0，所以y单调增加;x当x e时，y厶：0，所以y单调减少.由极值的第一充分条件可知yxe为极大值.(4) 求y“并确定y “的符号:2lnx-3，令 y、0 得 乂乂2当0 x e2时，y : 0，曲线y为凸的;当x e2时，y .0，曲线y为凹的.根据拐点的充分条件可知点(e2,*2)为拐点.这里的y 和y的计算是此题的关键，读者在计算时一定要认真、仔细。另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：x(0,e)e3(e,e2)3e：3(e2 严)F y+0一一一呼y一0+就表上所给的y 和 y“符号，可得到:函数y 空的单调增加区间为(o,e)；x函数y = l