2021-2021版高中数学第1章导数及其应用1.3.2极大值与极小值学案苏教版选修2-2

1、1. 3.2极大值与极小值【学习目标】1. 了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法3掌握函数在某一点取得极值的条件.问题导学新却尿究点点笫至知识点一函数的极值点和极值 思考1观察y =f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值.思考2导数为0的点一定是极值点吗?1. 极小值点与极小值假设函数y = f(x)在点x= a的函数值f(a)比它在点x= a附近其他点的函数值都小，f(a) = ，而且在点x= a附近的左侧 ，右侧，就把叫做函数y =f (x)的极小值点， 叫做函数y= f (x)的极小值.2. 极大值点与极大值假

2、设函数y = f(x)在点x= b的函数值f(b)比它在点x= b附近其他点的函数值都大，f(b) = ，而且在点 x= b附近的左侧 ，右侧，就把叫做函数 y= f (x)的极大值点， 叫做函数y = f (x)的极大值.3. 极大值点、极小值点统称为 ;极大值、极小值统称为 .知识点二函数的极值的求法思考1极大值一定比极小值大吗？思考2函数的极值与单调性有什么联系?一般地，求函数 y=f(x)的极值的方法是：解方程 f(X)= 0,当 f( xo) = 0 时：(1)如果在 Xo附近的左侧 ，右侧 ，那么f(Xo)是 如果在Xo附近的左侧 ，右侧 ，那么f(Xo)是题型探究呦疑的扱價一的正

3、求回反思与感悟(1)讨论函数的性质时，要树立定义域优先的原那么. 求可导函数f (x)的极值的步骤如下： 求导数f(x)； 求方程f (x) = 0的根; 观察f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个方程根处取得极(X)无意义的点，这些(x)的图象的一局部如大值；如果左负右正，那么 f (x)在这个方程根处取得极小值.注意：f(x)无意义的点也要讨论，可先求出f( x) = 0的根和f 点都称为可疑点，再用定义去判断.跟踪训练1(1)设三次函数f (x)的导函数为f(x)，函数y= x f 图所示，那么f ( x)极大值为f (x)极大值为 f (x)极大值为 f (x

4、)极大值为f( .3)，极小值为 f( ：3); f(.，极小值为f(，;f( 3)，极小值为f;f，极小值为f ( 3).1 3 函数f (x) = -x 4x+ 4的极大值与极小值之和为3类型二函数极值求参数那么a=例2 (1)函数f (x) = x3 + 3ax1 3 2 假设函数f (x) = x3 x2 + ax 1有极值点，那么a的取值范围为反思与感悟 函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点: 根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解. 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证 根的合理性.跟踪训练2 (

5、1)函数f (x) = x3 + ax2 + bx+ c的图象如下图，且与直线y= 0在原点处相切, 函数的极小值为一4.+ bx+ a2在x = 1处有极值 0, 求a, b, c的值; 求函数的递减区间.(2)函数f(x) =1 + Inx假设函数在区间1(a, a+ 2)(其中a0)上存在极值，求实数取值范围.1 3 1 2 函数f(x) = -x3 + 2(a 1)x2+ ax(a R)在区间(0,1)内有极大值和极小值，求实数a32的取值范围.类型三函数极值的综合应用1 3 一 一例3 (1)函数f(x) = 3X - 4x + 4的图象与直线y = a恰有三个不同的交点，那么实数a

6、的取值3范围是.13f(x) + 5x + m的图象有32 . _ . 函数f (x) = x 6x + 9x+ 3，假设函数y = f (x)的图象与y = 三个不同的交点，求实数 m的取值范围.反思与感悟(1)解答本例(1)的关键是求出函数f (x)的极值，画出函数的图象，解答本例(2)的突破口是把两函数图象的交点问题转化为一个新函数的图象与x轴的交点问题. 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此根底上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.跟踪训练3假设2ln( x+ 2) x2 x+ b=

7、 0在区间1,1上恰有两个不同的实数根，求实数 b的取值范围.1函数f(x)的定义域为R,导函数f(x)的图象如下图，那么函数 f(x)if 无极大值点，有四个极小值点； 有三个极大值点，两个极小值点； 有两个极大值点，两个极小值点； 有四个极大值点，无极小值点.322. f (x) = x + ax + (a+ 6) x +1有极大值和极小值，那么 a的取值范围为 .3设a R,假设函数y= ex+ ax, x R有大于零的极值点，那么 a的取值范围为 .34.直线y= a与函数y= x - 3x的图象有三个相异的交点，贝Ua的取值范围是 .(规律与方法 j1. 在极值的定义中，取得极值的点

8、称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函 数值.2 .函数的极值是函数的局部性质. 可导函数f(x)在点x = xo处取得极值的充要条件是 f (X。) =0且在x= xo两侧f ( X)符号相反.3. 禾U用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.提醒：完成作业合案精析问题导学知识点一思考1极大值点为e, g, i，极大值为f(e), f(g), f(i)，极小值点为d, f, h,极小值为 f(d) , f(f), f(h).思考2 不一定，如f(x) = x3,尽管f (x) = 3x2 = 0,得出x = 0,但f(x)在R上是递增的， 不满足在x= 0的

9、左、右两侧符号相反，故 x= 0不是f (x) = x3的极值点.1. 0f (x)0点 a f(a)2. 0f(x)0f (x)0点 b f(b)3极值点极值知识点二思考1极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，如下图.f(a)为极大值，f (d)为极小值，但f(a)0f(x)0极大值f(x)0极小值题型探究例1解/y2=6x(x2 2 21) = 6x(x + 1) (x- 1)令 y= 0,解得 xi=- 1 , X2= 0, X3= 1. 当x变化时，y, y的变化情况如下表：x(-m，- 1)1(-1,0)0(0,1)1(1 , +m)fy00+

10、0+y无极值极小值0无极值当x= 0时，y有极小值且 y极小值=0. 函数的草图如下图.函数f(x)=In x,亠、， 的疋乂域为( ,令 f(x) = ，解得 x= e.当x变化时，f(x)与f (x)的变化情况如下表:x( , e)e(e ,+s)f(X)+f(x)单调递增1 e单调递减因此，x=e是函数的极大值点，极大值为f(e) = e，没有极小值.函数的草图如下图.跟踪训练1(1)(2)8例 2(1)29 (2)( 3 1)跟踪训练2解(1)函数图象过原点，c= ,3即 f (x) = x2 .+ ax + bx,且 f (x) = 3X( x 2),由 f (x)0 得 3x( x

11、 2)0 , 0x0 ,In x(x) 丁， 当 0x0 ;当 x1 时，f(x)0)上存在极值， f(x)=(a 1)x + a, f (x)在(0,1)内有极大值和极小值, f(x) = 0在(0,1)内有两不等实根,对称轴x= a A 0,a 10102-0,f10,2A = a 1 4a0,1a0,1 + a 1+ a0, 0a0,=16 m0,68解得16m 2)-g(x)与g(x)在(一2,+s)的变化情况如下表：x(2,0)0(0，+s)g(x)+0一g(x)2ln 2 + b由上表可知函数在 x= 0取得极大值，极大值为2ln 2 + b.结合图象(图略)可知，要使f (x) + b= 0在区间1,1上恰有两个不同的实数根，只需g 1 w 0,g 0 0,g 1 w 0,bw 0,即 2ln 2 + b0,所以2ln 2 bw 2 2ln 3.2ln 3 2 + bw 0,故实数b的取值范围是(一2ln 2,2 2ln 3.达标检测1.2.( s, 3) U (6 ,+)3. ( , 1)4.( 2,2)类型一求函数的极值点和极值例1求以下函数的极值，并画出函数的草图.23In X(1) f(X) = (X* 2- 1)3 + 1; (2) f(X)=.2/. f (x)