一种新的求解带约束的有限极大极小问题的精确罚函数

1、应用数学和力学，第 33 卷第 2 期applied mathematics and mechanics2012 年2 月 15 口出版vol. 33, no. 2 ,feb. 15,2012文章编号：10004)887 (2012 )024)250-15应用数学和力学编委会.issn 10004)887一种新的求解带约束的有限极大极小问题的精确罚函数马 骋,李 迅姚家晖，张连生2(1.香港理工大学应用数学系，九龙，香港；2.上海大学数学系，上海200444 )摘要：提出了 一种新的粘确光滑罚函数求解带约束的极大极小问题仅仅添加一个额外的变量. 利用这个精确光滑罚函数,将带约束的极大极小问题转

2、化为无约束优化问题.证明了在介理的假 设条件卜，当罚参数充分大,罚问题的极小值点就是原问题的极小值点.进一步,研究了局部精确 性质数值结果表明这种罚函数算法是求解带约束有限极大极小问题的一种有效算法.关键词：带约束的极大极小问题；约束优化问题；罚函数中图分类号：。221.2 文献标志码：adoi： 10.3879/j.issn. 1000-0887.2012.02.010引 言极大极小规划问题有广泛的应用.许多决策问题可以转化为极大极小问题.大量的金融、 工程管理、经济问题同样都是转化成极大极小规划模型来求解的有兴趣的读杆可以在文献 12中找到极大极小模型在金融、经济学中的实际应用的范例.一些

3、最优控制问题”引也是转 化成极大极小问题的.本文中,我们考虑下面的带等式约束的极大极小问题：min max f (r )_1 wwi 小)s. t. fj (v ) = 0,vj = q + 1 ,，m,x e r其中，：收稿日期：2011-031；修订日期：2011-1123基金项目：amsstolyu联合研究所资助项目作者简介：马骋q983),男，山东青岛人，博上生 瞅系人.email： mc0812 ).250 - r，j = 1,2,h和与：*-r，j=q + 1,的是连续可微的函数.由于目标函数中包含极大项，因此它是连续但不是可微的，即使/ (x),j = 1,2,7是连 续可微函数

4、.因此，我们不能直接使用带导数的无约束优化算法来求解这个问题.在已有的文 献中，仃几种求解极大极小问题的算法,它们可以被分为下面两类：问题3)可以看作是带约 束的ik光滑优化问题.因此我们可以使用求解非光滑优化问题的一般算法，例如次梯度方 法、捆绑法、切平面法(如文献64).另一类方法是，考虑不可微的特定结构目的是利用某种 光滑优化算法.其中，包括利川光滑函数来正则极大项的技巧(见文献9-13 ). ye铲2借助 1994-2012 china academic journal electronic publishing house. all rights reserved, 马 骑 李 迅

5、姚家晖 张连生255于指数罚函数近似方法，提出光滑信赖域newtonyg算法.dipillo等传首先将精确罚函数方 法推广到求解带约束的极大极小问题中去.同样，也存在一些其他方法是基于弓i入一个新的变 量8 e r转化成下面等价的非线性规划问题来求解的：min 05. t. j & ) w 8,y j = 1 ,2,、q,(p )fj (x ) =0,vj = 7 + 1，j”,- g.e) e r+,.很明显，求解带约束的有限极大极小规划问题3)等价于求解问题(p).例如,zhou等川和zhu等网基于问题(p )提出了求解极大极小规划问题的sqp算法，并 且讨论了 些性质.obasanjo等

6、”提出了求解极大极小规划问题的内点算法.基于非线性规 划问题(p)以及连续可微的精确障碍罚函数的构造，对于有限的罚参数值，罚问题的最小值点 就是带约束的极大极小m题的最优值点.尽管传统的罚函数方法是受欢迎的方法，但是也存在着缺陷.如果罚函数是精确和光滑 的，那么它就不是简单的；如果罚函数是简单和光滑的，它就不是精确的.这里，“简单”的含义 是指罚函数仅仅包括原问题的目标函数和约束函数.为了说明这一点，我们举一个传统的约束 优化问题例子.min f (x )s. t. fj (x ) =。,y j e e,g. (v ) w 0.v e /,x e r其中jw - r,：/r - r. vj e

7、 e和g, w - r. ve e /是连续可微的函数分别表示 等式约束和不等式约束的指标集.我们给出下面儿种传统的罚函数：fa 6)二 / 6)+。(5 尸/(v) + z max (v ) ) ) ,(1 ), jwec/fa 6)=/&)+。( z,尸；(x ) + gnax i),g g ) ) y )(2 ) j /和fa (x) = fix) + at (x)f (x) + -ft (x )f g),6)其中，罚参数。0,f (r)：=(f; (r),j e e),a (t ) = (vf (v)+v/(r ), (v 尸(r )是尸(r ) 的广义逆矩阵.对于上面的3类罚函数，我

8、们知道：罚函数(1 )是非光滑简单精确罚函数；罚函数q)是 光滑简单罚函数，但不是精确的；罚函数g)是光滑精确罚函数,但不是简单的.近来,在文献17中，对于等式约束优化问题，通过引入一个新的变量，提出了一种新的 精确罚函数来求解等式约束优化问题如下：min/ (v ), t = x e m ,r ： f- (v ) = 0, v； e e # 0,(4 )x &s其中，,& e rn是具有非空内部的箱式约束,=其e r：iz w父w & , ( 8 ur)& w ( + 8 u 1)”，/：。一口和/；一1,力.e 都是定义在开集。上的连续可微函数，其中。包含 .固定号e r,vj e e考虑

9、下面的等价问题：min / g ）, s = （x.e ） e u.v x o.e： f： （x） = sw：.of r（）7vj & e= 0 = s x 0,6）其中 0是固定数.令f （x ）,如果 ? = 0, x e s,c （、/ 6 ） + ；、+ 奶 s ）, 如果。 w 合，） =2 1 - qa , ）广a（x. ） （ ,q 0、（+8,否则.to） 相应的罚问题可表示成min/7 g e），c7 ）* ） * x o.r这里,约束违背测度表示为白6,）= ,6） -叫尸.在较弱的条件下，文标17表明，非线性规划问题4）的局部最优值点就是相应的罚问题的 最优值点.然而,文

10、献17证明了 ,对于充分大的罚参数。0,当 0时，罚问题。）不存在 kaiush-kuhn-fucker （*, ） .但是,我们设计算法得到的一般就是 karushkuhntucker 点, 这是可以计算的，因此这是求解原问题4）的一个实际问题.受文献17的启发，本文中，针对极大极小问题,我们提出一种新的精确光滑罚函数，这 就是本文的写作目的.这种罚函数的主要特点是我们仅仅增加一个变最到约束也效益函数 可以看作是文和的函数，即使不需要梯度和jacobi矩阵的信息，也具有好的光滑性质和精 确性质.在s上，只要/）是下有界的.罚函数就是下有界的.这一点是。精确罚函数所不具 备的众所周知，罚参数过

11、大会给计算结果带来不好的影响.因此,本文中，对于算法，我们仅仅 要求罚参数增加较小的常数目的是保持罚参数尽可能的小,避免变态的情况发生.我们将会给 出，如果罚问题的局部最优解处，满足线性独立约束规范，那么局部极小值点可以被表述成 !，。）的形式另外，我们推出一个重要的结论，罚问题的极小值点）满足二=0当且仅当小，）是原问题（p）的最优值点,其中少是最优目标函数值.这个性质表明 叫入的新变最可以被看作是原问题（p）的局部（全局）最小值点的指示变最除了具有上述 的性质之外,我们指出这个罚问题还具有精确性，也就是说,存在一个有限数，当罚参数大于 这个有限数时,罚问题的最小值点就是原问题的最小值点.进

12、一步，局部精确性质也将会被给 出，这里目标函数和约束函数未必要求是光滑的.本文结构安排如卜.：笫1节我们介绍求解带约束的极大极小规划问题的光滑精确罚函 数；第2节.我们将会给出罚函数算法及其收敛性分析；笫3节，讨论这个新的精确光滑罚函数 的局部精确性质；第4节,数值结果；第5节，总结本文.1 一种新的光滑精确罚函数记s = （r.e ） e : j （r ） 一。w。，vj = 1 ,2,，q;f- （x ） = 0, vj = 9 + i,-*,/*. ）正如在弓i言中所陈述的，通过引入变量仇我们将规划问题（p）等价写作下面的优化问题： min 0, so = 6,，,)e a? ：/ 6

13、) - g w 8yw：, vj = 1 ,2,，q;g.s)es0 ujfj(x ) = 8ywj, v j = q + 1 ,，i , = 0 ,其中，叼e () j ), j = 1 ,2,/ .类似地，我们记作sfi = 6,8,)e r2 ： g ) -。w qwj,v j = 1,2,，q;f： (x ) = sy wi, v； = q + 1 , , , in .我们做如下假设：1)存在问题(p)的全局最优值点，这意味着。在集合s上是下有界的；2)如果 仁/) e 0),那么)=(x,6)e l(p)： 0 = 0 )是紧致集合，这里 l俨)表示问题(p)的局部最优值点集合.我们

14、建立求解极大极小问题的罚函数如下：8,如果 =。，&,e)ws,，七心)= 1-不忆仇)如果 h 0, 0 1 - 2-a(x,8, ) ,3是正偶数.相应,的罚问题匕)是(p4 ) min fa 般，。， ).飙他-孰小)对于六0,0 1 - 20a (x,e, ) 8 a 0,-a - i + 25 0,(10 )b1，那么lim fa ) =，(/ ,e ,0 )二, iiin /&，,)= o, so=0(rh j.6. )ws6. )e5. 吼 g,e,). 吼 e,e,)lim ； = 0 9 lim ； = 1 .一 od一店 o()0khjr* w )esr)ws证明 由 #0

15、,0 1 - 2口4缸。,) 1 可知，我们有 a g.e,)= 0 s), (x )-0 - ywj i = fe6 ) vy = 1 .2,g; i fj (x ) - eywj i = () 9 ), j = q + 、,m 和lim 1 -尸a - = c e 1/2 j . =0 tr.m tra)e5从式qo)g我们有23 。和0 1 因此可知,lim=0 tra 61.q9仇)alim 0 + + cret = 0 .一 jo.1 一 (x.o.e )(x.h g . es注意到，当&,仇 ）满足 # 0,0 1 - 2乜仁仇 ） 1, a缸心）是连续可微的.fa &,8, ）在

16、长、,）点处的梯度是这里-6,仇）= &,仇)= (/(x,e.),“(：,),吼),dud (1 - -a (r ,仇 )a 6.仇 )+ 一 “牛(x,8, )p(34 (x.e.e) a 一 a 6,仇) 一2812 e,e,)+( daa (x.o,e ) a / a -已工 &,0，) (1 一 -a (x.e, ) + 上仇 (1 一 -%a) )2)_a a*a g ,6. )(1 一 - (x ) ) + a & ,)-不(x.e, )(1 - -a ，仇)2-a(r,6. )d 一/ ,仇)尸 1994-2012 china academic journal electron

17、ic publishing house. all rights reserved, ai)af。8,e,) ,-( “ag,)、/八、”ag,。.*)、m ，(-la) + -2)=a %a 6，仇)(1 -尸a 6，) + a (r,e,)口“a 仇)_1 + a -a &,e,)2=_0 -a 优2)_ (i - a 6,仇)尸 2-“ 2 max (fj (x ) - 0 - ，,0 )(12 )1:(1 - -a(x ,e, ) )2和-aaa(x,e.g) -25 6，仇)+dfa 6,. ) de =-a-1 a 6,优),_ as 不+ 8i 一a 6,e,)a w,e,)(-

18、23*-%a g,e,)+ -”“a q,e,)李 迅姚家晖张连生261-4a (工，。,)a (r ,。,) / (1 一 &,)2 + p+ (t =_.a.1 a ，氏) ,q -a ，)-2舐 3a /)a 1 - h (r,e, ) 8(1 - a(k,e. ) )2b (t = | -g,e, ) (1 - a & ,8,e )-2ysa+yl 2 max (f- (x ) - 0 - ，%,。)wj + (f, (r ) - /叼)叼 j=ij=q+i2昆a3 a2 (、,/)/ (1 -3 a g,优)2 +* =-7 - aa &,。， ) (1 - -a (x.o.c )-

19、 (i - - a(x.e,)r l2ysy i y max $ (x ) - 0 - 。，小0 )叼 +(13 ) (fj (x) - )% )%) -g,6, ) + 0/i .j掌i结合式(10). (11 )、(12)和(13 )，对于任意罚参数。 0,我们可以推得lim / &,8, )=0, =0%/ )5机(x,8,)lim ； = 1 67, -0ddlim=0(x.d )- m ./)wsdfa &,8, )=0, 1994-2012 china academic journal electronic publishing house. all rights reserved

20、, 步1选择任意小的数金洛 0,7； 0.另外，选择a0,p 0和初始点(,仇,o ) e *“ x (-,),。六0,设置力=0;若 = 0. (x,。) e s,若六0.0 1 -2”a(x,8,s ) j=q+i- 2瓯”a?（q仇,勺）+8靖 = 0.如果 如，4.4）e s，那么上面式子的左边等于叫0或7六0,矛盾.因此，%,仇，q）zs.注 我们有这样的结论：如果在点m,4&）处满足 -心如，4,%）=。并且具有有限目标函数 值工tam，机,8）和6k/o,那么k.仇，& ） u s 引理2.2如果如，仇,与）“户外）,具有有限的目标函数值几 优血，4）,户0, % 仇，外）4（x

21、,6,3）并且/ （r* ） j =（i + ，川是线性独立的那么， = 0.仁，） e s.证明首先证明一e l阴），我们有0.由与。和引理2.1,我们有册，仇，/）2sg.再由6八仇同） gnax g t）一 仇一或叼,0 ） 以 储）+ % % ) -或吗)vfk) jr+i(1 一/a 包,仇)2 = 0,(14 )吼人g*，仇，&） :=1 一do2；0 2 max /加）一4 一 1）-二0（1 -/（%仇，与）尸(15 )（1 - /期也，仇9% ）2一 aa & 9仇,&)(!- /a(xk 9仇，/ )-2y1（ ma、g %）一 仇 一 ）小。）叼 +m(16 )y氏（口）

22、-或吗）吗）-2加一，仇，4 ） + 6靖& = 0j,l从式（16）,推得一 aa 8仇，人）- a 仇,上）一2y（ max/仇）一仇一墟叼,0 ）叼+x/(/)-或吗)叼)-2期(q ,仇,)+ j = g + lp (1 一/一口.仇，4)2泮+%人=0.(17)令4一 + ”，由式(17),第1项到第3项趋于有限值.由罚函数。，/)的结构,可知 lim (1 - (q ,仇，()#= 0 j, 00 因此lim 4=()(18 )下面我们证明6 ,9 ) e s.由式(15 )，我们有琮。一 a k，仇，4)2 - 2 y max 勿(xk )-4一琢吗，。)=0.(19 )令k t

23、+ x ,我们有 mux / g* )-0 - s)，吗,0 )=0, 因而 “/ fe, ) - 0 w 9* y吗,v； = 1 ,2, gnax g ) - 6 -)，叼,0)尸 +j=i s (r* ) - g )”j)2 = 0. j=”i 我们有 (x ) - 6 w 0,yj=l,2；q,fj (r* ) - q* )rwj = fj (x* )=0,vj = 7 + 1，?，即(/ d ) e s.定理2.1假设&,仇,4) e l (/)并且九&仇,q)是有限值，4产0.对于任何聚 点(/,/，/ )，工6* ),j = q + l,加满足线性独立约束规范，那么4 )是甲)的

24、局 部最优解,其中是最优值.证明 由定理2.1,存在序列(%/,”)、c (玄，仇,)使得 葭,配,“)& 仁4 ,/ ).再根据引理2. 2可知一 二0和e/ )是问题(p)的可行点，并且,/)w 8, .yj = 1,2,g 因此，存在一个邻域o (r* .0 ,0 )，对于邻域中的点仇.夕,0 ) e o .6,， 0)p csx 0 ),特别地.max” .,j 6) ,那么，由父,4,)的定义，我们有对于任何 j = 1 ,2, 5,那么，存在心 o,当* n从，我们有4 = o, l，仇）e l。）.证明 反证法.假设这个定理不成立，那么存在子列心，仇.，九）u 七，仇，4） 使得

25、对任何儿0,当外2儿，心，酊 j）w l。仁），并且具有有限值，以上一%,”）,也 # 0并且定理2. 2的条件在这个子序列上成立.由引理2. 1 , （%，u ）名s成立.因此，=09q -螳a仁“双”）尸1一 aa 优*，。”，%*）q - 葭、6仇，人）一max g 虱)-% - wp0 犯 + 黑吗)叼jt八（23）2航;a? %,%,“ ) + pa根据引理2. 2,我们推得% - 0,（%,仇晨）* g*，） w s.结合“ #。,0 1 - 2服” %，仇. j） 1，我们有lim 1 - ；：a 6 .0, ） = c* e 一1/2,1 一.”：=0. ws令-1-8+252

26、0, ae+b+y2o,式。3）的第1项趋于有限值，第2项趋于无穷, 而式（23 ）的右边为0,这不可能.因此，不存在这样的子列.因此存在儿 0.当a 2幻，我们有 a = 0, &,仇,0）e l （ptri ），这里，仇满足fj（xk ） w 仇， j = 1 ,2,q;fj（xk） =0, j = q + 1 , , ,zn .李 迅姚家晖张连生267因此,由(仇.0)c l伊6),在点仇,0)处存在一个邻域。如,0),对于所有的、8, o) c o (仇,。)n 6 x 0 ),特别地 4 = maxf. j g ),我们有仇=fah 七,a。)w fk g，,。) = e,因此，(x

27、k,0k ) e (p).3局部精确性质在本节中，我们将证明，在一般较弱的条件下和一些附加的假设条件下，对于充分大的罚 参数k ,0)是罚问题(p“)的局部最优值点，如果仁，)是原问题)的局部极小 值点.我们考虑非光滑的情况.假设/ g ),力 = 1 ,2,凶和尸, g ), vj=4+ 1 ,川是非光滑 函数为了正则化/, j = 1,2,凶和工j = 4 + 1,，*我们通过引入上述的变蜃，将/ &), vj = 1 ,2,国和k (l ), / =min 0r巴)s. t. / 0, ) w。，vy = 1,2。4 ) (r, ) = 0,v_/ = / + 1，机.令hj (r,e,

28、 ) =/6,)-仇vj = 1.2，,。和5 0 使得(list(x s ) a- (| f (r ) | + g (xy | )成立，这里 是r”上的一个闭球.接下来,我们讨论问题(p)的误差界成立的条件.我们做以下假设：(aj )对于(i ), managasarianromovitz约束规范在(r* , 0 )处成立,也就是说,工(r* ,0), j = q + 1,，是线性独立的，并且存在向最s e a”使得)t 池.，0) ，力 e / 仁，)；。使得对于(%。)e &,ynt-t( x |人6，仇。)+ | + 2 ll o)ll )j=q八成立.下面我们给出局部精确性质的重要理

29、论结果.在证明之前，我们首先需要做如下假设：(h, )3.0,y是正偶整数并且满足5 n8和y 2 0;的2)对于充分小的0 1，|4 &*,)一 4 6,心。)| w 人一，vj = 1 ,2, e -,0)u| 工(t, ) 一 (r ,0 ) | w k/,vy = 7 + 1 , , , ,zzi, e 一 .0 ) u 。， .基于上面的假设，我们给出这一节的主要结果：定理3.1假设(a. )、(h,)和()都成立，对于充分大的罚参数口在(/ v )处存在 一个邻域n c n。以及充分小的0 fa (r* .e, ,o) = o,.对所有 g,8、 ) g a7 x 一 .0 ) u

30、 0. j .特别地，y，0)是。6,仇)的局部极小值点.证明假设罚参数(t n hit (k + 2 ).我们分成两种情况进行分析时于g，8)g n, e - ,0)u。, ：(i) a g,。) n s”;(ii) a (x,0,8) f(r(v* .o ,0 ). 我们进一步分析情况(ii)对于情况(ii), a(x.e.) + (f, g,e ) - eywj )2 推得| fj (t, ) | y i wj i + | fj(x, ) - sywj | sy i 叼 i + ，,vj = q + 1 ,，2 ；| hj (r,g, ) | w i wi i + | hi 6，。, )

31、 - syivi | 3 i 叼 i + 3,v； g j* ).其中(.)= ； = 1.2川 田&.优 )2/叼.进一步结合引理3.1和假设(h,)、 (h2 )，我们有/ we + 7( 2 ii田 优。)+ ii + 11 。)11 )=e + 7( z g r仇o)| + x | 号 fe.o)| ) w，/ ke.o)j=q3inm0 + t( 2 ii hj g,8，)| +2 心 + 2 ii fj (x.)ii + kv ) jc.h.o)；j* u.e-0)j = g+j = g+qm6 + 7 ( y i wj i + q + kq/ +2/1 叼 i + g 一，/)+

32、 k g - 4 )/ ) w/=*j=q八0 + hit % + 2 )/ w0 + (t* .第2个不等式和第4个不等式分别源自于假设(h2 )和(乩).因此，(v* .0* ,0 ) = o 。+ acp ke,), 对于所有 g,8, ) w n x - ,0 ) u 0, ：/ ,0)是a(x,8,)的局部极小值点.口4数值实验为了检验算法的可实施性和有效性，我们进行如下数值实验.该实验利用matlal) 7.8.0软 件，在 intel core 2cpu 2. 39 ghz j. 99 gb memory 机器上运行.我们使用 | v代，8, )| w 1。作为停机准则.表格1

33、5中s表示罚参数,，仇，表示最终迭代点，以及/上) 表示函数/在4上的函数值.例1令fi (r ) = 0(x2 - x )9 f2 (x ) = - 10 (r2 - x| ), (t ) = 1 一阳，j(r) = l+xi,f1(r) = looxj + x1 - 101, f2 (x ) = 80x, 一文；-79.为了使得a,dy.5满足式(10)和。2),这个例子中，克法参数我们设置为a = 6,0 = 8,-y = 10,6 = 8.最优解和最优值分别为/ =(1/)和/仁)=0.初始点为.to =匕.- 1 ).仇二- 5 . 二 2 表1例1的数值结果fable 1 nume

34、rical results of example 1kgxk仇k&k，。卜)12(1.000 0, 1.000 0)0.00000.226 61.755 9e-oo524(1.000 0. 1.000 0)0.000 00.299 12.877 9e-00436(1.000 0. 1.000 0)o.(xx) 00.265 51.5()0 5e-0()448(1.000(). i.oooo )o.(xx) 00.304 16.092 7e-004510(l.(xx)o. 1.000()o.(xx) 40.051 55.790 5e-0()4这里,算法参数设置为a = 6,0=8.y = 10,

35、5 = 8,最优解和最优值分别为一 = 0,0), )= 0 .初始点是维=0),8。=一 1.% = 2.表2例2的数值结果table 2 numerical results of example 2k仇q（口 ,仇间）12(-0.000 0 , 0.000 3 )0.000 00.193 85.292 2e-00624(-0.000 0 , 0.000 0)0.000 10.221 09.822 9e-00536(-0.000 2. -0.014 9 )0.008 20.412 50.015 8480.000 0 . 0.002 2 )0.000 20.225 92.729 8e-0045

36、100.0000. 0.002 0)0.000 20.237 73.78) 3e-004例3令 g )=无：+ 无；9 人 6 ) = (2 - x.)2 + 2 -1,)2, 一a 6)二2exp (x2 -),k 6）二xx + x2 - 2, f2 (x ) = - %j - x 1 +2.25.算法参数设置为a=6,0 = 8 ,y = 10,5 = 8最优解和最优值是一=(1.353 55, 0. 646 45 )和）= 2.25.初始点是比。=0,。）,%=1 ,% = 2 表3例3的数值结果fable 3 numerical results of example 3ka八仇q12

37、(1.007 1. 1.077 1 )2. 134 70.788 62.522 724(1.353 6. 0.646 4 )2.250 00. 180 32.250 036(1.353 6. 0.646 4 )2.250 00.206 42.250 048(1.353 6. 0.646 4 )2.250 00.160 32.250 0510(1.353 5. 0.646 5 )2.250 00.240 12.250 1例4令 g)=cxp ( 1 000 i1”,f2(x)= exp (l + 1 000t + 1 ），k 6)= 7555 + ”； + 阳/, (r) = - x, + %；

38、.算法参数设置为a =6,0 = 8, y = 10, 8 = 8 .4),0 ),% = 1= 2 最优解和最优值是/ = 6.0）和/& ）=2.718 28 .初始点为常。表4例4的数值结果fable 4 numerical results of example 4k仇4/0 m &4)12(-0.000(). -0.000()2.718 30.177 32.718 3240.000 0 . 0.000 0 )2.718 30.232 52.718 3360.0000. 0.000 0)2.718 30.226 02.7184例5令&)=+%；+ 2x1 + %： - 5/ - 5x2

39、- 21久3 + 7乙 9f2 (x ) =(x) + lofj (x)9 f3 (x ) = /| (x ) + 10f2 (x), (r ) = fx (r ) + 10f, (x ),f, (x ) = x| + xl + %3 + x)-42 + x3 一 %4 - 8 9f2 (x )= x + 2x + %3 + 2%4 - x1 - x4 - 9 .f3 (x ) = x +%；+%；+ 2x)- x2 - x4 - 5 .算法参数设置为a = 6,0 = 8, y = 10, 8 = 8.最优解和最优值是/ = 0. 0. 2, - 1 )和/(/ ) =-44 .初始点是跖

40、= (- 1, 1.5, 1.8,- 1 ),4 = - 5。,4 = 2 .表5例5的数值结果table 5 numerical results of example 5ka外4* m 皿，j)12(-0.006 8. 1.000 8 , 2.004 6, -0.994 2 )-43.999 80.379 1-43.998 82100 043 4, 0.994 5. 1.969 9. -1.036 0 )-43.985 40.396 7-43.978 83180.030 9 . 0.996 1. 1.978 7. -1.025 8)-43.993 00.007 3-43.978 6数值结果表

41、明，通过适当的参数选取，我们不要求很大的罚参数就可以获得问题的最优值 点，这说明本文设计的罚函数是合理的，并且运算效果良好.注在本文设计的算法的执行过程中,与其他的罚函数方法有所不同不同点在于初始点的选取.也就 是说，我们在执行该算法前,应该选择初始点满足0 1 -zelagu.%*。) 1 .这个可以通过求解方程 1 -26/a 与)=c来实现，这里。是属于区间01)中的任意实数.5结 论在本文中，针对带约束的极大极小规划问题，我们设计一种新的精确光滑罚函数.我们的 目的是提供一种新的求解非光滑的极大极小规划问题的光滑克法.在合理的假设条件下，当罚 参数充分大，罚问题的极小值点就是原问题的极

42、小值点.进一步，我们也研究了精确罚的逆定 理，即我们讨论了在一般的假设条件下，原问题的解/也是罚问题的解仁，。).数值结果表 明这种新的罚函数算法是求解带约束有限极大极小问题的一种有效算法.致谢 本文第三作者感谢香港理工大学rgc项目6365/09e )对本文的资助.参考文献references)：1 bustrm b. howe m a. algorithms for worst-(.lane design with applications to risk mantigemenl m . erinceton： princeton university press. 2(x)1.2 j zh

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