第四章：逻辑代数及其化简(1)

1、内容提要内容提要1.逻辑代数的基本运算；逻辑代数的基本运算；2.逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法（真值表、逻辑表达式、逻辑图真值表、逻辑表达式、逻辑图、工作波形图和卡诺图工作波形图和卡诺图）；）；3.逻辑代数的运算公式和基本规则；逻辑代数的运算公式和基本规则；4.4.逻辑函数的化简方法（代数化简法和卡诺图化简法）逻辑函数的化简方法（代数化简法和卡诺图化简法） 。逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算逻辑：一定的因果关系。逻辑：一定的因果关系。逻辑代数是描述客观事物逻辑关系的数学方法，是进行逻辑代数是描述客观事物逻辑关系的数学方法，是进行逻辑分析与综合的数学工具。因为它是英国数学家乔治逻辑

2、分析与综合的数学工具。因为它是英国数学家乔治布布尔尔(George Boole)(George Boole)于于18471847年提出的年提出的, ,所以又称为布尔代数。所以又称为布尔代数。 无论是数字仪表，还是计算机，其内部功能比较复杂。但其内部通常由几种或几十种最基本的电子电路组成。在这些电子电路中多数是数字逻辑电路数字逻辑电路。数字逻辑电路：数字逻辑电路：用逻辑函数进行描述的电路。、输入、输出具有一定的逻辑关系、输入、输出具有一定的逻辑关系（条件、结果）（条件、结果）、实现逻辑函数的电路叫做逻辑电路、实现逻辑函数的电路叫做逻辑电路、描述输出、输入逻辑关系的表达式叫做逻辑表达式、描述输出、

3、输入逻辑关系的表达式叫做逻辑表达式、逻辑电路的输出、输入量，、逻辑电路的输出、输入量，都用数字量表示都用数字量表示、实现逻辑关系的电子电路、实现逻辑关系的电子电路通称为通称为门电路门电路。数字逻辑电路特点：数字逻辑电路特点：逻辑电路A0A1AnB0B1Bn 逻辑代数是分析和设计数字电路的基本工具。因此首先要了解逻辑代数有什么基本特性，逻辑代数和普通代数又有什么异同之处。逻辑代数和普通代数的区别：逻辑代数和普通代数的区别：共同点：共同点： 都用字母都用字母 A A、B B、C - C - 等表示变量。等表示变量。 仍遵守与普通代数一样的运算优先顺序（先括号、仍遵守与普通代数一样的运算优先顺序（先

4、括号、其次乘、最后加）。其次乘、最后加）。 不同点：不同点： 这些变量这些变量 A.B.C A.B.C 的取值范围是的取值范围是 0 0 和和 1 1 。 其运算规则是按逻辑规则来定义的。其运算规则是按逻辑规则来定义的。 0 0、1 1不再表示数量的大小，只代表不同的逻辑状态。不再表示数量的大小，只代表不同的逻辑状态。一、基本逻辑运算：一、基本逻辑运算：与、或、非与、或、非 三种。三种。 为了便于理解基本逻辑关系的基本含义，先通过一些简单例子为了便于理解基本逻辑关系的基本含义，先通过一些简单例子作一说明。作一说明。1 1、“与与”运算及与门运算及与门 逻辑与的概念：逻辑与的概念：若决定一件事的

5、所有条件都成立，这件事的结果若决定一件事的所有条件都成立，这件事的结果就会发生。否则这件事就不会发生。这样的逻辑关系称为：就会发生。否则这件事就不会发生。这样的逻辑关系称为：逻辑与、逻辑与、逻辑乘、或称为：逻辑乘、或称为：“与与”运算运算。能够实现与逻辑运算的电子电路称为与门电路。能够实现与逻辑运算的电子电路称为与门电路。开关断开为 0开关闭合为 1灯亮为 1灯不亮为 0假设：假设：用四个式子表示：0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 1与逻辑的表示方法：（四种）与逻辑的表示方法：（四种）真值表：真值表： 将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来，列成表格，即可得到真值表。逻辑

6、表达式逻辑表达式： 把输出与输入之间的逻辑关系写出与与运算的逻辑代数式，即为逻辑表达式。F = A BABF 220V有有0为为0全全1为为1工作波形图工作波形图 把输入和输出之间的逻辑关系用波形图的方法表示，即为工作波形图。有有0 0为为0 0，全，全1 1为为1 1逻辑图（符号）逻辑图（符号） 将逻辑函数中各变量之间的逻辑关系用图形符号表示，即为逻辑图。 把实现与逻辑运算把实现与逻辑运算的单元电路叫做的单元电路叫做与门与门。F&ABFABF = A B 逻辑或的概念：逻辑或的概念：决定某一件事的诸条件中，只要有一个或一个以上的条件满足，这件事的结果就会发生，否则结果不会发生。这样的逻辑关系

7、称为：逻辑或、逻辑加、逻辑或、逻辑加、或称为“或或”运算。运算。0 0 = 00 1 = 11 0 = http:/http:/假设：假设：开关闭合为 1开关断开为 0灯亮为 1灯不亮为 0用四个式子表示：用并联开关电路简单说明或或逻辑关系：或逻辑的表示方法：或逻辑的表示方法： 220VABF F真值表：真值表：工作波形图工作波形图逻辑图（符号）逻辑图（符号）逻辑表达式逻辑表达式：F = A + B 把实现或逻辑运算的把实现或逻辑运算的单元电路叫做或门。单元电路叫做或门。有有1为为1全全0为为0F11ABFAB 逻辑非的概念：逻辑非的概念：条件具备了，结果不会发生。条件不具备，结果一定发生。A

8、 F0 11 0逻辑表达式：逻辑表达式：AF 工作波形工作波形: :逻辑符号：逻辑符号：开关闭合为 1 开关断开为 0灯亮为 1灯不亮为 0假设：假设：把实现非逻辑运算的单元电路叫做非门。把实现非逻辑运算的单元电路叫做非门。 220VAFAF1 1AFAAA0 AA逻辑运算逻辑运算逻辑符号逻辑符号真值表真值表基本运算规则基本运算规则与与AA100 AAAA1AA11AAA0AA 逻辑表达式逻辑表达式BAFBAFAF 或或非非&ABF1ABF1 1AF 实际的逻辑问题比与、或、非与、或、非复杂得多。利用这三种基本逻辑关系，可以得出处理实际逻辑问题的各种复合逻辑，如与非、或非、与或非、异或、同或与

9、非、或非、与或非、异或、同或逻辑等。1 1、 与非逻辑与非逻辑 与非逻辑是与与逻辑运算和非非逻辑运算的组合。它是将输入变量先进行与运算，然后再进行非运算。与非逻辑表达式：BAF与非门逻辑符号：能够实现与非逻辑运算的电路称为与非门能够实现与非逻辑运算的电路称为与非门。&AFBAFBAFB与非门真值表：与非门真值表：有有0 0为为1,1,全全1 1为为0 0与非门运算顺序是：与非门运算顺序是： 先与后非先与后非即：当输入A、B中，只要有一个0,输出就是1,只有输入全为1时，输出才是0。BAF1110工作波形图：工作波形图：ABF 或非逻辑是或或逻辑运算和非非逻辑运算的组合。它是将输入变量先进行或运

10、算，然后再进行非运算。能够实现或非逻辑运算的电路称为或非门或非门。或非逻辑表达式：或非逻辑表达式：BAF或非门逻辑符号：或非门逻辑符号：或非门真值表：或非门真值表：BAF或非门运算顺序是：或非门运算顺序是： 先或后非先或后非1000有有1为为0,全全0为为1即：当输入A、B中，只要有一个1,输出就是0,只有输入全为0时，输出才是1。或非门工作波形或非门工作波形11FAB+AFBAFBABF 与或非逻辑是与与逻辑运算和或非或非逻辑运算的组合。它是将输入变量A,B及C,D先进行与运算，然后再进行或非运算。能够实现与或非逻辑运算的电路称为与或非门与或非门。ABCDF00001000110010100

11、110010010101101101011101000110011101011011011000110101110011110逻辑符号：逻辑符号：与或非门真值表：与或非门真值表：工作工作波形图：波形图：逻辑表达式：逻辑表达式：CDABF每组有每组有0为为1,某组全某组全1为为0。FABCD&11ABCDFC+ABDFFABCDA,B为两个单刀双掷开关。 灯亮的条件是：一个开关打在上面，另一个开关打在下面。两个开关同时打在上面或者下面，则灯不亮。假设：假设：开关打在上面为1开关打在下面为0灯亮为1灯灭为0真值表：真值表：由真值表写出逻辑表达式：由真值表写出逻辑表达式：取取F=1F=1列与项逻辑式

12、。列与项逻辑式。对任何一种输入变量组合，对任何一种输入变量组合，变量之间是变量之间是“与与”运算。运算。如果输入变量是如果输入变量是“1”,1”,记记原变量。如果输入变量是原变量。如果输入变量是“0”,0”,记反变量。记反变量。各组合之间是各组合之间是“或或”逻辑关逻辑关系。系。BABABAF异或运算特点：异或运算特点：相异为相异为1 1，相同为，相同为0 0AFB220V异或异或逻辑符号：逻辑符号：异或逻辑基本运算规律：异或逻辑基本运算规律：0 0 = 0 1 1 = 01 0 = 0 1 = 1推论：推论：异或门工作异或门工作波形图：波形图：1 AA0 AAAA0AA1BABA=1AFBF

13、AB假设：假设：开关打在上面为1开关打在下面为0灯亮为1灯灭为0灯亮的条件是：两个开关均打在上面，或均打在下面。 ABBAF同或运算特点同或运算特点：相同为相同为1,1,相异为相异为0 0。同或同或逻辑符号：逻辑符号：同或逻辑和异或逻辑互为反函数。同或逻辑真值表同或逻辑真值表同或逻辑表达式同或逻辑表达式=1AFBAFB220VABABABAB1 1、逻辑函数间的相等、逻辑函数间的相等设有两个逻辑函数F = f (A1A2-An)G = g (A1A2-An)看出：F和G都是变量 A1A2-An的逻辑函数如果:2n 种组合中每一状态组合F和G值相同，则称为F和G相等，记作F=G。如果F=G，其真

14、值表相同。反之，F和G真值表相同，F一定等于G。因此，要证明两个逻辑函数相等，只需列出真因此，要证明两个逻辑函数相等，只需列出真值表，若真值表相同，那么这两个函数一定相等。值表，若真值表相同，那么这两个函数一定相等。 CBAC,B,AF CAABC,B,AG 例：设证明 F = G证：(1)、列出F和G的真值表 从真值表中可以看出： 每一种状态组合 F 和 G 都相等，所以 F = G。 即：即：F F 和和 G G是同一逻是同一逻辑的两种不同表达式。辑的两种不同表达式。CBACAAB0 00 00 00 01 10 01 11 1FA BCGABAC(2)、实现F和G的逻辑电路图两种不同的电

15、路形式，表示同一种逻辑功能。两种不同的电路形式，表示同一种逻辑功能。CCBBACCA将运算符号变为逻辑符号将运算符号变为逻辑符号11&ABCABC&111 AAAA BABACAABBCCAABBAABCABACBCABA0 AA（1 1）常量之间的关系）常量之间的关系0 0 = 0 0 + 0 = 0 0 1 = 0 0 + 1 = 1 1 0 = 0 1 + 0 = 1 1 1 = 1 1 + 1 = 1 0 = 1 1 = 0 请特别注意请特别注意与普通代数与普通代数不同之处不同之处与或（2）常量与变量之间的关系普通代数结普通代数结果如何？果如何？（3）与普通代数相似的定理 交换律交换律

16、AB = BAA + B = B + A结合律结合律A（BC）=（AB）CA +(B+C)=(A+B)+C分配律分配律A（B+C）=AB + ACA+(BC)=(A+B)(A+C)（4）特殊的定理D De morgene morgen定理定理两点说明：两点说明：1 1、乘法运算中乘号、乘法运算中乘号“”可以省略，可以省略，A B A B 可写可写为为ABAB2 2、运算顺序，先括号，再算乘，最后加。、运算顺序，先括号，再算乘，最后加。 这些基本定律反应了逻辑代数的基本规律，其正确性都可以利用真值表加以验证。例：证明反演率BAABBABA,BABAABBAAB从真值表中看出：BABABAABBA

17、BABAAB（1 1）、代入规则）、代入规则 任何一个含变量任何一个含变量 A A 的等式中，如果将出现的等式中，如果将出现 A A 的地方，的地方，都代之一个逻辑函数都代之一个逻辑函数 F F ，则等式仍然成立。，则等式仍然成立。例1：分配率A(B+C) = AB+AC令：C = EF 代入公式A(B+EF)证:A(B+EF)用乘对加的分配率证明例2:BABAABCDBCDCD则：令：A = CD证：BCDBCDCDCDBCDCD)(代入规则之所以正确： 是因为任何一个逻辑函数和任何一个逻辑变量一样，只有两种可能取值 (0 ,1),所以可以将逻辑函数当作一个逻辑变量对待。= AB+AEF=

18、AB+AEF（2 2）、反演规则：）、反演规则： （摩根定理）目的：求原函数的反函数求原函数的反函数 已知函数为已知函数为 F F ，将，将 F F 中的所有中的所有 “” 换为换为“”，“” 换为换为 “” ，0 0 换为换为 1 1 ，1 1 换为换为 0 0，原变量换为反变量，反变量换为原变量。，原变量换为反变量，反变量换为原变量。得到的函数式就是原函数的反函数，或称为补函数。记作得到的函数式就是原函数的反函数，或称为补函数。记作FCDBAFF求例1:已知解：由反演规则直接得出由反演规则直接得出DCBAF)(由反演率得由反演率得2 2、在运算过程中适当增加括号，以保证原函数的运算顺序不变。、在运算过程中适当增加括号，以保证原函数的运算顺序不变。本例说明：本例说明： 1 1、由反演规则求反函数，比直接用反演率求反函数方便、简单。、由反演规则求反函数，比直接用反演率求反函数方便、简单。CDBA DCBA