第三节向量值函数在定向曲线上的积分

1、第三节第三节 向量值函数在定向曲线上的积分向量值函数在定向曲线上的积分( (第二类曲线积分第二类曲线积分) )二、问题的提出二、问题的提出四、第二类曲线积分的计算四、第二类曲线积分的计算三、第二类曲线积分的概念三、第二类曲线积分的概念一、定向曲线及其切向量一、定向曲线及其切向量一、定向曲线及其切向量一、定向曲线及其切向量1、 带有确定走向的曲线称为带有确定走向的曲线称为定向曲线定向曲线AB 用用 表示起点为表示起点为 A , 终点为终点为 B 的定向的定向曲线曲线(弧弧).的反向曲线记为的反向曲线记为定向曲线定向曲线 .代表两条不同的曲线代表两条不同的曲线与与曲线曲线 的参数方程写作：的参数方

2、程写作：定向曲线定向曲线AB ,:, )(, )(, )(battzztyytxx .,btBatA 对对应应终终点点对对应应其其中中起起点点表示：表示：的参数方程也可用向量的参数方程也可用向量定向曲线定向曲线AB ,:,)()()()(batktzjtyitxtrr .)(的的点点的的向向径径上上对对应应参参数数表表示示其其中中ttr 2、定向光滑曲线上各点处的切向量的方向总是、定向光滑曲线上各点处的切向量的方向总是与曲线的走向相一致与曲线的走向相一致 .切切向向量量为为：在在其其上上任任一一点点处处的的曲曲线线由由参参数数方方程程给给出出的的定定向向 )(, )(, )(tztytx .,

3、取取负负号号时时当当取取正正号号时时其其中中当当 babaoxyABL二、问题的提出二、问题的提出1 nMiM1 iM2M1Mix iy 实例实例: : 变力变力 F 沿曲线沿曲线 L 所作的功所作的功,:BAL平面光滑曲线弧平面光滑曲线弧 jyxQiyxPyxF),(),(),(力力常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(1 jyixMMiiii . ABFW,),(),(),( jQiPFiiiiii 取取,),(1 iiiiiMMFW ,),(),(iiiiiiseFW 即即oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(ii

4、F ix iy ,d),(),( LsyxeyxF ,coscos),( jiyxe 若若记记,dcos),(cos),( LsyxQyxPW 则则,),(),(1 niiiiiiseFW ,),(),(lim10 niiiiiiseFW 三、第二类曲线积分的概念三、第二类曲线积分的概念,),(dcos),(cos),(,dcos),(dcos),(,),(coscos),(,),(),(),(,上的积分上的积分在定向曲线弧在定向曲线弧为向量值函数为向量值函数则称积分则称积分同时存在同时存在与与若积分若积分处的单位切向量处的单位切向量上点上点是定向弧是定向弧有界有界上上在在向量值函数向量值函数

5、线弧线弧面上一条光滑的定向曲面上一条光滑的定向曲为为设设LyxFsyxQyxPsyxQsyxPyxLjiyxeLjyxQiyxPyxFxoyLLLL 1.定义定义记为：记为： LryxFd),(即：即： LsyxeyxFd),(),( LsyxQyxPdcos),(cos),( LryxFd),( , )d( , )cosd ,( , )d( , )cosd ,LLLLP x yxP x ysQ x yyQ x ys若记则：则： LryxFd),( LyyxQxyxPd),(d),( LryxFd),( LyyxQxyxPd),(d),(rdsyxed),( )dcos,d(cosss )d,

6、d(yx ,d称为定向弧元素称为定向弧元素ryx d,d.,的的投投影影元元素素称称为为定定向向弧弧的的坐坐标标为为Lrd.d),(d),(分分也称为对坐标的曲线积也称为对坐标的曲线积 LyyxQxyxP,称为定向积分曲线称为定向积分曲线L.d),(d),(称称为为积积分分表表达达式式yyxQxyxP 2. 第二类曲线积分存在的充分条件：第二类曲线积分存在的充分条件：3.3.第二类曲线第二类曲线积分的性质积分的性质1) 第二类曲线积分具有线性性质第二类曲线积分具有线性性质.d),(,)(),(必存在必存在第二类曲线积分第二类曲线积分连续时连续时上上的曲线弧的曲线弧或分段光滑或分段光滑在光滑在光

7、滑当当 LryxFLyxF LLLyQxPyQxPyQxPyQxPdddd)dd()dd(22112211 2) 对于定向积分曲线弧的可加性对于定向积分曲线弧的可加性.d),(d),(d),(d),(d),(d),(,2121 LLLyyxQxyxPyyxQxyxPyyxQxyxPLLL则则则则有向曲线弧有向曲线弧方向相反的方向相反的是与是与是有向曲线弧是有向曲线弧设设,)3LLL 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. LLyyxQxyxPyyxQxyxPd),(d),(d),(d),(四、第二类曲线积分的计算四、第二类曲线积分的计算,d),(d),(,0)(

8、)(,)(),(,),(, ),(:, )(, )(22存在存在则第二类曲线积分则第二类曲线积分且且一阶连续导数一阶连续导数为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及以以在在上有定义且连续上有定义且连续在在的参数方程为的参数方程为平面光滑定向曲线弧平面光滑定向曲线弧 LyyxQxyxPtytxbatytxLyxQyxPbattyytxxL定理定理ttytytxQtxtytxPyyxQxyxPbaLd)()(),()()(),(d),(d),( 且且说明：说明：2) 第二类曲线积分也是化为定积分进行计算，第二类曲线积分也是化为定积分进行计算，但此时定积分的上、下限要根据题目中给定但此时定积分的

9、上、下限要根据题目中给定的定向曲线弧的起点和终点来选定，的定向曲线弧的起点和终点来选定，下限不下限不一定小于上限一定小于上限 .3) 计算第二类曲线积分时，由于涉及到积分计算第二类曲线积分时，由于涉及到积分曲线的定向问题，曲线的定向问题，要慎用对称性要慎用对称性. 一般地，一般地，在曲线积分化为定积分后在曲线积分化为定积分后再对定积分考虑能再对定积分考虑能否用对称性简化计算否用对称性简化计算 .,),(, ),()1方程代入方程代入要用曲线要用曲线上上定义在定义在yxLyxQyxP特殊情形特殊情形.:)(:)1(baxxyyL .d)()(,)(,ddxxyxyxQxyxPyQxPbaL 则则

10、.:)(:)2(dcyyxxL .d),()(),(ddyyyxQyxyyxPyQxPdcL 则则例例1.)1 , 1()1, 1(,d2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计算BAxyLxxyL 解解)1 , 1(B)1,1( Aoyx1,的的定定积积分分化化为为对对 y,2yx ABLxxyxxydd 1122d)(yyyy. 11到到从从 y 114d2yy.54 例例1.)1 , 1()1, 1(,d2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计算BAxyLxxyL 解解)1 , 1(B)1,1( Aoyx1,的定积分的定积分化为对化为对 xxy xy

11、 OBAOL 01:,: xxyAO10:,: xxyOB OBAOLxyxxyxxyxddd xxxd)(0154d21023 xxxxxd10 例例2).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(.,2222依依次次是是点点，这这里里为为有有向向折折线线的的一一段段弧弧到到上上从从为为抛抛物物线线的的一一段段弧弧到到上上从从为为抛抛物物线线求求场场力力所所做做的的功功运运动动场场力力作作用用沿沿曲曲线线一一质质点点在在设设有有一一平平面面力力场场BAOOABLBOyxLBOxyLLjxixyF )0 , 1(A

12、)1 , 1(B解解,10:,2 xxy 1022d)22(xxxxxW 103d4xx. 1 yxo2xy (1) L的方程为的方程为,dd22 LyxxxyW功功,10:,2 yyx 104d5yy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B2yx yxo(2) L的方程为的方程为 1042d)22(yyyyyWyxo)0 , 1(A)1 , 1(B(3) L = OA+ AB OA 的方程为的方程为 ,10:,0 xyAB 的方程为的方程为 ,10:,1 yx W yxxyxOAdd22 102d)002(xxx.1 yxxyxABdd22 10d)102(yy被积函数相同，起点和终点也相同

13、，但路径不被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同同而积分结果相同.)0 ,()0 ,()2(;)1(,d2的的直直线线段段轴轴到到点点沿沿从从点点的的上上半半圆圆周周针针方方向向绕绕行行、圆圆心心为为原原点点、按按逆逆时时半半径径为为为为其其中中计计算算aBxaAaLxyL 例例3yBAoaax解解: : (1) L的参数方程为的参数方程为,0:,sin,cos ttaytaxxyLd2 ttadsin22033 32a 0ttad)sin( 132 334a 则则ta22sinyBAoaax(2) L 的方程为的方程为,:, 0aaxy xyLd2 aaxd0.0 则则被积

14、函数相同，起点和终点也相同，但路径不被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同同积分结果不同.)0 ,()0 ,()2(的的直直线线段段轴轴到到点点沿沿从从点点aBxaA 解解概念与性质可以推广到空间曲线概念与性质可以推广到空间曲线, 空间有向曲线弧空间有向曲线弧 kzyxRjzyxQizyxPzyxF),(),(),(),(,),(),(处的单位切向量处的单位切向量上点上点是是zyxzyxe rzyxFd),( szyxezyxFd),(),(.d),(d),(d),( zzyxRyzyxQxzyxP sRQPd)coscoscos(,),( 处处的的切切向向量量的的方方向向角角

15、为为上上点点zyx:计算方法计算方法 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(.:,)()()(:battzztyytxx ttztztytxRtytztytxQtxtztytxPbad)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 例例422223()d2dd ,:, :01.yzxyz yxzxt ytzt t计算其中为的一段弧解解 ttttttttd322)(10223264 原式原式tttd)23(1046 .3515273 例例5)(.)0(:,ddd222222222取取逆逆时时针针方方向向的的交交线线与与为为其其中中计计算算axyxzazyxzxyzx

16、y 解解: : 曲线曲线 的参数方程为的参数方程为,sin2,cos22taytaax , )20:(2sin ttaztttattatad2cos)cos1(8cos)cos1(4sin82023333 原原式式tttttad2cos4cos2cos2sin8205233 .43a 例例6., 2, 1:,d)(d)(d)(22为为顺顺时时针针方方向向轴轴正正向向看看从从其其中中计计算算CzzyxyxCzyxyzxxyzC ozyxC解解: : 曲线曲线 C 的参数方程为的参数方程为,sin,costytx )02:(sincos2 tttz 02 原式原式tttcos)sincos22(

17、tttttd )sin)(cossin(cos )sin)(cos2(tt .2 20d)12cos2cos2sin2(tttt五、五、两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：,)()( tytxL ：设有向平面曲线弧为设有向平面曲线弧为,),( 的的方方向向角角为为处处的的切切向向量量上上点点yxL LLsQPyQxPd)coscos(dd 则则其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt （可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ）例例.)1 , 1()0 , 0(,d),(d),(2的一段弧的一段弧到到从从为沿抛物线为沿抛物线其中其中积分积分化为对弧

18、长的曲线化为对弧长的曲线把把yxLyyxQxyxPL 解解,10:,2 yyx L的方程为的方程为,412cos2yy ,411cos2y 原式原式 LsyyxQyyxyP.d41),(41),(222六、小结六、小结1、第二类曲线积分的概念、第二类曲线积分的概念2、第二类曲线积分的计算、第二类曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系思考题思考题 当当曲曲线线L的的参参数数方方程程与与参参数数的的变变化化范范围围给给定定之之后后（例例如如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t，a是是正正常常数数），试试问问如如何何表表示示L的的方方向向（如如L表表示示为为顺

19、顺时时针针方方向向、逆逆时时针针方方向向）？思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.例例如如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中中当当t从从 0 变变到到 2时时，L取取逆逆时时针针方方向向;反反之之当当t从从 2变变到到 0时时，L取取顺顺时时针针方方向向.一、一、 填空题填空题: :1 1、 对对_的曲线积分与曲线的方向有关；的曲线积分与曲线的方向有关；2 2、 设设0),(),( dyyxQdxyxPL, ,则则 LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(_；3 3、 在公式在公式 dyyxQdxyxPL),

20、(),( dttttQtttP)()(,)()()(,)(中中, ,下下 限限对应于对应于L的的_点点, ,上限上限 对应于对应于L的的_点；点；4 4、两类曲线积分的联系是、两类曲线积分的联系是_ _. .练练 习习 题题二、二、 计算下列对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分: : 1 1、 Lxydx, ,L其中其中为圆周为圆周)0()(222 aayax及及 x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界( (按按 逆时针方向绕行逆时针方向绕行) )； 2 2、 Lyxdyyxdxyx22)()(, ,L其中其中为圆周为圆周 222ayx ( (按逆时针方向饶行按逆时针方向饶行) )； 3 3、 ydzdydx, ,其其中中为为有有向向闭闭折折线线ABCD, ,这这里里 的的CBA,依依次次为为点点( (1 1, ,0 0, ,0 0) ), ,( (0 0, ,1 1, ,0 0) ), ,( (0 0, ,0 0, ,1 1) )； 4 4、 ABCDAyxdydx,