高等代数北大第三版18课件PPT学习教案

1、会计学1高等代数北大第三版高等代数北大第三版1。8课件课件1. 代数基本定理代数基本定理一、复系数多项式一、复系数多项式 若若 则则 在复数域在复数域( ) ,f xC x( ( )1,f x( )f x上必有一根上必有一根 C推论推论1( ) ,f xC x( ( )1,f x若若则存在则存在 ,xaC x()|( ).xaf x 使使即，即，( )f x在复数域上必有一个一次因式在复数域上必有一个一次因式第1页/共11页推论推论2复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即 则则 可约可约 ( ) ,f xC x( ( )1,f x( )f x2. 复系

2、数多项式因式分解复系数多项式因式分解定理定理若若 则则 在复数域在复数域( ) ,f xC x( ( )1,f x( )f xC上可唯一分解成一次因式的乘积上可唯一分解成一次因式的乘积 第2页/共11页推论推论1推论推论2若若 则则 在在 ( ) ,f xC x( ( )1,f x( )f xC1212( )() ()()srrrsf xa xxx12,Zsr rr+ +, ,其中其中 是不同的复数，是不同的复数， 12,s 上具有标准分解式上具有标准分解式复根（重根按重数计算复根（重根按重数计算） 若若 ，则，则 有有n个个( ) f xC x，( ( )f xn( )f x第3页/共11页

3、二、实系数多项式二、实系数多项式 命题命题：若：若 是实系数多项式是实系数多项式 的复根，则的复根，则 的共轭复数的共轭复数 也是也是 的复根的复根 ( )f x ( )f x若若 为根，则为根，则 110( )0nnnnfaaa 两边取共轭有两边取共轭有 也是为也是为 复根复根 ( )f x110( )0nnnnfaaa 证：证：110( ),nnnnif xa xaxaaR 设设第4页/共11页实系数多项式因式分解定理实系数多项式因式分解定理 ，若，若 ， 则则 可唯一可唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积 ( ) f xR x( ( )1f x

4、( )f x证：对证：对 的次数作数学归纳的次数作数学归纳( )f x 时，结论显然成立时，结论显然成立. . ( ( )1f x 假设对次数假设对次数n的多项式结论成立的多项式结论成立设设 ，由代数基本定理，由代数基本定理, 有一复根有一复根 ( ( )f xn( )f x 若若 为实数为实数, , 则则 ，其中，其中 1( )()( )f xxfx 1()1.fn第5页/共11页若若 不为实数，则不为实数，则 也是也是 的复根，于是的复根，于是 ( )f x222( )()()( )()( )f xxxfxxxfx设设 ，则，则 abi ,abi 22abR 即在即在R上上 是是 一个二次

5、不可约多项式一个二次不可约多项式2()xx2aR ,从而从而 2()2.fn 由归纳假设由归纳假设 、 可分解成一次因式与二次可分解成一次因式与二次1( )fx2( )fx不可约多项式的乘积不可约多项式的乘积 由归纳原理，定理得证由归纳原理，定理得证 第6页/共11页在在R上具有标准分解式上具有标准分解式( ) ,f xR x( )f x12121211( )() ()() ()skkkknsf xaxcxcxcxp xq推论推论11211,srrc ccpp qqR 其中其中11, ,sskk llZ 且且 ，即，即 为为240,1,2pqir2ixp xqiR上的不可约多项式上的不可约多项

6、式. 2()rkrrxp xq第7页/共11页推论推论2 实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二例例1求求 在在 上与在上与在 上的标准分解式上的标准分解式. . 1nx CR1)在复数范围内在复数范围内 有有n个复根，个复根，1nx 次不可约多项式，所有次数次不可约多项式，所有次数3的多项式皆可约的多项式皆可约. . 解：解：211,n 第8页/共11页22cossin,1ninn22cossin,1,2,kkkiknnn 211(1)()()()nnxxxxx 2)在实数域范围内在实数域范围内这里这里,kn k 22cos1, kkkkkn 1, 2,kn第9页/共11页当当n为奇数时为奇数时 2111(1)()nnnxxxx111122222()nnnnxx2221(1)(2 cos1)2 cos1nx