第3章总体均数的估计与假设检验

1、第三章第三章总体均数的估计与总体均数的估计与假设检验假设检验第一节第一节 均数的抽样误差均数的抽样误差与标准误与标准误样本 抽取部分观察单位 推断 抽样误差抽样误差（ sampling error of mean）：）：样均数与总体均数之间的差异或样本均数之样均数与总体均数之间的差异或样本均数之间的差异。间的差异。 标准误标准误（SE）：样本均数的标准差。）：样本均数的标准差。均数的标准误是描述均数的抽样误差大小均数的标准误是描述均数的抽样误差大小的指标。的指标。 均数的标准误越大，均数的抽样误差就均数的标准误越大，均数的抽样误差就越大，说明样本均数的离散程度高。越大，说明样本均数的离散程度高

2、。=167.7cm=167.7cm=5.30cm=5.30cmx x1 1,x,x2 2,x,x3 3,n j=10将某地将某地1818岁健康男生的身高资料作为总体，岁健康男生的身高资料作为总体，其分布近似正态分布，均数为其分布近似正态分布，均数为=155.40cm=155.40cm、标准差标准差=5.3cm=5.3cm的正态分布。从该正态分布的正态分布。从该正态分布N N总体中随机抽样，每次样本含量总体中随机抽样，每次样本含量n j=10人，共人，共有样本有样本g=100个，得到每个样本均数个，得到每个样本均数 将上述将上述100个样本均数看成新变量值个样本均数看成新变量值-画图画图图图3-

3、2 从正常分布总体随机抽样所得样本均数分布从正常分布总体随机抽样所得样本均数分布样本均数的抽样分布下特点：样本均数的抽样分布下特点：1.各样本均数未必等于总体均数各样本均数未必等于总体均数2.各样本均数间存在差异各样本均数间存在差异3.样本均数的分布很有规律，围绕着总体均样本均数的分布很有规律，围绕着总体均数，中间多，两边少，左右基本对称，也数，中间多，两边少，左右基本对称，也服从正态分布服从正态分布4.样本均数的变异范围较之原变量的变异范样本均数的变异范围较之原变量的变异范围大大缩小。围大大缩小。5.从正态总体中随机抽取例数为从正态总体中随机抽取例数为n样本，样本样本，样本均数均数 也服从正

4、态分布；即使是从偏态总体抽也服从正态分布；即使是从偏态总体抽样，当样，当n足够大时，样本均数也近似服从正态足够大时，样本均数也近似服从正态分布。分布。6.从均数为从均数为，标准差，标准差的正态或偏态总体抽的正态或偏态总体抽取例数为取例数为n的样本，样本均数的总体均数为的样本，样本均数的总体均数为，标准差标准差)()(2313nSSnxx Xx本书以本书以n=60n=60为界限为界限第二节 t 分布 从正态分布从正态分布N(,2)中抽取的样本的均数中抽取的样本的均数 也服也服从正态分布（从正态分布（ ,x2 ）。）。 对正态变量对正态变量X作变换作变换实际工作中，当实际工作中，当 未知时，常用未

5、知时，常用 来代替来代替 ,不不是是u转换而是转换而是t转换。转换。 t不再服从标准正态分布不再服从标准正态分布N (0,1)， 服从服从自由度自由度v=n-1的的t 分布。分布。一、一、 t t 分布的概念分布的概念XxxSxxXu )(,/331nvnSXSXtX 图图3-3 不同自由度下的不同自由度下的t分布图分布图t 分布图形特征：分布图形特征：1.单峰曲线，以单峰曲线，以0为中心，左右对称，类似于为中心，左右对称，类似于标准正态分布。标准正态分布。2.曲线形态取决于自由度的大小，自由度越小，曲线形态取决于自由度的大小，自由度越小，t值越分散，曲线的峰部越埃，尾部翘得越高。值越分散，曲

6、线的峰部越埃，尾部翘得越高。3.随着自由度逐渐增大，随着自由度逐渐增大，t 分布逐渐逼近标准分布逐渐逼近标准正态分布；当自由度趋于正态分布；当自由度趋于时，时， t 分布完全成分布完全成为标准正态分布为标准正态分布-标准正态分布是标准正态分布是t 分布的特分布的特例。例。概率概率( (P P) ) 值值：t 分布曲线的两端尾部面积表示分布曲线的两端尾部面积表示在随机抽样中所获得的在随机抽样中所获得的t值达到或超越横轴上某值达到或超越横轴上某t值的概率。值的概率。-两端尾部面积之和两端尾部面积之和* 相同自由度时，相同自由度时，|t|值越大，概率值越大，概率P越小；而越小；而在相同在相同t值时，

7、双侧概率值时，双侧概率p为单侧概率为单侧概率p的两倍的两倍。 t0.1,16=t0.05,16=1.746u在一定自由度下，在一定自由度下，t值越大则值越大则p值越小。值越小。uP值相同时，自由度越大则值相同时，自由度越大则t值越小，同时越值越小，同时越接近接近u值，当自由度无穷大时，值，当自由度无穷大时，t值与值与u值相等。值相等。 t分布的应用：用于总体均数的区间估计和分布的应用：用于总体均数的区间估计和t检检验等。验等。第三节第三节 总体均数的估计总体均数的估计总体总体样本样本抽取部分观察单位抽取部分观察单位统计量统计量参数参数统计推断统计推断抽样调查研究抽样调查研究1.点点(值值)估计

8、估计:直接用样本统计量作为总体参数的直接用样本统计量作为总体参数的估计值。简单，但未考虑抽样误差。估计值。简单，但未考虑抽样误差。2.区间估计区间估计: 以预先给定的概率（可信度）估计以预先给定的概率（可信度）估计总体参数在哪个范围内。总体参数在哪个范围内。置信区间（置信区间（CI）:根据一定的置信率进行估计得根据一定的置信率进行估计得到的区间。到的区间。1-表示表示一、可信区间的概念一、可信区间的概念2.区间估计区间估计: 按预先给定的概率所确定的包含未按预先给定的概率所确定的包含未 知总体参数的一个范围。知总体参数的一个范围。置信区间（置信区间（CI）:根据一定的置信率进行估计得根据一定的

9、置信率进行估计得 到的区间。到的区间。1-表示表示 1）已知时，已知时，95% 置信区间置信区间 2） 未知，且样本例数较小时，按未知，且样本例数较小时，按分布原分布原理，理，95% 置信区间置信区间 3） 未知，但样本例数足够大时，按正态分未知，但样本例数足够大时，按正态分布原理布原理 0.05,vxxtS1.96xxS1.单一总体均数的可信区间单一总体均数的可信区间1.96xx二、总体均数可信区间的计算二、总体均数可信区间的计算 例例3-2 在例在例3-1中抽得第中抽得第15号样本均数号样本均数166.96cm,标准差标准差3.64cm,求其总体均数的求其总体均数的95%可信区间。可信区间

10、。0.05,vxxtS)(1511.11064.3cmnSSxt 0.05.9=2.262 95%CI: 166.96 2.262 3.64=(164.35,169.55) 例例3-3 某地抽取正常成年人某地抽取正常成年人200名，测得名，测得其血清胆固醇的均数为其血清胆固醇的均数为3.64mmol/L，标准差，标准差为为1.20mmol/L,试估计该地正常成年人血清试估计该地正常成年人血清胆固醇均数为胆固醇均数为95%CI。1.96xxS95%CI： 3.641.961.20=（3.47,3.81）2.两总体均数之差的可信区间两总体均数之差的可信区间 从总体方差相等，但总体均数不等的两个正从

11、总体方差相等，但总体均数不等的两个正态总体中进行随机抽样。态总体中进行随机抽样。 v=n1+n2-22)1()1(,)11(21222211221221nnSnSnSnnSSccxx1212/2,()x xxxtS 例例3-4 为了解甲氨蝶呤对外周血为了解甲氨蝶呤对外周血IL-2水平水平的影响，某医生将的影响，某医生将61名哮喘患者随机分为两组。名哮喘患者随机分为两组。其中对照组其中对照组29例，采用安慰剂治疗；试验组例，采用安慰剂治疗；试验组32例，采用小剂量甲氨蝶呤进行治疗。测得对照例，采用小剂量甲氨蝶呤进行治疗。测得对照组治疗前组治疗前IL-2的均数为的均数为20.10IU/ml，标准差

12、为，标准差为7.02IU/ml；试验组治疗前；试验组治疗前IL-2的均数为的均数为16.89IU/ml，标准差为，标准差为8.46IU/ml。问两组治疗。问两组治疗前基线的前基线的IL-2总体均数相差有多大？总体均数相差有多大？1212/2,()x xxxtS1212/2,()x xxxtS0023.2)321291(2322946.8)132(02.7)129()11(2221221nnSScxxt 0.05.59=2.000 95%CI: （20.10-16.89）2.000 2.0023=(-0.79,7.21)*总体均数总体均数95%的涵义：的涵义： 从理论上来说，做从理论上来说，做1

13、00次抽样，可算得次抽样，可算得100个置信区间，平均有个置信区间，平均有95个置信区间包括个置信区间包括总体均数总体均数，只有，只有5个置信区间不包括总体均个置信区间不包括总体均数。数。 犯错误的概率犯错误的概率5%。三、可信区间的确切含义三、可信区间的确切含义四、可信区间与参考值范围的区别四、可信区间与参考值范围的区别 区 别 点 总 体 均 数 可 信 区 间 参 考 值 范 围 含 义 按 预 先 给 定 的 概率 ， 确 定 的未 知 参 数 的 可能 范 围 。 实际 上 一 次抽 样 算 得 的 可信 区 间 要么 包 含 了总 体 均 数， 要 么 不包 含 。 但可 以 说

14、：当=0.05时 ， 95%CI估 计 正 确 的 概 率 为0.95， 估 计 错 误 的 概 率 小 于 或等 于0.05， 即 有95%的 可 能 性 包 含 了 总 体 均 数 。 “ 正 常人 ”的 解剖 ，生 理 ，生 化某 项指 标的 波动 范 围 。 总 体 均 数 的 可 能 范 围 个 体 值 的 波 动 范 围 计 算 公 式 未 知 ： ,XX t S* 已 知 或未 知 但n60：XX u或XX u S* 正 态 分 布 ：X u S * 偏 态 分 布 ： PXP100X 用 途 总 体 均 数 的 区 间 估 计 绝 大 多数 (如95%)观 察对 象某 项指 标

15、的 分布 范围 第四节第四节 假设检验的基本假设检验的基本原理和步骤原理和步骤 例例3-5 正常成年男性的血红蛋白平均值正常成年男性的血红蛋白平均值为为140g/L。某医生测量了。某医生测量了36名从事铅作业男名从事铅作业男性工人的血红蛋白含量，算得其均数为性工人的血红蛋白含量，算得其均数为130.83g/L，标准差为，标准差为25.74g/L。故认为从事。故认为从事铅作业工人的血红蛋白含量低于正常成年男铅作业工人的血红蛋白含量低于正常成年男性平均值。性平均值。 1.为什么铅作业男性与正常成年男性血红为什么铅作业男性与正常成年男性血红蛋白含量不同？蛋白含量不同？ 2.结论是否正确？为什么？结论

16、是否正确？为什么？ 3.如何解决此类问题？如何解决此类问题？假设检验的基本步骤：假设检验的基本步骤：1.建立检验假设建立检验假设 0: 检验假设检验假设, 无效假设，零假设无效假设，零假设 =0 H1: 备择假设备择假设,对立假设对立假设 02.确定检验水准确定检验水准 =0.05 单、双侧单、双侧3.选定检验方法和计算检验统计量选定检验方法和计算检验统计量4.确定确定P值和作出推论结论。值和作出推论结论。 P P 值是值是指从指从H0所规定的总体进行随机抽样，所规定的总体进行随机抽样，获得大于（或等于及小于）现有样本获得的检获得大于（或等于及小于）现有样本获得的检验统计量值的概率。验统计量值

17、的概率。结论结论: P时，按所取的检验水准拒绝时，按所取的检验水准拒绝H0,接受接受H1； P 时，按所取的检验水准不拒绝时，按所取的检验水准不拒绝H0 ； *无论做出哪一种推断结论，都面临着发生错误无论做出哪一种推断结论，都面临着发生错误的风险的风险-两类错误两类错误第五节第五节 t t 检验检验1.1.样本均数与已知某总体均数比较的样本均数与已知某总体均数比较的t t检验检验 2.2.两个样本均数之间比较的两个样本均数之间比较的t t检验检验3.3.配对设计资料均数比较的配对设计资料均数比较的t t检验检验目的：目的： 推断样本所代表的未知总体均数与已知的推断样本所代表的未知总体均数与已知

18、的总体均数有无差别。总体均数有无差别。 计算公式：计算公式： 一、单样本一、单样本 t t 检验检验)(,/15310nvnSXnSXSXtX 例例3-5 某医生测量了某医生测量了36名从事铅作业工人的名从事铅作业工人的血红蛋白含量血红蛋白含量140g/L，算得其均数为，算得其均数为130.83g/L,标准差为标准差为25.74g/L。问从事铅作业工人的血红蛋问从事铅作业工人的血红蛋白是否不同于正常成年男性平均值白是否不同于正常成年男性平均值140g/L？1）建立检验假设，确定检验水准）建立检验假设，确定检验水准2）计算检验统计量）计算检验统计量0010:;:0.05HH130.83 1402

19、.13825.74/36t 3）确定）确定 p 值，判断结果值，判断结果 t0.05,35=2.030，P2.262,故故P0.05.可以认为可以认为两种方法对脂肪含量的测定结果不同。两种方法对脂肪含量的测定结果不同。T Te es st ts s o of f N No or rm ma al li it ty y.10010.200*.99310.999差值StatisticdfSig. StatisticdfSig.Kolmogorov-SmirnovaShapiro-WilkThis is a lower bound of the true significance.*. Lillie

20、fors Significance Correctiona. 两样本均来自于正态分布两样本均来自于正态分布1.总体方差相等时的总体方差相等时的 t 检验检验 12xxS12xxS2111121222122212121nnnSnSSnnSSccxx)()()(三、两样本三、两样本 t t 检验检验)(,173212121nnvSXXtXX 例例3-7 为研究国产四类新药阿卡波糖胶囊的降血糖为研究国产四类新药阿卡波糖胶囊的降血糖效果，某医院用效果，某医院用40名名II型糖尿病病人进行同期随机对型糖尿病病人进行同期随机对照试验。试验者将这些病人随机等分到试验组照试验。试验者将这些病人随机等分到试验组

21、(用阿卡用阿卡波糖胶囊波糖胶囊)和对照组和对照组(用拜唐平胶囊用拜唐平胶囊)，分别测得试验开，分别测得试验开始前和始前和8周后的空腹血糖，算得空腹血糖下降值见表周后的空腹血糖，算得空腹血糖下降值见表3-4，能否认为该国产四类新药阿卡波糖胶囊与拜唐苹，能否认为该国产四类新药阿卡波糖胶囊与拜唐苹胶囊对空腹血糖的降糖效果不同？胶囊对空腹血糖的降糖效果不同？1）建立假设，确定检验水准）建立假设，确定检验水准 H0：1=2 , H1: 12 =0.052）计算检验统计量）计算检验统计量 38220202642087206250206502872020120161271161272202012042052

22、120060132112121212222122212221211nnvSxxtnnSSnnnSnSSxxxxcc.)(.)(.)(.)(.)()(3）确定）确定P值，作出推断结论值，作出推断结论 t0.05,38=2.024 0.6420.05.尚不能认尚不能认为为,两种药物的降糖效果是不同的。两种药物的降糖效果是不同的。 T Te es st ts s o of f N No or rm ma al li it ty y.10720.200*.97020.753.12020.200*.97120.775血糖血糖组别试验组对照组StatisticdfSig.StatisticdfSig.Ko

23、lmogorov-SmirnovaShapiro-WilkThis is a lower bound of the true significance.*. Lilliefors Significance Correctiona. 总体方差不等时总体方差不等时 ？ 若变量变换后总体方差齐性若变量变换后总体方差齐性 可采用可采用t 检验检验(如两样本几何均数的如两样本几何均数的t 检验，就是将原检验，就是将原始数据取对数后进行始数据取对数后进行t 检验检验)； 若变量变换后总体方差仍然不齐若变量变换后总体方差仍然不齐 可可采用采用t ，检验或检验或Wilcoxon秩和检验。秩和检验。2、Coch

24、ran&Cox近似近似 t 检验检验临界值校正临界值校正11221122212121nvnvnSnSXXt2222212211XXvXvXSStStSt. 3、Satterthwaite近似近似t检验检验 自由度校正自由度校正1212222122221244222212121212()(), ()()1111XXXXSSSSnnttSSSSnnnnnn4、Welch法近似法近似 t 检验检验 自由度校正自由度校正1212222122221244222212121212()(), 22()()1111XXXXSSSSnnttSSSSnnnnnn 例例3-8 在上述例在上述例3-7中国产四类新药阿

25、卡波中国产四类新药阿卡波糖胶囊的降糖效果研究中，测得用拜糖平胶囊糖胶囊的降糖效果研究中，测得用拜糖平胶囊的对照组的对照组20例病人和用阿卡波糖胶囊的试验组例病人和用阿卡波糖胶囊的试验组20例病人，其例病人，其8周时糖化血红蛋白下降值见下周时糖化血红蛋白下降值见下表。问使用两种不同药物的病人其糖化血红蛋表。问使用两种不同药物的病人其糖化血红蛋白下降值是否不同？白下降值是否不同？表表3-7 3-7 对照组和试验组糖化血红蛋白对照组和试验组糖化血红蛋白下降值（下降值（% %）分组分组n n均数均数标准差标准差对照组对照组20201.461.461.361.36试验组试验组20201.131.130.

26、700.70F=3.77 P0.965 P60）时，可用）时，可用 u检验。检验。 式中式中 为两样本均数差值的标准误。为两样本均数差值的标准误。 12xxS-222121212221212121nSnSxxSSxxSxxuxxxx表表1 大学生大学生SCL-90均分与国内成人常模、全国大学生比较均分与国内成人常模、全国大学生比较因子因子大学生大学生（n=723）国内成人常模国内成人常模（n=1388）全国大学生全国大学生 （n=2685）U1P1U2P2躯体化躯体化1.480.491.370.481.570.554.93 0.014.27 0.01强迫强迫2.000.581.620.582.

27、030.6614.28 0.05人际关系敏人际关系敏感感1.790.581.650.511.920.655.48 0.015.21 0.01抑郁抑郁1.630.551.500.591.910.645.03 0.0111.72 0.01焦虑焦虑1.590.521.390.431.680.588.88 0.014.03 0.01敌对敌对1.650.621.480.561.730.696.18 0.013.00 0.01恐怖恐怖1.410.501.230.411.540.568.33 0.016.04 0.01偏执偏执1.600.521.430.571.840.636.89 0.0110.51 0.

28、01精神病性精神病性1.490.441.290.421.610.5810.06 0.016.05 0.01*P1是与国内成人常模比较；是与国内成人常模比较；P2是与全国大学生比较是与全国大学生比较 为了解某一新降血压药物的效果，将为了解某一新降血压药物的效果，将28名名高血压患者随机等分为试验组和对照组，试高血压患者随机等分为试验组和对照组，试验组采用新降压药，对照组则用标准药物治验组采用新降压药，对照组则用标准药物治疗。问疗。问1）新药和标准药的疗效是否不同？）新药和标准药的疗效是否不同？ 2）新药有无效果？）新药有无效果？新药治疗前 159 150 151160156治疗后 147 140

29、 143146142标准药治疗前142 150 143156 143 治疗后 144 141 143140 139 将钩端螺旋体病人的血清随机分为两组，分别将钩端螺旋体病人的血清随机分为两组，分别用标准株和水生株作凝溶实验，测得稀释倍数如下用标准株和水生株作凝溶实验，测得稀释倍数如下表，问两组平均效价是否不同？表，问两组平均效价是否不同？钩端螺旋体病患者血清作凝溶试验测得的稀释倍数钩端螺旋体病患者血清作凝溶试验测得的稀释倍数标准株标准株1001002002004004004004008008001600160016001600水生株水生株1001001001001001002002004004

30、00400400第六节第六节 假设检验的注意事项假设检验的注意事项 假设检验是利用小概率反证法思想，根据假设检验是利用小概率反证法思想，根据P值判断结果，此推断结论具有概率性，因而无值判断结果，此推断结论具有概率性，因而无论论拒绝拒绝还是还是不拒绝不拒绝H0，都可能犯错误。，都可能犯错误。表表3-8 可能发生的两类错误可能发生的两类错误假设检验的注意事项：假设检验的注意事项：1.要有严密的研究设计要有严密的研究设计-均衡、可比性均衡、可比性2.不同类型的资料应选用不同检验方法不同类型的资料应选用不同检验方法3.正确理解正确理解“显著性显著性”一词的含义一词的含义4.结论不能绝对化结论不能绝对化

31、5.统计统计“显著性显著性”与医学与医学/临床临床/生物学生物学“显著显著性性”6.可信区间和假设检验的区别和联系可信区间和假设检验的区别和联系 假设检验与假设检验与 可信区间的区别与联系可信区间的区别与联系 1.可信区间用于推断总体参数所在的范围，可信区间用于推断总体参数所在的范围，假设检验用于推断总体参数是否不同。前者估假设检验用于推断总体参数是否不同。前者估计总体参数的大小，后者推断总体参数有无质计总体参数的大小，后者推断总体参数有无质的不同。的不同。 2.可信区间也可回答假设检验的问题。如可信区间也可回答假设检验的问题。如已知的总体均数在样本均数所估计的可信区间已知的总体均数在样本均数

32、所估计的可信区间之内时，可认为两总体均数相同，反之则可认之内时，可认为两总体均数相同，反之则可认为不同。但可信区间不能提供确切的为不同。但可信区间不能提供确切的P值范围，值范围，只能只能 给出在给出在水准上有无统计学意义。水准上有无统计学意义。 3.可信区间还可提示有无实际意义。假设可信区间还可提示有无实际意义。假设检验有统计学意义但差别无实际意义的资料，检验有统计学意义但差别无实际意义的资料，在实际工作中可能不重要。在实际工作中可能不重要。 4.验证一个假设检验时，可选择假设检验，验证一个假设检验时，可选择假设检验，而只是对总体的参数做一个估计时，可选用区而只是对总体的参数做一个估计时，可选用区间估计，两者结合可对问题进行更全面的说明。间估计，两者结合可对问题进行更全面的说明。第七节第七节正态性检验和两样正态性检验和两样本方差比较的本方差比较的F F 检验检验 t 检验的应用条件是正态总体且方差齐性；检验的应用条件是正态总体且方差齐性；配对配