第3章静定结构位移计算结构力学

1、第3章 静定结构位移计算3-1 概述3-2 虚功原理3-3 单位荷载法3-4 荷载作用下结构的位移计算3-5 图乘法3-6 支座移动引起的静定结构位移计算3-7 制造误差引起的静定结构位移计算3-8 温度改变引起的静定结构位移计算3-9 互等定理3-1 概述 静定结构的位移计算静定结构的位移计算是是结构的动力计算结构的动力计算及及超静定结构超静定结构计算计算的基础。的基础。 结构在自重和外界因素作用下，会产生变形和位移。结构在自重和外界因素作用下，会产生变形和位移。变形和位移过大将影响建筑物的使用功能。变形和位移过大将影响建筑物的使用功能。门洞口上的隔墙破坏门洞口上的隔墙破坏变形导致窗户变形导

2、致窗户不能正常开启不能正常开启3-2-1变形体的虚功原理3-2 虚功原理虚位移虚位移：与对应的力无关的位移，：与对应的力无关的位移， FP虚虚 力力：与对应的位移无关的力，：与对应的位移无关的力， FP 虚虚 功：彼此无关的位移与力的乘积，功：彼此无关的位移与力的乘积， FP FP状态状态1 状态状态2首先明确虚位移、虚力和虚功的概念。首先明确虚位移、虚力和虚功的概念。虚功原理中的两种状态1 平衡的力状态3-2 虚功原理2 协调的位移状态外力虚功外力虚功We ：力状态中的荷载：力状态中的荷载及支座反力在位移状态的位移及支座反力在位移状态的位移上所作的功。上所作的功。微段的变形虚功微段的变形虚功

3、：力状态中微力状态中微段的截面内力在位移状态中微段的截面内力在位移状态中微段的变形位移上所作的功段的变形位移上所作的功。结构的变形虚功结构的变形虚功Wi ：整个杆件整个杆件的变形虚功为微段变形虚功的总的变形虚功为微段变形虚功的总和和。变形体的虚功原理：一组平衡的外力在虚位移上所做的外力虚功等于外力产生的内力在微段变形上所做的虚功之和，即： We=Wi注意以下基本概念：注意以下基本概念：（1）力状态必须是平衡的力状态必须是平衡的；位移状态必须是协调的位移状态必须是协调的；虚位虚位移还必须是微小的。移还必须是微小的。（2）力状态与虚位移状态之间是相互独立的。虚位移并非）力状态与虚位移状态之间是相互

4、独立的。虚位移并非由原平衡状态的力引起的，而是由其他任意原因引起由原平衡状态的力引起的，而是由其他任意原因引起的可能位移。的可能位移。（3）虚功原理可以适用于任何类型的结构和材料，也可以）虚功原理可以适用于任何类型的结构和材料，也可以适用于材料非线性问题和几何非线性问题。适用于材料非线性问题和几何非线性问题。3-2 虚功原理虚功原理dsds3-2-2 平面杆系结构的虚功原理力状态中取出一个微段力状态中取出一个微段:画出微段截面内力。画出微段截面内力。位移状态中取出同样微段：画出微段变形。位移状态中取出同样微段：画出微段变形。FNFN+dFNFQFQ+dFQM+dMMdsds3-2 虚功原理虚功

5、原理dsdsds略去高阶微量后，得略去高阶微量后，得式中式中 FN、FQ、M分别为力状态中微段截面的轴力、剪力和弯矩；分别为力状态中微段截面的轴力、剪力和弯矩； 分别为位移状态中微段的虚轴向应变、虚剪切角和虚曲率。分别为位移状态中微段的虚轴向应变、虚剪切角和虚曲率。iNQddddWFsFsMs和、整个结构的总变形虚功为整个结构的总变形虚功为iiNQ=d=+dllWWFFMs3-2 虚功原理虚功原理微段的截面内力在微段变形位移上所做的虚功微段的截面内力在微段变形位移上所做的虚功iNNQQdddddddWFFsFFsMMs由变形体虚功方程由变形体虚功方程We=Wi，可得可得NQdelWFFMs3-

6、3 单位荷载法单位荷载法 图（图（a）为一结构在荷载、支座位移、温度变化等因素作）为一结构在荷载、支座位移、温度变化等因素作用下的实际位移状态。用下的实际位移状态。将这个真实的状态视为虚功方程中的位将这个真实的状态视为虚功方程中的位移状态。移状态。 若求这个位移状态中某一点若求这个位移状态中某一点k的竖向位移的竖向位移k，可以在表示，可以在表示力状态的图（力状态的图（b）中的）中的k点施加一个单位荷载。点施加一个单位荷载。将这个虚设的单将这个虚设的单位位荷载荷载及其引起的支座反力视为虚功方程中的力状态。及其引起的支座反力视为虚功方程中的力状态。（a a）位移状态）位移状态实际位移实际位移 （b

7、 b）力状态）力状态虚设的单位虚设的单位荷载荷载虚设的平衡力系在实际位移上所做的虚功虚设的平衡力系在实际位移上所做的虚功 右侧第一项是虚设的单位荷载在实际位移状态上所作右侧第一项是虚设的单位荷载在实际位移状态上所作的虚功，第二项是虚设单位荷载下支座反力在实际支座位的虚功，第二项是虚设单位荷载下支座反力在实际支座位移上所作的虚功。将上式代入移上所作的虚功。将上式代入下下式式 得得式（式（3-2）就是平面杆系结构位移状态的一般公式。）就是平面杆系结构位移状态的一般公式。这种通过虚这种通过虚设单位荷载下的平衡力系，求结构位移的方法称为单位荷载法。设单位荷载下的平衡力系，求结构位移的方法称为单位荷载法

8、。eR1 1R22R3 3Ri i11kkWF cF cF cF c eNQdlWFFMsNQRi idklFFMsF c （3-2）3-3 单位荷载法单位荷载法式式3-2中需注意两点：中需注意两点：（1）公式）公式左侧左侧k 的物理意义是单位荷载在所求位移上所的物理意义是单位荷载在所求位移上所作的虚功，只是在数值上等于所求的位移。作的虚功，只是在数值上等于所求的位移。（2）在实际问题中，需要计算的位移有线位移、转角位）在实际问题中，需要计算的位移有线位移、转角位移以及两个截面的相对线位移和相对转角位移等。因此，移以及两个截面的相对线位移和相对转角位移等。因此，需要注意需要注意虚设的单位荷载要

9、与所求的位移对应虚设的单位荷载要与所求的位移对应。 所谓所谓“对应对应”有两个方面的含义：一个是指力和位有两个方面的含义：一个是指力和位移在做功的关系上对应，即与线位移对应的是集中力，与移在做功的关系上对应，即与线位移对应的是集中力，与转角位移对应的是集中力偶。另一个含义是虚设的单位荷转角位移对应的是集中力偶。另一个含义是虚设的单位荷载在所求的位移上所作的功要在数值上等于所求位移。载在所求的位移上所作的功要在数值上等于所求位移。3-3 单位荷载法单位荷载法ABkk（a）k截面的竖向位移及其对应的广义力截面的竖向位移及其对应的广义力AB1k （b）A截面的转角位移及其对应的广义力截面的转角位移及

10、其对应的广义力ABAAB1 （c）A、B两个截面的相对转角位移及其对应的广义力两个截面的相对转角位移及其对应的广义力ABAABAB11（d）EF截面的相对竖向位移其对应的广义力截面的相对竖向位移其对应的广义力ABEFE FAB113-3 单位荷载法单位荷载法AB1（a）与竖向位移对应）与竖向位移对应的虚设力状态的虚设力状态AB11（b）与两点的相对位移）与两点的相对位移 对对应的虚设力状态应的虚设力状态ABl1/l1/lCD（c）与）与CD杆的转角位移对杆的转角位移对应的虚设力状态应的虚设力状态AB1/lll1/l1/l1/lDCE（d）与）与CD、DE两个杆件的相对转两个杆件的相对转角位移对

11、应的虚设力状态角位移对应的虚设力状态3-3 单位荷载法单位荷载法3-4 荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算考虑如下情况：考虑如下情况： (1)位移状态中，没有支座位移，位移状态中，没有支座位移，ci=0； (2)位移状态是由真实的荷载引起的，构件为直杆，材料在线位移状态是由真实的荷载引起的，构件为直杆，材料在线弹性范围内，故弹性范围内，故QPNPPd ,d ,dkFFMsssEAGAEI 分分别为位移状态中，荷载引起的轴力、剪别为位移状态中，荷载引起的轴力、剪力和弯矩。力和弯矩。E、G分别为材料的弹性模量和剪切模量；分别为材料的弹性模量和剪切模量；A、I分别为杆件的横截面面积和截

12、面惯性矩。分别为杆件的横截面面积和截面惯性矩。k是截面剪应力是截面剪应力不均匀系数，与截面形状有关。对于矩形截面，不均匀系数，与截面形状有关。对于矩形截面，k=1.2；圆形截面，圆形截面，k=10/9。NPQPPFFM、3-4 荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算（3）对于常见的曲杆结构，杆件一般都是小曲率的，）对于常见的曲杆结构，杆件一般都是小曲率的，可以忽略曲率对变形的影响，仍可以按直杆公式计算应可以忽略曲率对变形的影响，仍可以按直杆公式计算应变。变。式式NQRi idlFFMsF c 变成变成QQPNNPP0e()dlF FF FMMsEAGAEI式式3-4就是单位荷载法计算

13、由荷载引起的结构位移计算公式就是单位荷载法计算由荷载引起的结构位移计算公式（3-4）实际应用时，式（实际应用时，式（3-4）可以进一步简化）可以进一步简化（1）桁架结构：因为杆件只有轴力，且轴力均为常数。）桁架结构：因为杆件只有轴力，且轴力均为常数。 式（式（3-4）简化为）简化为NNPF F lEA （2）梁及刚架：与弯曲变形相比，剪切变形和轴向变形对）梁及刚架：与弯曲变形相比，剪切变形和轴向变形对位移的贡献很小，可忽略不计，式（位移的贡献很小，可忽略不计，式（3-4）简化为简化为PdMMsEI 3-4 荷载作用下结构的位移计算（4）组合结构：桁架杆只有轴向变形，对梁式杆只需考虑弯）组合结构

14、：桁架杆只有轴向变形，对梁式杆只需考虑弯曲变形对位移的贡献，式（曲变形对位移的贡献，式（3-4）简化为）简化为NNPPdF F lMMsEAEI3-4 荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算（3）小曲率拱结构：与梁和刚架相比，拱结构的轴力要大很）小曲率拱结构：与梁和刚架相比，拱结构的轴力要大很多，故一般需要考虑轴向变形和弯曲变多，故一般需要考虑轴向变形和弯曲变形对位移的影响，式（形对位移的影响，式（3-4）简化为）简化为NNPPdF FMMsEIEA【例【例3-1】图】图a所示桁架，各杆所示桁架，各杆 EA相等。求结点相等。求结点C竖向位竖向位移及移及AC杆与杆与CB杆的相对转角。杆

15、的相对转角。 解出荷载和单位力作用下各杆轴力，并标在图解出荷载和单位力作用下各杆轴力，并标在图a，b上，上，代入公式，得代入公式，得NNPPPPP12212 () (2)2() ()222(22) ( )CyF F lFaFaFlaEAEAF aEA 【解解】（1）求节点）求节点C的竖向位移的竖向位移3-4 荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算_NNPPPPP12221222242 2AC CBFF lEAaFaFFaEAaaaFEA （2）求）求AC杆与杆与CB杆的相对转角杆的相对转角3-4 荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算虚设的单位力虚设的单位力如图所示如图所示

16、 【例题【例题3-2】图图a和和c为一等截面悬臂曲梁，梁轴线为一等截面悬臂曲梁，梁轴线为为 圆弧圆弧，弹性常数和截面性质已知。试分别求集中力弹性常数和截面性质已知。试分别求集中力作用下自由端作用下自由端 的竖向位移的竖向位移 和均布水压作用下自由端和均布水压作用下自由端 的的水平位移水平位移 。并比较轴向变形、剪切变形和弯矩变形对。并比较轴向变形、剪切变形和弯矩变形对位移的贡献。位移的贡献。3-4 荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算（1）求集中力作用下自由端）求集中力作用下自由端A的竖向位移的竖向位移Ay 在在A点施加一个竖向单位力（图点施加一个竖向单位力（图b）。单位力作用下，

17、）。单位力作用下，隔离体上的内力为隔离体上的内力为 NQsin ,cos ,sinFFM xR荷载作用下的内力为荷载作用下的内力为 sin,cos,sinPPPQPPNPRFxMFFFF将以上两表达式代入公式，得将以上两表达式代入公式，得3-4 荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算EIRFGARFkEARFREIRRFRGAFkREAFsEIMMsGAFkFsEAFFMFFsssAy3PPP20P20P20P0P0QQP0NNP444d)sin()sin(dcoscosd)sin()sin(dddQN 分别分别表示轴向变形、剪切变形和弯曲变形引起表示轴向变形、剪切变形和弯曲变形引起

18、的位移。计算结果为正，表示点的位移。计算结果为正，表示点 竖向位移的方向与所加单位力竖向位移的方向与所加单位力方向相同。反之，点方向相同。反之，点 竖向位移方向与所加单位力方向相反。竖向位移方向与所加单位力方向相反。NFQFM3-4 荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算讨论讨论若该梁是高度为若该梁是高度为 h的矩形截面钢筋混凝土梁，则的矩形截面钢筋混凝土梁，则124 .02hAIEG、101RhQN111200400QNFFMM，3-4 荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算则则 又设又设 由此可见，对于细长的受弯构件，剪切与轴向变形对由此可见，对于细长的受弯构件，剪切与

19、轴向变形对位移的影响很小，可以略去不计。位移的影响很小，可以略去不计。 (2)均布水压作用下自由端均布水压作用下自由端 的水平位移的水平位移忽略剪切与轴向变形对位移的影响忽略剪切与轴向变形对位移的影响Ax2P002201 cosd(1 cos ()(1 cos cos sin sin )d cos sin sin cos (sin )MRMqRRqRqRqR 220241(sin )1 cos d4208AxqRRREIqREI 3-4 荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算【例题【例题3-3】试求图示结构】试求图示结构C、B点的水平位移点的水平位移。 AC杆（以右侧受拉为正）：杆（

20、以右侧受拉为正）：BD杆（以右侧受拉为正）：杆（以右侧受拉为正）：CD杆（以下侧受拉为正）：杆（以下侧受拉为正）： PP12,2FMxxMxxMxx PP12,0,2FMxxMxMxx PPP12,2FMxlF xMxlxMxl 3-4 荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算【解解】 首先建立各杆相应的弯矩方程：首先建立各杆相应的弯矩方程：将弯矩方程代入公式，得将弯矩方程代入公式，得P1P1P1PPPP0003P1114111d0dd2242316CxACBDCDlllM M dxM M dxM M dxEIEIEIFFFx x xxxlF xlxxEIEIEIF lEIP2P2P2

21、PPPP0001114111ddd22420BxACBDCDlllM M dxM M dxM M dxEIEIEIFFFx x xxxxlF xl xEIEIEI 3-4 荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算（1） 图乘法基本公式PdBAM MxEI PP1ddBBAAM MxM MxEIEI tgMx PPdtgdBBAAM MxMxx PtgdBAx Mx 00tgdtgBAxAxAyA Myy0MP图图图图dxABxx0dAMP3-5 图乘法图乘法条件：条件：1各杆各杆EI为常数；为常数； 2杆轴为直线；杆轴为直线； 3 MP、 中至少有一个为直线图形。中至少有一个为直线图形

22、。MP0dBAM MxyA 积分等于曲线图形的面积乘以其积分等于曲线图形的面积乘以其形心对应的直线图形的纵坐标。形心对应的直线图形的纵坐标。Myy0MP图图图图dxABxx0dAMP3-5 图乘法图乘法应用图乘法时，下面几点需要注意：应用图乘法时，下面几点需要注意：（1）必须符合图乘法的前提条件。）必须符合图乘法的前提条件。（2） 必须取自直线图形。必须取自直线图形。（3）当面积）当面积A与纵坐标与纵坐标y0在基线的同侧时，图乘结果取在基线的同侧时，图乘结果取“+”号，在异侧时取号，在异侧时取“-”号。号。3-5 图乘法图乘法均布荷载下均布荷载下简支梁的弯矩图简支梁的弯矩图均布荷载下均布荷载下

23、简支梁弯矩图的一半简支梁弯矩图的一半均布荷载下均布荷载下悬臂梁弯矩图悬臂梁弯矩图几种需要记住并熟练掌握的图形面积计算公式及形心位置几种需要记住并熟练掌握的图形面积计算公式及形心位置3-5 图乘法图乘法 当图形的面积或形心位置不方便确定时，可以将其分当图形的面积或形心位置不方便确定时，可以将其分解成几个简单的图形，分别与另个图形相乘，然后取它们解成几个简单的图形，分别与另个图形相乘，然后取它们结果的代数和。结果的代数和。M 图3-5 图乘法图乘法 11221A yA yEI 11221A yA yEI 【例题例题3-4】 试求图示等截面多跨静定梁试求图示等截面多跨静定梁E点的竖向位移点的竖向位移

24、和和C点左右截面的相对转角。点左右截面的相对转角。EI为常数。为常数。【解解】（1） 求求E点的竖向位移点的竖向位移 MP图中图中BC段不是标准图形，段不是标准图形，需要分解。如图需要分解。如图d所示所示3-5 图乘法图乘法将图（将图（b）与图（）与图（c）图乘得）图乘得 222241122636112212633637232612213183237432EyqlllEIqlllqlllEIqlllEIqlEI 3-5 图乘法图乘法（2）求）求C点左右截面的相对转角点左右截面的相对转角MP图中的图中的BD段不是标准图形，将其段不是标准图形，将其如图（如图（f）分解。）分解。图（图（e）与图（）

25、与图（b）图乘得）图乘得3-5 图乘法图乘法222311232632112321326323822548C CqllEIqlqlllEIqlEI 【例题【例题3-5】 试求图示刚架试求图示刚架C点及点及B点的水平位移点的水平位移。【解解】 （1）求）求C点的水平位移点的水平位移 。3-5 图乘法图乘法 由于图由于图b中横梁弯矩图面积及形中横梁弯矩图面积及形心位置均难以确定，可将其分解成心位置均难以确定，可将其分解成矩形和三角形，如图所示。矩形和三角形，如图所示。ppp3p11228331174822161267 ()1536CxF lllEIF lF lllllEIF lEI （2）B点的水平

26、位移点的水平位移33212112834821635 ()384PPPBxPFlFlFllllllEIEIFlEI 3-5 图乘法图乘法3-5 图乘法【例题【例题 3-6】试求图】试求图3-18a所示三铰刚架铰所示三铰刚架铰 E 两侧截面的相对两侧截面的相对转角及竖向位移。转角及竖向位移。 【解解】（1 1）求）求铰铰 E 两侧截面的相对转角两侧截面的相对转角2223112211124338211121012243 -()24qlqlllEIqlllEIEIqlEI 位移与所设单位力反向（2）求）求E点竖向位移点竖向位移22222411221243 4382 41121222423 42423

27、4121243 4 ()96EyqllqllllEIqlllqlllEIqlllEIqlEI 3-5 图乘法3-5 图乘法图乘法【解解】（1）求）求E点的竖向位移点的竖向位移5/23m2m11NMF、图图MP、FNP图图20kNm75kN90kNm113122120 2220 4220 4234233211215155937.5290 337550.0259m4232BVEIEIEAEIEA 2m10kN/mD3m3m4mAB4EIEIEAC42422.1 10 kN/cm3200cm16cm .已已知知：，求求：、BVC CEIA（2）求）求C点两个杆端的相对角位移点两个杆端的相对角位移3-

28、5 图乘法图乘法5/1212N2MF、图MP、FNP图图20kNm75kN90kNm1112111220420490323324231535.83156.257550.0058rad12C CEIEIEAEIEA 支座位移不引起静定结构内力，杆件没有变形，结构支座位移不引起静定结构内力，杆件没有变形，结构只有刚体位移，即只有刚体位移，即3-6 支座移动引起的静定结构位移计算支座移动引起的静定结构位移计算平面杆系结构位移状态的一般公式平面杆系结构位移状态的一般公式NQRi idklFFMsF c 0上述位移计算公式简化为上述位移计算公式简化为Rki iF c 式中，式中， 为虚设单位力下的支座反

29、力；为虚设单位力下的支座反力； 为反力虚功，当为反力虚功，当 与与实际支座位移实际支座位移c方向一致时其乘积取方向一致时其乘积取“+”号，相反时取号，相反时取“-”号。号。RiFRi iF cR iF 【例题【例题3-8】 图示两跨简支梁，在图示支座移动状态图示两跨简支梁，在图示支座移动状态下，求铰下，求铰B两侧截面的相对转角两侧截面的相对转角 。 【解解】在在B点两侧截面施加等值反向的单位力偶，并求出点两侧截面施加等值反向的单位力偶，并求出有支座位移的支座反力，如图有支座位移的支座反力，如图（b）所示。所示。3-6支座移动引起的静定结构位移计算支座移动引起的静定结构位移计算 【例题【例题3-

30、9】试求图】试求图3-21a所示刚架在支座移动情况下，所示刚架在支座移动情况下，铰铰D上面杆截面与地面的相对夹角上面杆截面与地面的相对夹角 。 【解解】在在D结点加一个单位力偶，并求出有支座位移的结点加一个单位力偶，并求出有支座位移的支座反力支座反力,如图如图b。所示。所示。3-6支座移动引起的静定结构位移计算支座移动引起的静定结构位移计算3-6支座移动引起的静定结构位移计算支座移动引起的静定结构位移计算1R1110.020.010.013690.0061radDiiF c 3-7 制造误差引起的静定结构位移制造误差引起的静定结构位移 以图以图a所示桁架结构为例，说明有制造误差的静定结构所示桁

31、架结构为例，说明有制造误差的静定结构位移计算方法。假定位移计算方法。假定AC杆做短了，误差为杆做短了，误差为lAC 。位移状态位移状态： 结构在结构在AC杆制造误差下，结点杆制造误差下，结点A、B、D不动，不动，C、E两个结点分别两个结点分别移动到移动到C1、E1（图（图a中虚线所示）中虚线所示） 。 将有制造误差的杆件去掉，以将有制造误差的杆件去掉，以剩下杆件的位移作为虚功原理中的剩下杆件的位移作为虚功原理中的位移状态（图位移状态（图b中虚线所示）。中虚线所示）。 与支座位移类似，发生位移后，与支座位移类似，发生位移后，杆件的内力和变形都等于零，结构杆件的内力和变形都等于零，结构只有刚体位移

32、。只有刚体位移。3-7 制造误差引起的静定结构位移制造误差引起的静定结构位移力状态力状态： 在原结构需要求位移的在原结构需要求位移的E结结点上加上一个单位力，在这个单点上加上一个单位力，在这个单位力作用下，结构各杆将产生轴位力作用下，结构各杆将产生轴力（图力（图c所示）。所示）。 将原结构中有制造误差的杆将原结构中有制造误差的杆件移开，用相应的轴力件移开，用相应的轴力 代替代替。这这时，时， 轴力轴力就变成了作用在结点就变成了作用在结点A和和C的外力了。的外力了。 这对儿轴力与这对儿轴力与施加在施加在E点点上上的单位力及支座反力组成一个平的单位力及支座反力组成一个平衡力系（图衡力系（图d所示）

33、所示） 。3-7 制造误差引起的静定结构位移制造误差引起的静定结构位移对两种状态应用虚功原理，得总外力虚功为对两种状态应用虚功原理，得总外力虚功为N1eEyACACWFl 总变形虚功为总变形虚功为NQ0e()d0liWFFMs将外力虚功和变形虚功代入虚功方程，得将外力虚功和变形虚功代入虚功方程，得N10EyACACFl故位移计算公式为故位移计算公式为NEyACACFl 对于多个杆件有制造误差的情况，上式变成对于多个杆件有制造误差的情况，上式变成NyiiiFl 需要指出以下几点：需要指出以下几点： (1)位移计算公式的右侧是与有误差杆件对应的总虚功位移计算公式的右侧是与有误差杆件对应的总虚功移项

34、得到的，因此，与支座位移情况相同，求和号前有负移项得到的，因此，与支座位移情况相同，求和号前有负号。号。 (2)求和号下每一项都是单位广义力引起的有制造误差求和号下每一项都是单位广义力引起的有制造误差杆件的轴力在制造误差上做的功，因此，杆件的轴力在制造误差上做的功，因此，二者方向一致时二者方向一致时做正功，也即乘积为做正功，也即乘积为“+”，反之做负功、积为，反之做负功、积为“-”。具体。具体地说，地说，单位里引起的拉力在短的误差上、引起的压力在长单位里引起的拉力在短的误差上、引起的压力在长的误差上做功都为正、反之为负的误差上做功都为正、反之为负。 (3)计算单位力引起的杆件轴力时，只需求有制

35、造误差计算单位力引起的杆件轴力时，只需求有制造误差杆件的轴力，因为单位力引起的轴力在没有制造误差的杆杆件的轴力，因为单位力引起的轴力在没有制造误差的杆件上作功为零件上作功为零。3-7 制造误差引起的静定结构位移制造误差引起的静定结构位移ilNiF 【例题【例题3-10】已知图】已知图3-23a所示桁架的下弦杆均做短了所示桁架的下弦杆均做短了0.6 cm。试求结点。试求结点A的竖向位移。的竖向位移。 【解解】 在在A点施加竖向单位集中力，并求出有制造误差点施加竖向单位集中力，并求出有制造误差杆件的轴力，如图杆件的轴力，如图b所示。所示。3-7 制造误差引起的静定结构位移制造误差引起的静定结构位移

36、N142 10.6cm2 AyiiFl温度改变时：温度改变时：1）由于纤维的伸长或缩短引起轴向变形）由于纤维的伸长或缩短引起轴向变形 2）由于伸长或缩短不一致，引起弯曲变形）由于伸长或缩短不一致，引起弯曲变形 3）温度改变不引起剪切变形）温度改变不引起剪切变形dud 1dwd xd xhdud 2dtx 1dtx 121201ddd2dd2utxtxttxtx 21dddttxtxhh NQ1dddlFuFwM 一般公式一般公式3-8 温度变化引起的静定结构位移计算NQ1dddlFuFwM 0NddllttFxMxh N0ddlltxFtxMh N0FMtt AAh MNFQF虚设的单位力状态

37、d xd xhdud 2dtx 1dtx 实际的位移状态符号：符号：1 由温度引起的变形方向与由单位力引起由温度引起的变形方向与由单位力引起的弯曲方向一致时，取的弯曲方向一致时，取“正正”号。号。2 其余符号均取绝对值。其余符号均取绝对值。温度变化引起的位移计算公式温度变化引起的位移计算公式3-8 温度变化引起的静定结构位移计算 【例题【例题3-11】图示刚架，外侧温度不变，内侧温度上升】图示刚架，外侧温度不变，内侧温度上升 。已知：。已知：l = 4 m，线胀系数，线胀系数=10-5/ , 各杆均为高度各杆均为高度h=0.4 m的矩形截面。求的矩形截面。求A点竖向和水平位移。点竖向和水平位移

38、。【解解】：（：（1）求）求A点竖向位移点竖向位移3-8 温度改变引起的静定结构位移计算 N0220 C 110 C110 C1()2 1.2 10 m ()AyFMtA tAhlll ll lh （2）A点水平位移点水平位移 _0oo220 C110 C221.64 10 m ()NAxFMtt AAhll ll lh 3-8 温度改变引起的静定结构位移计算温度改变引起的静定结构位移计算 【例题例题3-123-12】 已知图示刚架外部温度降低已知图示刚架外部温度降低2020，左边，左边刚架内部温度升高刚架内部温度升高2020，右侧刚架内部温度升高，右侧刚架内部温度升高1010。试。试求求F

39、F点水平位移。点水平位移。解：在解：在F点施加水平单位力，作出点施加水平单位力，作出相应的单位轴力图和单位弯矩图，相应的单位轴力图和单位弯矩图，如图如图b和图和图 c所示。所示。 3-8 温度改变引起的静定结构位移计算温度改变引起的静定结构位移计算AD杆：杆： EB杆：杆： DE杆：杆： EF杆：杆： ttoooooooooooo0 0-20 C+ 20 C-20 C+ 20 C= 0 C= 0 C = -20 C-20 C = 40 C = -20 C-20 C = 40 C2 2tto oo oo oo oo oo o0 02 20 0 C C+ +1 10 0 C C= = =1 15

40、5 C C = = 2 20 0 C C- -1 10 0 C C = =1 10 0 C C2 2ttoooooooooooo0 0-20 C+ 20 C-20 C+ 20 C= 0 C= 0 C = - 20 C-20 C = 40 C = - 20 C-20 C = 40 C2 2tto oo oo oo oo oo o0 0- -2 20 0 C C+ +1 10 0 C C= = = 5 5 C C = = - -2 20 0 C C- -1 10 0 C C = = 3 30 0 C C2 23-8 温度改变引起的静定结构位移计算温度改变引起的静定结构位移计算 N022210 C1

41、40 C115 C5 C222525F xFMtt AAhaaaahhaah 【例题例题3-13】求图示具有弹性支座梁，求图示具有弹性支座梁，AC跨跨中截面处的跨跨中截面处的竖向位移。弹性支座的弹簧刚度系数竖向位移。弹性支座的弹簧刚度系数 。3kEI l解法解法1：将弹簧看成结构中的一个桁架杆，二者的等效关系为：将弹簧看成结构中的一个桁架杆，二者的等效关系为EAklNPN1P1333PPPPPd1.50.50.751112441616F FM MxlEIEAF lFF lF lF lllkEIEIEI 3-8 温度改变引起的静定结构位移计算温度改变引起的静定结构位移计算按照组合结构计算位移的方法进行计算了。按照组合结构计算位移的方法进行计算了。EAkl 解法解法2：将荷载作用下弹性支座的变形视为主体结构将荷载作用下弹性支座的变形视为主体结构的支座位移，弹性支座的位移为的支座位移，弹性支座的位移为P1.5FkP1R33