飞行计划模型4

1、 数学建模论文飞行计划问题 2摘要摘 要 本文论述了甲方如何分配飞行员及招聘新飞行员和购买新飞机的问题。针对该问题，运用线性规划的方法建立约束最优化模型。首先，根据本月招聘新飞行员数及购买新飞机数必须完成下个月的飞行任务及招聘所需的熟练教练和飞机数，逐步分析4个月的具体情况得到约束条件。将经过一个月培训后的新飞行员看做熟练飞行员，上一个月所招聘的新飞行员、教练及闲置飞行员都会是可以在下个月执行飞行任务或做教练的熟练飞行员，所以上一个月所招聘的新飞行员、教练及闲置飞行员的总人数必须大于等于下个所需的执行飞行任务的飞行员与教练的和，其中第一个月的教练只能来自不执行飞行任务的剩余熟练飞行员，第四个月

2、不用招聘新飞行员和购买新飞机。然后，根据题中给出的各项费用列出完成整个飞行计划所需费用表达式得到目标函数。由于每个月执行飞行任务和带薪休假的飞行员数量是一定的，所以这部分费用也是固定不变的，只需列出每个月闲置飞行员的费用、教练和新飞行员的费用、带薪休假的费用以及购买飞机的费用，最终得到优化目标函数。本文中根据对问题的理解，我们建立了一个约束最优化模型。由于题目给的变量和约束条件较多，首先我们对题目做了相应的定性分析和定量计算，这样使得变量数目极大地减少了，方便对问题的理解和具体的计算。这个约束最优解的模型的具体求解，我们是用LINGO软件来实现。在LINGO软件中，我们只需输入有关的源代码，就

3、可以得到约束问题的最优解。前面对于问题所作的定性分析和定量计算，与由LINGO软件得到的最终答案是一致的。本题中两个问题的唯一不同点是问题一中每名熟练飞行员作为教练每个月指导20名飞行员（包括自己在内）进行训练，而问题二中是每名熟练飞行员作为教练每个月指导不超过20名飞行员（包括他自己在内）进行训练。这样使得两个问题中的教练和新飞行员的总报酬不同，从而影响到最后的总费用不相同。通过用LINGO软件求解得：问题一的约束最优解为：4个月开始时甲方购买的新飞机的数量分别为60，30，80，0；每个月甲方闲置的飞机的数量为10，0，0，0；每个月甲方闲置的熟练飞行员数目为7，6，4，4；每个月教练和新

4、飞行员的数量为460，220，240，0；每月执行任务的飞行员数目分别为300，450，450，600；每个月休假的熟练飞行员数目为0，240，360，360，则最后求得总消费最低为63855.40。问题二的约束最优解为：4个月开始时甲方购买的新飞机的数量分别为60，30，80，0；每个月甲方闲置的飞机的数量为10，0，0，0；每个月甲方闲置的熟练飞行员数目为7，0，0，0；每个月教练的数量为23，12，12，0；每个月的新飞行员数目为432，210，228，0；每月执行任务的飞行员数目分别为300，450，450，600；每个月休假的熟练飞行员数目为0，240，360，360，则最后求得总消

5、费最低为63729.80。关键字： 飞行员数量 飞机数量 教练数目 约束最优化模型一 问题重述这个问题是以第二次世界大战中的一个实际问题为背景，经过简化而提出来的。在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达4个月。由于乙方封锁了所有水陆交通通道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送4个月的供给分别需要2次，3次，3次，4次飞行，每次飞行编队由50架飞机组成(每架飞机需要3名飞行员)，可以运送10万t物资。每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有20的飞机会被乙方部队击落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第1个月开始时，

6、甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导20名飞行员(包括他自己在内)进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假期，假期结束后才能再投入飞行。已知各项费用(单位略去)如下表所示，请为甲方安排一个飞行计划。第1个月第2个月第3个月第4个月新飞机价格200.0195.0190.0185.0闲置的熟练飞行员报酬7.06.96.86.7教练和飞行员报酬（包括培训费用）10.09.99.

7、89.7执行飞行任务的熟练飞行员报酬9.08.99.89.7休假期间的熟练飞行员报酬5.04.94.84.7如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过20名飞行员(包括他自己在内)进行训练，模型和结果有哪些改变?三、基本假设1. 甲方飞机在飞行过程中除了被乙方击落外不受其他因素影响。2. 新飞行员在经过一个月的训练后成为熟练飞行员。3. 飞行员只会被敌机击落，不受外界影响而主动离开甲方部队。4. 甲方飞行员的总数只由新飞行员和起初的熟练飞行员决定，不受第三方支援。5. 新飞行员训练时不占用飞机，新飞机检查时也不占用飞行员。三 问题分析目要求及各方面影响因素确定模型的约束条件；接着，根剧已知

8、条件确定目标函数，由题目可以看出，执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员数量已确定，故这部分报酬是固定的，在优化目标中可以直接算出，而购买新对于该问题，根据题目所述要求，将要建立一个约束最优化模型，进而为甲方安排一个最优飞行计划。通过分析，该约束最优化模型建立与求解可分为三步，首先根据题飞机费用、闲置熟练飞行员报酬、教练和新飞行员报酬均由每月新飞机数目和新飞行员决定，由此可确定模型的决策变量为新飞机数目与新飞行员数目最后运用LINGO软件输入相应的代码，求出约束条件下目标函数的最优解。根据题目要求分析得出的定量有以下三个方面：其一，每月参与飞行任务的飞机数量依次为100，150，150

9、和200架，这些飞机最后能返回甲方，参与下个月的飞行任务的数量依次为80，120和120；其二，每月参与飞行任务的飞行员数量依次为300，450，450和600人，这些飞行员最后能返回甲方的人数依次为240，360和360，但是这些飞行员紧接着的一个月是休假的，这些因素都会影响下个月飞行任务的飞机和飞行员的安排；其三，为使总费用最低，第四个月新飞机数量、新飞行员数目、教练数目均为零。问题二中，如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过20名飞行员(包括他自己在内)进行训练，即每位教练可以训练n名新飞行员，。四 符号及变量说明 符号 变量说明 第个月可以使用的飞机数目, =1、2、3、4；

10、第个月可以使用的飞行员数目, =1、2、3、4； 第个月购买的飞机数量, =1、2、3、4； 第个月的教练数量, =1、2、3、4； 第个月招聘的新飞行员数量, =1、2、3、4； 购买新飞机的总费用； 闲置的熟练飞行员的总报酬； 教练和新飞行员的总报酬（包括培训费用）； 执行任务的熟练飞行员的总报酬； 休假期间的熟练飞行员的总报酬； 此次战斗中空投的花费；五 模型的建立与求解 本模型的目标在于，结合表格中的数据和对应的各个变量，用线性规划的方法，建立一个优化模型，用LINGO软件求得在满足供给的约束条件下费用最低的最优解，从而得到最佳的飞行计划。问题一的模型：每名熟练飞行员作为教练每个月指导

11、20名飞行员情况下。分析题目可得，总的花费包括了： 购买新飞机的总费用； 闲置的熟练飞行员的总报酬； 教练和新飞行员的总报酬（包括培训费用）； 执行飞行任务的熟练飞行员总报酬； 休假期间的熟练飞行员总报酬； 各项花费分别为： 购买新飞机的总费用： 闲置的熟练飞行员的总报酬： 教练和新飞行员的总报酬（包括培训费用）： 执行飞行任务的熟练飞行员总报酬： 休假期间的熟练飞行员总报酬： 所以，总的花费可表示为： 建立目标函数，使总的花费最低，即： 建立约束条件，从题中很容易得到： 由题知，第1个月可以使用的飞机总数等于110。第1个月可以使用的飞行员总数等于330。即： 第2个月可以使用的飞机总数等于

12、第1个月的飞机总数，减去第1个月被击落的架，加上第一个购买的新飞机数。第2个月可以使用的飞行员总数等于第1个月可以使用飞机数目，减去第1个月执行过任务的人，加上第1月新招募的个。即： 第3个月可以使用的飞机总数等于第2个月的飞机总数减去第2个月被击落的架加上第2个购买的新飞机数。第2个月可以使用的飞行员总数等于第2个月可以使用飞机数目，减去第2个月执行过任务的人，加上第2月新招募的个，再加上第2个月休假后归队的个。即： 第4月同第3个月的情况一样，即： 综上，得到这个约束最优化模型为： ； ； ； ； ； ； ； 且都为整数问题二的模型：每名熟练飞行员作为教练每个月指导不超过20名飞行员情况下

13、。 分析题目可得，总的花费包括了： 购买新飞机的总费用； 闲置的熟练飞行员的总报酬； 教练和新飞行员的总报酬（包括培训费用）； 执行飞行任务的熟练飞行员总报酬； 休假期间的熟练飞行员总报酬； 各项花费分别为： 购买新飞机的总费用： 闲置的熟练飞行员的总报酬： 教练和新飞行员的总报酬（包括培训费用）： 执行飞行任务的熟练飞行员总报酬： 休假期间的熟练飞行员总报酬： 所以，总的花费可表示为： 建立目标函数，使总的花费最低，即： 建立约束条件，从题中很容易得到： 由题知，第1个月可以使用的飞机总数等于110。第1个月可以使用的飞行员总数等于330。即： 第2个月可以使用的飞机总数等于第1个月的飞机总

14、数，减去第1个月被击落的架，加上第一个购买的新飞机数。第2个月可以使用的飞行员总数等于第1个月可以使用飞机数目，减去第1个月执行过任务的人，加上第1月新招募的个。即： 第3个月可以使用的飞机总数等于第2个月的飞机总数减去第2个月被击落的架加上第2个购买的新飞机数。第2个月可以使用的飞行员总数等于第2个月可以使用飞机数目，减去第2个月执行过任务的人，加上第2月新招募的个，再加上第2个月休假后归队的个。即： 第4月同第3个月的情况一样，即： 综上，得到这个约束最优化模型为： ； ； ； ； ； ； 六 模型的求解及分析分析以上两个模型不难看出，变量都比较多，模型有17个，模型有21个。对于这样的求

15、解约束最优解的模型，我们利用LINGO输入相应的代码，很快求出结果（源代码及运行结果见附录）。问题一的约束最优解为： 目标函数,其中 即：4个月开始时甲方购买的新飞机的数量分别为60，30，80，0；每个月培训新飞行员的教练数为23,11,12，0；则最后求得总消费最低为62163.4。问题二的约束最优解为： 目标函数,其中 即：4个月开始时甲方购买的新飞机的数量分别为60，30，80，0；每个月培训新飞行员的教练数为23,12,12，0；每个月新招聘的飞行员数分别为432,210,228,0；则最后求得总消费最低为62037.8。在写模型的求解时，由于题目给出的约束变量较多，我们对部分变量作

16、了定性的分析和定量的计算，这些分析和计算都在用LINGO软件求解时得到了验证，他们的最终结果是一致的。所以，经检验本模型是正确的。七 模型的评价与推广在模型一的基础上，考虑到实际军情危机，为了节约经费，假设飞行人员与飞机每隔一次执行飞行任务，同样利用线性规划的方法进行模型的推广，从而得到更加接近实际的模型。本题中根据题目条件我们建立了一个约束最优化模型，这样的求解约束最优化模型的方法和思路可以用来求解任何约束最优化的问题，并且用LINGO软件可很方便的求解这一类问题，从而使得我们的模型易于理解和推广。由于题目的目标函数和约束函数都是线性的，则这一类问题也可以划分为线性规划问题，那么本题的方法也

17、同样适用于求解非线性规划的问题。从这个角度来看，约束最优化问题和线性规划具有统一性。本题中这样的建模方法和求解思路可以用来求解实际生活中的很多问题，如合理下料问题（题目给出几种不同长度的材料，问应如何裁截才能使这些管料，既能满足题目要求，又能使残料最少），这个问题的求解思路和方法与本题的几乎完全相同，还有运输问题（不同型号的车，运送货物到不同的目的地，要求总的运费最少）这也是求解约束最优化的问题，等等。如果题目中没有约束条件，那么我们可以根据题目要求建立无约束最优化模型。对于无约束最优化模型的求解一般采用迭代法，即先选择一个初始点，在寻找该点处的下降方向（搜索方向）。然后求该方向上的极小点（一

18、维搜索），得到一个新的点。这个店要优于原来的点，即新点处的目标函数值小于原来点处的目标函数值。然后在新点处在寻找下降方向和在该方向上的求极小点，.，如此下去，最终求得最优点。对于本题我们建立的模型比较单一，这样是模型的推广受到一定的限制。八 参考文献1 姜启源.数学模型M.北京:高等教育出版社,19872 胡良剑.MATLAB数学实验M.北京: 高等教育出版社,20063 卓金武. MATLAB 在数学建模中的应用M.北京:航空航天大学出版社,20114 谢金星，薛毅，优化模型与LINDO/LINGO软件M，北京：清华大学出版社，2006.4九 附录1、问题一的代码：MIN=h1+h2+h3+

19、h4+h5;x1=110;y1=330;x2=x1-2*50*0.2+q1; y2=y1-2*50*3+19*p1;0=q1; 0=p1; p1=3*50; y2=3*50*3;x3=x2-3*50*0.2+q2;y3=y2-3*50*3+19*p2+2*50*3*0.8;0=q2; 0=p2; p2=3*50; y3=3*50*3;x4=x3-3*50*0.2+q3;y4=y3-3*50*3+19*p3+3*50*3*0.8;0=q3; 0=p3; p3=4*50; y4=4*50*3;0=q4; 0=p4; p4=y4-600;gin(q1);gin(q2);gin(q3);gin(q4)

20、;gin(p1);gin(p2);gin(p3);gin(p4);h1=200*q1+195*q2+190*q3+185*q4;h2=7*(30-p1)+6.9*(y2-450-p2)+6.8*(y3-450-p3)+6.7*(y4-600-p4); h3=10*20*p1+9.9*20*p2+9.8*20*p3+9.7*20*p4;h4=16935; h5=2904; END2、问题一的代码运行后的结果：Global optimal solution found. Objective value: 62163.40 Objective bound: 62163.40 Infeasibilit

21、ies: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 4 Model Class: MILP Total variables: 17 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 8 Total constraints: 28 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 58 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost H1 33050.00 0.000000 H2 144.4000 0.0

22、00000 H3 9130.000 0.000000 H4 16935.00 0.000000 H5 2904.000 0.000000 X1 110.0000 0.000000 Y1 330.0000 0.000000 X2 150.0000 0.000000 Q1 60.00000 200.0000 Y2 467.0000 0.000000 P1 23.00000 580.6000 X3 150.0000 0.000000 Q2 30.00000 195.0000 Y3 466.0000 0.000000 P2 11.00000 447.6000 X4 200.0000 0.000000

23、Q3 80.00000 190.0000 Y4 604.0000 0.000000 P3 12.00000 316.5000 Q4 0.000000 185.0000 P4 0.000000 187.3000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 62163.40 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 -20.40000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 -20.40000 6 60.00000 0.000000 7 23.00000 0.000000 8 7.000000 0.000000

24、9 0.000000 0.000000 10 17.00000 0.000000 11 0.000000 0.000000 12 0.000000 -13.50000 13 30.00000 0.000000 14 11.00000 0.000000 15 6.000000 0.000000 16 0.000000 0.000000 17 16.00000 0.000000 18 0.000000 0.000000 19 0.000000 -6.700000 20 80.00000 0.000000 21 12.00000 0.000000 22 4.000000 0.000000 23 0.

25、000000 0.000000 24 4.000000 0.000000 25 0.000000 0.000000 26 0.000000 0.000000 27 4.000000 0.000000 28 0.000000 -1.000000 29 0.000000 -1.000000 30 0.000000 -1.000000 31 0.000000 -1.000000 32 0.000000 -1.0000003、问题二的代码：MIN=h1+h2+h3+h4+h5;x1=110;y1=330;x2=x1-2*50*0.2+q1; y2=y1-2*50*3+k1;0=q1; p1=k1; k

26、1=19*p1; 0=p1; p1=3*50; y2=3*50*3;x3=x2-3*50*0.2+q2;y3=y2-3*50*3+k2+2*50*3*0.8;0=q2; p2=k2; k2=19*p2; 0=p2; p2=3*50; y3=3*50*3;x4=x3-3*50*0.2+q3;y4=y3-3*50*3+k3+3*50*3*0.8;0=q3; p3=k3; k3=19*p3; 0=p3; p3=4*50; y4=4*50*3;0=q4; p4=k4; k4=19*p4; 0=p4; p4=y4-600; gin(q1);gin(q2);gin(q3);gin(q4);gin(p1);

27、gin(p2);gin(p3);gin(p4);gin(k1);gin(k2);gin(k3);gin(k4);h1=200*q1+195*q2+190*q3+185*q4;h2=7*(30-p1)+6.9*(y2-450-p2)+6.8*(y3-450-p3)+6.7*(y4-600-p4); h3=10*(p1+k1)+9.9*(p2+k2)+9.8*(p3+k3)+9.7*(p4+k4);h4=16935; h5=2904; END4、问题二的代码运行后的结果：Global optimal solution found. Objective value: 62037.80 Objecti

28、ve bound: 62037.80 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 12 Model Class: MILP Total variables: 21 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 12 Total constraints: 36 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 78 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost H1

29、33050.00 0.000000 H2 49.00000 0.000000 H3 9099.800 0.000000 H4 16935.00 0.000000 H5 2904.000 0.000000 X1 110.0000 0.000000 Y1 330.0000 0.000000 X2 150.0000 0.000000 Q1 60.00000 200.0000 Y2 462.0000 0.000000 K1 432.0000 30.40000 P1 23.00000 3.000000 X3 150.0000 0.000000 Q2 30.00000 195.0000 Y3 462.0000 0.000000 K2 210.0000 23.40000 P2 12.00000 3.000000 X4 200.0000 0.000000 Q3 80.00000 190.0000 Y4 600.0000 0.000000