电磁场与电磁波(电磁场理论)第二章

1、 例例 2.2.1 计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强度。度。 解解：如图所示，环形薄圆盘的内半径为：如图所示，环形薄圆盘的内半径为a 、外半径为、外半径为b，电荷，电荷面密度为面密度为 。在环形薄圆盘上取面积元。在环形薄圆盘上取面积元 ，其位置矢量为，其位置矢量为 ，所带的电量为所带的电量为 。而薄圆盘轴线上的场点而薄圆盘轴线上的场点 的位置的位置矢量为矢量为 ，因此有，因此有Sd d d Sredd d d SSqS (0,0, )Pzzre zP(0,0,z)brRyzx均匀带电的环形薄圆盘均匀带电的环形薄圆盘dSadESSSRRrr

2、Ed)(41)(30 bazSzeze2023220dd)(4222 3/200( )dd4()bzSae zeE rz 0故故223/20d2()bSzazze由于由于P(0,0,z)brRyzx均匀带电的环形薄圆盘均匀带电的环形薄圆盘dSadE22 1/222 1/20112()()Szzzazbe20d2cossineeexy20de20(cossin)deexy 例例2.2.2 求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为为a ，电，电 荷密度为荷密度为 0 。 解解：（1）球外某点的场强球外某点的场强0300341daqSES（2）求球体

3、内一点的场强）求球体内一点的场强VSEVSd1d00ar0rrEa20303raE3302343414raqEr003rE （r a 时时20223/22()Iaza2200d( cossin)d0 xyeee由于由于 在圆环的中心点上，即在圆环的中心点上，即z = 0223/23()zaz0(0)2zIBea磁感应强磁感应强度最大度最大2032zIaBez20223/20( )d4()zIae aB zza 解解：分析场的分布，取安培环路如图，则：分析场的分布，取安培环路如图，则 根据对称性，有根据对称性，有 ，故，故 12BBB00000202SySyJexBJex 在磁场分布具有一定对称

4、性的情况下，可以利用安培环路在磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路定理计算磁感应强度。定理计算磁感应强度。 3. 利用安培环路定理计算磁感应强度利用安培环路定理计算磁感应强度 例例2.3.2 求电流面密度为求电流面密度为 的无限大电流薄板产生的磁的无限大电流薄板产生的磁感应强度。感应强度。0SzSJe JlJlBlBlBSC0021dC1B2BOxy 解解 选用圆柱坐标系，则选用圆柱坐标系，则()Be B由安培环路定理，得由安培环路定理，得21022IBa例例2.3.3 求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。(1) 0a22122IIIaa取安

5、培环路取安培环路 ，交链的电流为，交链的电流为()a0122IBeabcaII(2) ab202 BI022IBe由安培环路定理，得由安培环路定理，得(3) bc由安培环路定理，得由安培环路定理，得220322()2I cBcb(4) c222232222bcIIIIcbcb40I 2203222I cBecb40B acb02Ib02IaObcaII222221 d1 d()()dd PrkkPr PrrrrrrrSPnrrr akkP eeera000() DDEPEPP200kDPr rPe k r 例例2.4.1 半径为半径为a 、介电常数为、介电常数为 的球形电介质内的极化强的球形电

6、介质内的极化强度为度为 ，式中的，式中的 k 为常数。（为常数。（1）计算极化电荷体密度）计算极化电荷体密度和面密度；（和面密度；（2）计算电介质球内自由电荷体密度。）计算电介质球内自由电荷体密度。故电介质球内的自由电荷体密度故电介质球内的自由电荷体密度ra处的极化电荷面密度为处的极化电荷面密度为 解解：（1）电介质球内的极化电荷体密度）电介质球内的极化电荷体密度为为0DEP（2）因）因 ， 故故0(1)DPIHC2dlH0, 02,2IaIaeBeHMB 例例2.4.2 有一磁导率为有一磁导率为 ，半径为，半径为a 的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流

7、的线电流 I，圆柱外是空气（，圆柱外是空气（0 ），试），试求圆柱内外的求圆柱内外的 、 和和 的分布。的分布。 解解 磁场为平行平面场磁场为平行平面场, ,且具有轴对且具有轴对称性，应用安培环路定理，得称性，应用安培环路定理，得0CIa, 02IHe000,20,IaaeBMHMJM 2()zrr aeAzBe22(cossin )(cos)rreeAaBe22(cos)sineAaB2()zMeAzB 例例 2.4.3 半径的半径的 a 球形磁介质的磁化强度球形磁介质的磁化强度 ，如图所示。式中的如图所示。式中的A、B为常数，求磁化电流密度。为常数，求磁化电流密度。ra在在 处的磁化电流面

8、密度为处的磁化电流面密度为 解解：磁化电流体密度为：磁化电流体密度为2()()0 xyzzeeeeAzBxyzSMnr arr aJMeMeOaz球形磁介质球形磁介质的磁化强度的磁化强度reeMcossinzreeecosza120H22202()HJa 22022()2JBHea0zJe J 例例2.4.4 内、外半径分别为内、外半径分别为a和和b的圆筒的圆筒形磁介质中，沿轴向有电流密度为形磁介质中，沿轴向有电流密度为 的传导电流，如图所示。设磁介质的磁导率的传导电流，如图所示。设磁介质的磁导率为为 ，求磁化电流分布求磁化电流分布。 解解： 利用安培环路定理求各个区域内利用安培环路定理求各个

9、区域内由传导电流由传导电流 J 产生的磁场分布。产生的磁场分布。ab在在 的区域，得的区域，得a在在 的区域，得的区域，得22302()HJba2200303()2JBHebab在在 的区域，得的区域，得圆筒形磁介质圆筒形磁介质zbaJ1100HB，22022()2JHe Hea22033()2JHe Heba2202220000(1)()()2BMHHeJaab 0001 d()dzzeMeJ22000()()02SMnaazJMeMeeJaaa 22000()2SMnbbzJMeMeeJbab 在磁介质圆筒内表面上在磁介质圆筒内表面上在磁介质圆筒外表面上在磁介质圆筒外表面上磁介质的磁化强度

10、磁介质的磁化强度1zMzeeeJMzMMM （1） ，矩形回路静止；，矩形回路静止；0cos()zBe Btxbaoyx均匀磁场中的矩形环均匀磁场中的矩形环LvBindSBSt Ea （3） ，且矩形回路，且矩形回路上的可滑动导体上的可滑动导体L以匀速以匀速 运动。运动。vevx)cos(0tBeBz 解解：( 1 ) 回路内的感应电动势是回路内的感应电动势是由磁场变化产生的，故由磁场变化产生的，故 例例 2.5.1 长为长为 a、宽为、宽为 b 的矩形环中有均匀磁场的矩形环中有均匀磁场 垂直穿过，垂直穿过，如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动势。如图所示。在以下三种情况下，求矩形

11、环内的感应电动势。B （2） ，矩形回路的宽边，矩形回路的宽边b = 常数，但其长边因可滑动常数，但其长边因可滑动导体导体L以匀速以匀速 运动而随时间增大；运动而随时间增大；0BeBzxve v00cos()dsin()zzSe Bte SabBtt ( 3 ) 矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体 L在磁场中运动产生的，故得在磁场中运动产生的，故得00sin()cos()vt bBtvbBt ( 2 ) 均匀磁场均匀磁场 为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速运动，因而回路内的感应电动势全部是由

12、导体运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体 L 在磁场中运动产在磁场中运动产生的，故得生的，故得B或或in00ddd()ddSBSbB vtbB vtt Ea000ind)(d)(vbBleBevelBvbyzxCCSStBlBvdd)(inCSzzyzxSetBetBletBeved)cos(d)cos(00 （1）线圈静止时的感应电动势；）线圈静止时的感应电动势； 解解: （1）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故 （2）线圈以角速度）线圈以角速度 绕绕 x 轴旋转时的感应电动势。轴旋转时的感应电动势。ab 例例 2.5.2 在时变磁场在

13、时变磁场 中，放置有一个中，放置有一个 的的矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量 与与 成成角，如角，如图所示。试求：图所示。试求： 0sin()yBe Btneye0sin()dynSe BteSt 0cos()cos dSBtS 0cos()cosB abt xyzabB时变磁场中的矩形线圈时变磁场中的矩形线圈neCSStBlEddin 假定假定 时时 ，则在时刻，则在时刻 t 时，时， 与与y 轴的夹角轴的夹角 ，故故0t 0net 方法一方法一：利用式：利用式 计算计算indddSBSt Ea00d1sin(2)cos(2)d2B abt

14、B abtt （2）线圈绕）线圈绕 x 轴旋转时，轴旋转时， 的指向将随时间变化。线圈内的的指向将随时间变化。线圈内的感应电动势可以用两种方法计算。感应电动势可以用两种方法计算。ne0n0ddsin()dsin()cos()ddySe BteSabBtttt indddSBSt Ea0sin()sinB abtin00cos()cossin()sinabBtB abt Ea上式右端第二项与上式右端第二项与( 1 )相同，第一项相同，第一项xyzabB时变磁场中的矩形线圈时变磁场中的矩形线圈ne12 234 方法二方法二：3412d)(d)(d)(lBvlBvlBvCxetBebexyaa)d(

15、)sin()2(02/2/n利用式利用式 计算。计算。CSStBlBvdd)(in2200cos ()sin ()B abtBabt 0cos(2)B abt xetBebexyaad)sin()2(02/2/n 例例 2.5.3 海水的电导率为海水的电导率为4 S/m ，相对介电常数为，相对介电常数为 81 ，求频，求频率为率为1 MHz 时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值 .(设电场随时间作正弦变化设电场随时间作正弦变化) 解解：设电场随时间作正弦变化，表示为设电场随时间作正弦变化，表示为则位移电流密度为则位移电流密度为其振幅值为其振幅值为传导电流的振

16、幅值为传导电流的振幅值为故故mcosxEe Etd0rmsin()xDJeEtt 3dm0rmm4.5 10JEE cmmm4JEE3dmcm1.125 10JJmcos()(A/m)xHe Htkz2msin()(A/m )ye kHtkzm0cos()(V/m)ykeHtkz 式中的式中的 k 为常数。试求：位移电流密度和电场强度。为常数。试求：位移电流密度和电场强度。 例例 2.5.4 自由空间的磁场强度为自由空间的磁场强度为 解解 自由空间的传导电流密度为自由空间的传导电流密度为0，故由式，故由式 , 得得DHtd()xyzxxDJHeeee Htxyzmcos()xyyHeeHtkz

17、zzm00011dsin()dyDDEte kHtkztt 例例 2.5.5 铜的电导率铜的电导率 、相对介电常数、相对介电常数 。设铜中的传导电流密度为设铜中的传导电流密度为 。试证明：在无线。试证明：在无线电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。(设电场随时间作正弦变化设电场随时间作正弦变化)75.8 10 S/mr12mcos() A/mxJe Jtdr0r0mr0mcos()sin()xxDEJe EteEtttt dmr0mJE 而传导电流密度的振幅值为而传导电流密度的振幅值为mmJE通常所说的无线电频率是指通常

18、所说的无线电频率是指 f = 300 MHz以下的频率范围，即使以下的频率范围，即使扩展到极高频段（扩展到极高频段（f = 30300 GHz），从上面的关系式看出比），从上面的关系式看出比值值 Jdm/Jm 也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。 解解：铜中存在时变电磁场时，位移电流密度为：铜中存在时变电磁场时，位移电流密度为位移电流密度的振幅值为位移电流密度的振幅值为1219dmr0mm7mmm21 8.854 109.58 105.8 10JEfEfJEE cmmddsin()ddcos()uiCCUtttCUt=msin()UtDEd 解解：( 1 )

19、 导线中的传导电流为导线中的传导电流为忽略边缘效应时，间距为忽略边缘效应时，间距为d 的两平行板的两平行板之间的电场为之间的电场为E = u / d ，则，则 msinuUt 例例 2.6.1 正弦交流电压源正弦交流电压源 连接到平行板电容器连接到平行板电容器的两个极板上，如图所示。的两个极板上，如图所示。( 1 ) 证明电容器两极板间的位移电流证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传导电流相等；与连接导线中的传导电流相等；( 2 )求导线附近距离连接导线为求导线附近距离连接导线为r 处的磁场强度。处的磁场强度。CPricu平行板电容器与交流平行板电容器与交流电压源相接电压源相接与闭合线铰

20、链的只有导线中的传导电流与闭合线铰链的只有导线中的传导电流cmcos()iC Utm2cos()rHCUt ( 2 ) 以以 r 为半径作闭合曲线为半径作闭合曲线C，由于连接导线本身的轴对称，由于连接导线本身的轴对称性，使得沿闭合线的磁场相等，故性，使得沿闭合线的磁场相等，故ddddSSDiJSSt则极板间的位移电流为则极板间的位移电流为mcos()2CUHe HetrCrHlH2dm0mccos()cos()Ut SC UtidCPricu平行板电容器与交流平行板电容器与交流电压源相接电压源相接极板的面积极板的面积0SCd 例例 2.6.2 在无源在无源 的电介质的电介质 中，若已知中，若已

21、知电场强度矢量电场强度矢量 ，式中的，式中的E0为振幅、为振幅、为为角频率、角频率、k 为相位常数。试确定为相位常数。试确定 k 与与 之间所满足的关系，之间所满足的关系，并求并求出与出与 相应的其他场矢量。相应的其他场矢量。(00)J、(0)mcos() V/mxEe EtkzE 解解： 是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利用麦克斯韦方程组可以确定用麦克斯韦方程组可以确定 k 与与 之间所满足的之间所满足的关系，以及与关系，以及与 相应的其相应的其他他场矢量。场矢量。EEmmcos()sin()xyyyEeeEtkze kEtkzz

22、z mcos()ykEBetkz对时间对时间 t 积分，得积分，得()xyzxxBEeeee Etxyz BH=DE2msin()xyzyxxxyzeeeHk EHeetkzxyzzHHH msin()xxxDDeeEtkztt DHt 由由22k mcos()ykEHetkzmcos()xDeEtkz以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的 H 和和 D代入式代入式 例例2.7.1 z 0 区域的媒质参数为区域的媒质参数为 。若媒质。若媒质1中的电场中的电场强度为强度为101010、202025200、881( , )60cos(15

23、105 )20cos(15 105 )V/mxE z tetztz82( , )cos(15 1050 ) V/mxEz te Atz媒质媒质2中的电场强度为中的电场强度为（1）试确定常数）试确定常数A的值的值;（2）求磁场强度）求磁场强度 和和 ； （3 3）验证）验证 和和 满足边界条件。满足边界条件。),(1tzH),(2tzH),(1tzH),(2tzH 解解: :（1）这是两种电介质的分界面，在分界面这是两种电介质的分界面，在分界面z = 0 处，有处，有881(0, )60cos(15 10 )20cos(15 10 )xEtett880cos(15 10 )V/mxet82(0,

24、 )cos(15 10 )V/mxEte At80V/mA 由边界条件由边界条件12(0, )(0, )EtEt1111111xyEHEetz 8801300sin(15 105 ) 100sin(15 105 )yetztz 78781012( , )2 10 cos(15 105 )10 cos(15 105 ) A/m3yH z tetztz 将上式对时间将上式对时间 t 积分，得积分，得 （2）由）由 ，有，有111HEt 78204( , )10cos(15 105 )A/m3yHz tetz222HEt 同样，由同样，由 ，得，得780410cos(15 10 )A/m3yet78

25、204(0, )10cos(15 10 )A/m3yHtet可见，在可见，在 z = 0 处，磁场强度的切向分量是连续的，因为在分界处，磁场强度的切向分量是连续的，因为在分界面上（面上（z = 0）不存在面电流）不存在面电流 。 （3）z = 0 时时78781012(0, )2 10cos(15 10 )10cos(15 10 )3yHtett试问关于试问关于1区中的区中的 和和 能求得出吗？能求得出吗？1E1D 解解 根据边界条件，只能求得边界面根据边界条件，只能求得边界面z = 0 处的处的 和和 。1D1E由由 ，有，有0)(21nEEe11101125(3)(2 )(5 )0zxxy

26、yzzxyzzyxxyee Ee Ee EeyexezeEye ExV/m)3(522zezeyeEzyx1区区2区区xyz电介质与自由空间的电介质与自由空间的分界面分界面O105 例例 2.7.2 如图所示，如图所示，1区的媒质参数为区的媒质参数为 、 、 2区的媒质参数为区的媒质参数为 。若已知自由空间的电。若已知自由空间的电场强度为场强度为202020、10,10112 ,5xyEy ExxEDyEDyyxx0111011125,10又由又由 ，有，有n12()0eDD0(0222111zzzyyxxzzyyxxzDeDeDeDeDeDee则得则得00002013)3(zzzzzzDD5

27、3530001101zzzzDE最后得到最后得到5352)0 ,(1zyxexeyeyxE000132510)0,(zyxexeyeyxD0sin()cos() V/myxEe Eztk xdtHE0 解解 （1）由）由 , 有有00cos()cos()sin()sin()xxzxxEeztk xe kztk xdddHSJ试求试求: :（1）磁场强度磁场强度 ；（2）导体表面的电流密度）导体表面的电流密度 。 例例2.7.3 在两导体平板（在两导体平板（z = 0 和和 z = d）之间的空气中，已知）之间的空气中，已知电场强度电场强度)(1100 xEezEeEtHyzyxzxydO将上式

28、对时间将上式对时间 t 积分，得积分，得000sin()(A/m)SzyxzEJeHetk xd00()sin()(A/m)Szyxz dEJeHetk xd （2） z = 0 处导体表面的电流密度为处导体表面的电流密度为0000()()dcos()sin()sin()cos() (A/m)xxxzxH x,z,tH x,z,tttEeztk xddk Eeztk xdz = d 处导体表面的电流密度为处导体表面的电流密度为zxydneO 例例2.7.4 有一个平行板电容器，极板的面积为有一个平行板电容器，极板的面积为S，上下极板，上下极板相距为相距为d 且分别带电且分别带电q，极板之间的下半部份充满介电常数为，极板之间的下半部份充满介电常数为 的介质。如忽略边缘效应，求的介质。如忽略边缘效应，求E、D及极化电荷分布。及极化电荷分布。 解解：电荷均匀分布在极板的内：电荷均匀分布在极板的内侧，分别为侧，分别为Sq S上0n1SPePPqS下下1n2nDD由边界条件由边界条件12qDDSSq S 下SP上0n11SPePPqS 上上Sq-qd D20SES1SES0110101()PDEEqS介质两个表面的极介质两个表面的极化电荷