2021-2021版高中数学第二章圆锥曲线与方程1.2椭圆的简单性质(二)学案北师大版选修1-1

1、1.2椭圆的简单性质(二)【学习目标：1.进一步稳固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.问题导学知识点一点与椭圆的位置关系2X思考1判断点P(1,2)与椭圆-+ y2= 1的位置关系.思考2类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点置关系的判定吗？F(xo,yo)与椭圆=1( ab0)的位知识点二直线与椭圆的位置关系 思考1直线与椭圆有几种位置关系?2 2x y思考2 如何判断y= kx + m与椭圆孑+ b2= 1( ab0)的位置关系?知识点三直线与椭圆的相交弦思考假设直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长?梳理 弦长公式：(1)| AB| =.X1 X2 2+y1 y2 2

2、=1 + k2 | X1 X2|:1 + k X1 + X2 4X1X2；(2)1 AB| =1+1k2l 屮一y2| =2k2 y1+ y2 4y1y2.注：直线与椭圆的交点 A(xi, yi), B(x2, y2), k为直线的斜率.其中，xi + X2, X1X2或yi + y2, yy的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去得到关于x或y的一元二次方程得到.题型探究类型一直线与椭圆的位置关系 命题角度1直线与椭圆位置关系的判断2 2例1直线y = kX k+ 1与椭圆才+鲁=1的位置关系是()A.相交 B .相切 C .相离 D .不确定反思与感悟直线与椭圆的位置关系判断方法(代数法

3、)联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程：(1) A 0?直线与椭圆相交？有两个公共点.(2) A = 0?直线与椭圆相切？有且只有一个公共点.(3) A 0, b0且a* b)与直线x+ y 1 = 0相交于A, B两点， C是AB的中点，假设|AB = 2 2, OC的斜率为-2，求椭圆的方程.类型三椭圆中的最值(或范围)问题. . 2 2 例4 椭圆4x + y = 1及直线y= x + m.(1) 当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围;(2) 求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.引申探究在例4中，设直线与椭圆相交于 A(xi, yi), B(X2, y2)两点，求 AOB面积

4、的最大值及 AOB 面积最大时的直线方程.反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等解决这类问题需要正确地应用转化思想、 函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比拟多的是利用方程根与系数的关系构造等式或 函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.1F1, F2,且离心率为2,点P为椭圆2 2跟踪训练4椭圆?+蒼=1( ab0)的左，右焦点分别为上一动点， RPR面积的最大值为.3.(1)求椭圆的方程；直线I与椭圆交于 A B两点，且直线I的方程为y = kx + 3(k0)，假设O为坐标原点，求

5、OABI勺面积的最大值.当堂训练2 21经过椭圆*+ y3 = 1的中心的直线与椭圆的两个交点间距离的最大值为A. 6 B . 8 C . 10 D . 162 22. 经过椭圆X+ y=1的焦点与椭圆长轴垂直的直线与椭圆的相交弦的长度为96A. 1 B . 2 C . 3 D . 42 2x V3. 直线v= x + 2与椭圆一+?= 1有两个公共点，那么 m的取值范围是m3A. m1C. m3B. n1 且 m3D. n0 且 m32 24. 过点R 1,1的直线交椭圆4 + V2 = 1于A, B两点，假设线段 AB的中点恰为点 P,贝y AB所在的直线方程为.2x 25. 直线I :

6、v = kx +1与椭圆-+ v2= 1交于 M N两点,且| MN =晋，求直线I的方程.规律与方法解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1) 设直线与椭圆的交点为 A( x1，y1)，B( x2，y2)；(2) 联立直线与椭圆的方程；(3) 消元得到关于x或y的一元二次方程；(4) 利用根与系数的关系设而不求；(5) 把题干中的条件转化为xi + X2,xiX2或yi+ y2,yi y2,进而求解.合案精析问题导学知识点一思考1当x = 1时，得y2= 3，故y=#，而22，故点在椭圆外.思考22 2当p在椭圆外时，x0+yo1；2当P在椭圆上时，2x2 +a2

7、yo当P在椭圆内时,0相切一解A = 0相离无解A 0,解得 kv -2或 k#.即k的取值范围为3x2y = qx+ m 代入 4 +OO例2解设与椭圆相切并与I平行的直线方程为2 2并整理得 4x + 3mx+ m 7= 0,A = 9ni 16吊一7 = 0? m= 16? m= 4,33故两切线方程为 y= gx+ 4和y = qX 4,显然y= 3x 4距I最近，=|16 8|8_ = 8 品d= 32 + 2 2=13= 1337切点为P 2， 4 .跟踪训练2解 设与直线x y+ 4= 0平行且与椭圆相切的直线为 x y+ a= 0,2介2介x + 8y = 8,联立方程x y

8、+ a= 0,22得 9y 2 ay + a 8 = 0,2 2A = 4a 36( a 8) = 0,解得a= 3或a= 3,与直线I距离较近的切线方程为x y + 3= 0,最小距离为d=|4 3|2 -2 .8x2+ 8y2= 8,x= 3,由得x y+ 3= 0,1y=3,即P点坐标为-8 13, 3)-例3解 由可得直线I的方程为y 2= 1x 4,i即y= x.由y=2X，22x y= i,3692消去 y 可得 x i8 0，假设设 A(xi, yi), B(X2, y2).那么 xi + X2 = 0,xiX2= 18.xi X2+ yi y2Xi X2 2+ 4 Xi X2

9、24： Xi+ X224XiX2-f X6 ;2 3 70.所以线段AB的长度为3帀.(2)当直线l的斜率不存在时，不合题意.所以直线l的斜率存在.设I的斜率为k，那么其方程为y 2 = k( x 4).y 2 = k x 4,联立 x2 y236+ 9 =i，消去y得(i + 4k2) x2 (32 k2 i6k)x+ (64 k2 64k 20) = 0.假设设 A(xi, yi) , B(X2, y2),2小32k i6k那么+ X2 =帀忑，由于AB的中点恰好为P(4,2),所以 Xi+ X2 i6k2 -8k 22 i + 4k=4,解得k= 2且满足A 0.这时直线的方程为i y

10、2 = 2(x 4),即 x+ 2y 8= 0.跟踪训练3解 设A(xi, yi) , B(X2, y2)，代入椭圆方程并作差,得 a( xi + X2)( xi X2) + b( yi + y2)( yi y2)= 0./ A, B为直线x+ y i = 0上的点,庶=-i.由得xirx2=， 代入式可得b= 2 a.直线x + y 1 = 0的斜率k= 1.又| AB| = ;1 + k | X2 Xi|=,2| X2刈=2 ：2,I X2 xi| = 2.22联立 ax + by = 1 与 x + y 1 = 0,可得(a+ b)x2 2bx+ b 1 = 0.且由得X1, X2是方程

11、(a+ b)x2 2bx+ b 1= 0的两根,.X1+ X2 =2ba+，X1X2 =b 1a+ b 4= (X2 X1)2=(X1 + X2)2 4x1X22ba+ bb 1 a+ b将b= ：2a代入式，解得a=扌,x2 羽y2 所求椭圆的方程是+才=1.,2 2 “4x + y = 1,例4解(1)由y = x+ m得 5x2 + 2mx+ 卅1 = 0,因为直线与椭圆有公共点， 所以=4m20( m 1)0, 解得fw me#.(2)设直线与椭圆交于 A(X1, y1), B(X2, y2)两点，2 2由(1)知 5x + 2m)+ m 1 = 0,2m1 2所以 X1 + X2 =

12、 5，X1X2= 5(m 1),所以 | AB= ； X1 X22+y1 y22=；2 X1 X22= -2 X1+ X22 4x1X2/4ni 4222=N2 亦5 m1=詁0-8m.所以当m= 0时，| AB最大，此时直线方程为 y = x.引申探究 解 可求得0到AB的距离d= 1卩,又 |ab=5 10 - 8m,sAO= Jab d=2曇 252-m522 24一一 mmw 一 4522+ m1=45当且仅当4- m= m时，等号成立,此时 m= 斗 -#, # 所求直线的方程为X- y= .跟踪训练4解1椭圆的离心率为1，不妨设 c= t, a= 2t ,即b=3t，其中t0.又厶

13、FPF2面积取最大值.3时，即点P为短轴端点,1因此2t 3t = 3,2 2解得t = 1,那么椭圆的方程为 +3 = 1.y= kx + 3,联立x2 y2+ = 14十3，整理得4 k2 + 3 X2+ 8 3kx = 0.解得Xi = 0或X2= / k0,/.| AB| =1 + k2| xi- X2| =1 + k2| -| = . 1 + k2 原点0到直线1的距离为d =蛊2.8#3k寸 3 = 12k = 1212 =厂* 1十?=齐=4k十T 4?3= 3， k当且仅当4k = 3,即k=f时, OAB面积的最大值为.3.当堂训练1. B 2.D3.B4.x 2y + 3= 05解 设直线I与椭圆的交点为 Mxi, yi), N(x2, y,消去y并化简,y = kx +1,由x222 + y2= i，2 2得(i + 2k )x + 4kx = 0,4k所以 xi