第九章多元线性回归异方差问题

1、1第九章第九章 多元线性回归的异方差问题多元线性回归的异方差问题一、异方差及其影响二、异方差的发现和判断三、异方差的解决方法2一、异方差及其影响一、异方差及其影响1、异方差的定义：、异方差的定义：对于多元线性回归模型，如果随机扰动项的方差并非是对于多元线性回归模型，如果随机扰动项的方差并非是不变的常数，则称为存在异方差（不变的常数，则称为存在异方差（heteroscedasticity)。异方差可以表示为异方差可以表示为 。 或或 2iiVar 22221nEVar3两变量线性回归模型的异方差两变量线性回归模型的异方差 Y0XiXjX41、异方差的定义、异方差的定义 异方差主要出现在截面数据分

2、析中，例如大公司的利异方差主要出现在截面数据分析中，例如大公司的利润变化幅度要比小公司的利润变化幅度大，即大公司利润润变化幅度要比小公司的利润变化幅度大，即大公司利润的方差比小公司利润的方差大。这取决于公司的规模、产的方差比小公司利润的方差大。这取决于公司的规模、产业特点和研究开发支出多少等因素。又如高收入家庭通常业特点和研究开发支出多少等因素。又如高收入家庭通常比低收入家庭对某些商品的支出有更大的方差。比低收入家庭对某些商品的支出有更大的方差。例例6-1：人均家庭支出（：人均家庭支出（cum)和可支配收入（和可支配收入（in)的关系模型的关系模型 给出中国给出中国1998年各地区城镇居民平均

3、每人全年家庭交年各地区城镇居民平均每人全年家庭交通及通讯支出（通及通讯支出（cum)和可支配收入（和可支配收入（in)的数据，估计两者的数据，估计两者之间的关系模型之间的关系模型52、异方差的影响、异方差的影响1、OLS估计量不再是估计量不再是BLUE，其是无偏和一致的，但并，其是无偏和一致的，但并非有效的，即不再具有方差最小性。非有效的，即不再具有方差最小性。2、检验假设的统计量不再成立，建立在、检验假设的统计量不再成立，建立在t分布和分布和F分布之分布之上的置信区间和假设检验不可靠。上的置信区间和假设检验不可靠。6二、异方差的发现和判断二、异方差的发现和判断（一）残差的图形检验（一）残差的

4、图形检验（二）帕克检验（二）帕克检验（Park test）（三）戈里瑟检验（三）戈里瑟检验（Glejser test）（四）怀特检验（四）怀特检验（White test）7（一）残差的图形检验（一）残差的图形检验 这是一种最直观的方法，它以某一变量（通常取因变这是一种最直观的方法，它以某一变量（通常取因变量）作为横坐标，以随机项的估计量量）作为横坐标，以随机项的估计量e或或e2为纵坐标，为纵坐标，根据作出的散点图直观地判断是否存在相关性。如果根据作出的散点图直观地判断是否存在相关性。如果存在相关性，则存在异方差。通常的方法是先产生残存在相关性，则存在异方差。通常的方法是先产生残差序列，再把它和

5、因变量一起绘制散点图。差序列，再把它和因变量一起绘制散点图。 例例6-2：利用该方法绘制上一章关于美国机动车消费量利用该方法绘制上一章关于美国机动车消费量的模型中的模型中QMG与残差的散点图。与残差的散点图。8（二）（二）Breusch-Pagan检验检验假设回归模型如下：假设回归模型如下：检验假定线性函数检验假定线性函数(1) 22110uxxxYkk(2) 221102vxxxukk9步骤：步骤： 1、作普通最小二乘回归（、作普通最小二乘回归（1），不考虑异方差问题。），不考虑异方差问题。 2、从原始回归方程中得残差、从原始回归方程中得残差ui，并求其平方。，并求其平方。 3、利用原始模型

6、中的解释变量作形如上式、利用原始模型中的解释变量作形如上式(2)的回归，记的回归，记下这个回归的下这个回归的R平方平方 。 4、检验零假设是、检验零假设是 对方程（对方程（2）进行）进行F检验检验，或计算或计算LM统计量进行检验。统计量进行检验。22uR0:210kH222kuRnLM10（三）戈里瑟检验（三）戈里瑟检验1、通常拟合、通常拟合 和和 之间的回归模型：之间的回归模型： 根据图形中的分布选择根据图形中的分布选择2、再检验零假设、再检验零假设 0（不存在异方差）。如果零假设（不存在异方差）。如果零假设被拒绝，则表明可能存在异方差。被拒绝，则表明可能存在异方差。 ejXljXe 211

7、,1或l11（四）怀特检验（四）怀特检验假设有如下模型：假设有如下模型： （3）基本步骤：基本步骤：1、首先用、首先用OLS方法估计回归方程（方法估计回归方程（3）式。）式。2、然后作辅助回归：、然后作辅助回归： （4）iiiiuxBxBBy22110iiiiiiiivxxAxAxAxAxAAu216224213221102123、求辅助回归方程的、求辅助回归方程的R2值。在零假设：不存在异方差下，值。在零假设：不存在异方差下，White证明了，从方程（证明了，从方程（4）中获得）中获得R2值与样本容量（值与样本容量（n）的积）的积服从卡方分布服从卡方分布 自由度等于（自由度等于（4）式中的解

8、释变量的个数。）式中的解释变量的个数。4、根据样本计算统计量、根据样本计算统计量n*R2值，并与所选取的显著性水平进行值，并与所选取的显著性水平进行比较，看是否接受零假设（零假设为残差不存在异方差性）。比较，看是否接受零假设（零假设为残差不存在异方差性）。5、Eviews计算：计算：View-Residual Tests-White Heteroskedasticity .应用应用：对例：对例6-1进行进行White异方差检验异方差检验22Rn（四）怀特检验（四）怀特检验13等价的等价的White检验检验（1）用）用OLS估计模型（估计模型（3），得到残差和拟合值，计算它），得到残差和拟合值，

9、计算它们的平方；们的平方；（2）做回归）做回归 记下这个回归的记下这个回归的R平方平方（3）构造）构造F或或LM统计量并计算统计量并计算p值（前者为值（前者为 F2，n3分布，分布，后者用后者用 分布。分布。vyyu221022214（五）（五） 实例实例 使用使用Wooldridge中的数据中的数据HPRICE.RAW中的数据中的数据来检验一个简单的住房价格方程中的异方差性。水平来检验一个简单的住房价格方程中的异方差性。水平变量模型为（分别采用水平变量和其对数项分别进行变量模型为（分别采用水平变量和其对数项分别进行回归分析）回归分析）发现：发现：采用水平模型存在异方差性，但采用对数模型不采用

10、水平模型存在异方差性，但采用对数模型不存在异方差性。存在异方差性。bdrmssqrftlotsizeprice321015三、异方差的解决方法三、异方差的解决方法p 加权最小二乘法p 模型的重新设定16（一）加权最小二乘法（一）加权最小二乘法p基本思路：赋予残差的每个观测值不同权数，从而基本思路：赋予残差的每个观测值不同权数，从而使模型的随机误差项具有同方差性。使模型的随机误差项具有同方差性。17（一）加权最小二乘法（一）加权最小二乘法方差已知的情形方差已知的情形假设已知随机误差项的方差为假设已知随机误差项的方差为var(ui)= i2 , 设权数设权数wi与异与异方差的变异趋势相反方差的变异

11、趋势相反, wi =1/ i, 将原模型两端同乘以将原模型两端同乘以wi。wi使异方差经受了使异方差经受了“压缩压缩”和和“扩张扩张”变为同方差。变为同方差。18（一）加权最小二乘法（一）加权最小二乘法222201iiiwwiiybb x方差已知的情形方差已知的情形对于一元线性回归模型对于一元线性回归模型y=b0+b1x+u，加权最小化残差平方，加权最小化残差平方和为和为获得的估计量就是加权最小二乘估计量。对于多元线性回获得的估计量就是加权最小二乘估计量。对于多元线性回归模型归模型y=Xu，令权数序列，令权数序列wi =1/ i ，W为为NN对角矩对角矩阵，对角线上为阵，对角线上为wi ，其他

12、元素为，其他元素为0。则变换后的模型为。则变换后的模型为WyWXWu19（一）加权最小二乘法（一）加权最小二乘法方差已知的情形方差已知的情形（1）误差方差与）误差方差与xi成比例成比例Var(ui)=2 * xi其中其中2为常数，这时可以令权序列为常数，这时可以令权序列（2）误差方差与）误差方差与xi2成比例成比例Var(ui)=2 * xi2其中其中2为常数，这时可以令权序列为常数，这时可以令权序列1/iiwx1/iiwx20（一）加权最小二乘法（一）加权最小二乘法方差已知的情形方差已知的情形实例：住房支出模型实例：住房支出模型 给出由四组家庭住房支出和年收入组成的截面数据，建给出由四组家庭

13、住房支出和年收入组成的截面数据，建立住房支出模型，并检验和修正异方差。立住房支出模型，并检验和修正异方差。（3）其他的与自变量）其他的与自变量xi的加权形式的加权形式f(xi)01iifxxrr21（一）加权最小二乘法（一）加权最小二乘法方差已知的情形方差已知的情形220101010101010101220101()1iiiiiiiiiiiiiiiiVarVarVarxrrybb xxxxxrrrrrrrrxrrxrrxrrxrr22（一）加权最小二乘法（一）加权最小二乘法 （4）用随机误差项的近似估计量求权重序列）用随机误差项的近似估计量求权重序列首先利用首先利用OLS估计原模型得到残差序列

14、估计原模型得到残差序列 ，然后利，然后利用残差序列的绝对值的倒数序列作为加权序列，用残差序列的绝对值的倒数序列作为加权序列，即令即令实例实例：采用该方法修正：采用该方法修正6-1模型的异方差性模型的异方差性1/iiwuiu23（一）加权最小二乘法（一）加权最小二乘法 OLS是加权最小二乘法的特例是加权最小二乘法的特例显然，当满足同方差假定时，显然，当满足同方差假定时， w1 = w2 = = wn = 1/ = 常数常数 即权数相等且等于常数，加权最小二乘法，就是即权数相等且等于常数，加权最小二乘法，就是OLS法法。24纠正异方差性的一个可行程序（1）将）将y对对x1, x2,xk做回归并得到

15、残差做回归并得到残差u;（2）将残差进行平方，然后再取自然对数而得到）将残差进行平方，然后再取自然对数而得到log(u2);（3）做）做log(u2)对对x1, x2,xk的回归并得到拟合值的回归并得到拟合值g；（4）求拟合值的指数：）求拟合值的指数：h=exp(g)（5）以）以1/h为权数用为权数用WLS来估计方程。来估计方程。在（在（3）中做）中做log(u2)对对 的回归本质上是完全一样的的回归本质上是完全一样的2, yy25实例：实例： 采用采用Wooldridge中的数据中的数据Smoke.Raw中的数据来估计一中的数据来估计一个对日香烟消费量的需求函数。个对日香烟消费量的需求函数。

16、基本回归模型如下：基本回归模型如下： cigs=a0+a1log(income)+a2log(cigpric)+a3educ +a4age+a5age2+a6restaurn 其中其中cigs为每天吸烟的数量；为每天吸烟的数量； income为年收入；为年收入； cigpric为每包香烟的价格（以美分为单位）；为每包香烟的价格（以美分为单位）；educ为受教育年为受教育年数；数；age为年龄；为年龄；restaurn为一个二值变量（若此人居住为一个二值变量（若此人居住的州禁止在餐馆吸烟，则取值的州禁止在餐馆吸烟，则取值1，否则取值，否则取值0）。）。26（二）模型的重新设定在计量经济学实践中，

17、计量经济学家偏爱使用对数变在计量经济学实践中，计量经济学家偏爱使用对数变换解决问题，往往一开始就把数据化为对数形式，再换解决问题，往往一开始就把数据化为对数形式，再用对数形式数据来构成模型，进行回归估计与分析。用对数形式数据来构成模型，进行回归估计与分析。这主要是因为对数形式可以减少异方差和自相关的程这主要是因为对数形式可以减少异方差和自相关的程度。度。27案例居民储蓄模型估计1、问题的提出、问题的提出2、初步模型估计、初步模型估计3、异方差检验、异方差检验4、异方差模型的估计、异方差模型的估计加权加权LS法和模型变换法法和模型变换法281、问题的提出 储蓄是居民的储蓄是居民的金融消费金融消费

18、，也是满足相应收入水平的，也是满足相应收入水平的“基本生活基本生活”以后的以后的扩展消费扩展消费，从具体问题的经验分，从具体问题的经验分析，储蓄具有异方差特性。因此建立储蓄模型就不能析，储蓄具有异方差特性。因此建立储蓄模型就不能使用最小二乘法。使用最小二乘法。292、初步模型估计首先，估计居民储蓄与可支配收入之间的回归模型首先，估计居民储蓄与可支配收入之间的回归模型30-600-400-2000200400600010000200003000040000RESIDX残差与收入残差与收入x的散点图的散点图313、异方差检验 图示法检验：图示法检验：残差平方与自变量呈比较典型的喇叭型残差平方与自变量呈比较典型的喇叭型32050000100000150000200000250000010000200003000040000RESID2X33异方差：残差随收入增大而增大异方差：残差随收入增大而增大 -2000-100001000200051015202530RESID344 4、异方差模型的估计、异方差模型的估计加权最小二乘法加权最小二乘法在分析收入对储蓄的影响的时候，权数变量可以在分析收入对储蓄的影响的时候，权数变量可以选取选取hi