专题二第一讲-三角函数的图像与性质

1、专题二第一讲-三角函数的图像与性质 作者: 日期：第一讲三角函数的图像与性质例1、已知函数f（x）=tan（-厂sinx）(1)(2)(3)求f（x）的定义域和值域；在（一冗，冗）中，求f（x）的单调区问；2判定万程f（x）=tan冗在区间（一冗，冗）上解的个数。解：（1） k sinx 1 一sinx o 又函数 y=tanx 在 x=k 几3.3.3+ 2刁处无定义且（一-）何一辛（一冗，冗）,3 - .4 sinx= ,贝u sinx=-解n得：x=k 冗与 (k z).f（x）的定义域是 a=x|x cr,且 xwktt、，kcz,tanx在（,）内的值域为（一0,+oo）,而当xca

2、时，函数y= sinx的值域b?两足（,）*b,，f（x）的值域是（一0, +oo） 0172 (2)由f(x)的定义域知，f(x)在0,句中的x=和x=2处无定义。设 t=_sinx,则当 xc 0, -)u (-, ) u (,兀)时，tc 0,一),333332u （, -=r ,且以t为自变量的函数y=tant在区间（0, 丁，（,而上分 别单调递增。又.当 xc 0,一时,函数t= 3sinx单调递增，且tc 0,）x c （ , 3 时，函数t=耳sinx单调递增，且t c （,-=当x c 1, 2 ）时，函数t= i= sinx单调递减，且t c （一，一尸 23.32. 3当

3、xc （ 2-,兀）时，函数1=而sinx单调递减，且tc （0,）w（左sinx）在区间，万），/,万上分别是单调递增函数；在万，23),(2，一、一，了）上是单调递减函数。又f（x）是奇函数，所以区间（, ）也是f（x）的单调递一、2增区间,学,（2亍3是f（x）的递减区间。222)，(-33故在区间（一冗，冗）中,f（x）的单调递增区间为:22）,（一,一单调递减区间为,）,（一33233222 一(3) 由 f(x)=tan冗得：tan(-= sinx)=tan( 自 -sinx=k ti+ 九(k-6sinx=k v3 + (k z)cd 又- 1 &sinx0 1,. 32,32

4、k 33. . k=。或 k= 1当k=0时，从得方程当k=i时，从得方程、6 sinx= 3sinx=-43 + 36一 6显然方程sinx= ,sinx= - 73 +，在（一兀，兀）上各有2个解，故2f（x）=tan 冗在区|可（一冗，冗）上共有4个解。说明：本题是正弦函数与正切函数的复合。（1）求f（x）的定义域和值域，应当先搞清楚y=忑$访乂的值域与y=tanx的定义域的交集；（2）求f（x）的单调区 问，必须先搞清f（x）的基本性质。如奇偶性、周期性、复合函数单调性等。例 2、设 f(x) a sin x bcos x(。）的周期t,最大值七）4,（1）求、a、b的值;(2)若、

5、为方程f(x) 0的两个根，且、的终边不共线，求tan( )的值。-22一斛：(1) f(x) vab sin( x ), t ,2,又2222f (一) 4,4 qa b ， 且 4 asin 1212由、解出a=2 , b=3. f(x)2屈0sng 3), f( )f(x)的最大值2_bcos，12f()0,4sin(2-)4sin(2 ),3322k2,或2 2k (2-),3333即 k (、 共线，故舍去)，或k 一，6、. 3_tan( ) tan(k -) (k z). 63说明：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函 数的周期性。)是上的偶函数，其图例

6、 3、已知函数 f(x) sin( x )(0,0象关于点m(3t,0)对称,且在区间0-上是单调函数.求和的值。)sin( x ),解：由f(x)是偶函数，得f( x) f(x),即sin( x所以 cos sin x cos sin x, cos sin x 0对任意x都成立，且 0 ,所以得cos 0 ,依题设0，所以解得-.3 3由f(x)的图象关于点m对称，得f (一 x)f (一 x),4 4一 一 33 一 3取 x 0,wf(-) f(-),所以 f(2) 0, 444.333f (1) sin( 一) cos,44243 3cos 0,又 q得k ,k 0,1,2 ，4 42

7、|(2k 1),k 0,1,2,., 一.22当k=0时， ，f(x) sin(x )在0,上是减函数； 3322当k=1时， 2,f(x) sin(2x万)在q上是减函数；, 一 10当k 2时， 一，f(x) sin( x 一)在0,上不是单调函数. 3222所以，综合得2或2.3一一 一，2 冗1例 4、已知函数 f (x) cos x 一 , g(x) 1 sin2x.122(i)设x x0是函数y f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值.(ii)求函数h(x) f (x) g(x)的单调递增区间.命题目的：本小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以 及分析问题和推

8、理计算能力.一f -、1 ,1tt解：(i)由题设知 f(x) -1 cos(2x ).26.,-一 .一、_.，.一.一 .- .一7t因为x x。是函数y f(x)图象的一条对称轴，所以2x0 kh6即 2x0 ku - (k z).6所以 g(x0) 1 1sin 2x0 1 1siwkjt ).226当 k为偶数时，g(xo)1 -sin1 -3,2644 11r15当 k为奇数时，g(x0) 1 -sin- 1 一一.264 4/ 、,1九 1(ii) h(x) f (x) g(x) - 1 cos 2x 一 1 - sin 2x2621 c冗一 c一 cos 2x sin 2x26

9、3 1 於cos2x 1sin2x2 2 22isin 2x 23当 2k：t - 0,0) x 0,4的图象,且图象的最高点为s(3, 2如);赛道的后一部分为折线段 mnp,为保证参赛运动员的安全，限定mnp=120o(1)求a ,的值和m , p两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道 mnp最长？x2 x17、设函数 f (x) sin( ) 2cos 1 .(1)求f (x)的最小正周期.4 一.(2)若函数y g(x)与y f(x)的图像关于直线x 1对称，求当x 0, 时3y g(x)的最大值.18、设函数f (x) =asincox+bcoswx (0)的最小正周期为

10、乃并且当x=12时，有最大值f () =4.(1)求a、b、的值；(2)若角、3的终边不共线，f ( ) =f ( 3) =0,求tan ( +3)的值.b (1 sin 2x,1), x r ,且19、设函数f(x) a b ,其中向量a (m,cos2x),y f(x)的图象经过点 士2 . 4(1)求实数m的值；(2)求函数f(x)的最小值及此时x值的集合.求函数的单调区间；(4)函数图象沿向量c平移得到y j2sin2x的图象，求向一兽-里c。20、设函数f x sin x0,-,给出下列三个论断:22f x的图象关于直线x 对称；f x的周期为；6f x的图象关于点一,0对称.12以

11、其中的两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正 确的一个命题，并对该命题加以证明.第一讲三角函数的图像与性质答案1、k兀+k九+?1(kcz)2、一83、 .25、sin(2x ), x r6、 b a c7、-1,08、149、k ,k-,k z3610、211、012、k113、14、15、解:(1) f (x)agb m(1 sin 2x) cos2x,由已知f m 1 sin 42(2)由f(x) 1 sin 2x cos2x2x当sin花2x 41时，f(x)的最小值为，.人 冗由 sin 2x 一 41,得x值的集合为x16、解法y 2.3sin xx 4是， y24sin23m(4,3)又 p(8,3)mp.42325(n)在 mnp/ mnp=120设/ pmn=,则 0 600,mp=5由正弦定理得sin1200np 吆3 sin , mn 3npmn故 np mn10 3 sin3sinsin(60010.30sin(6010.3 . n3 sin(6010.3) /sin&os)3600)q0 0得 =2. . .f (x)a 2,b 2 . 3 a2 b24由x=工时，f (x)的最大值为4,得 心12a 3 .12b 422(2)由(1)得 f (