钱小军概率论与数理统计chap05binomialdistribution

1、10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 20081第五章 离散型概率分布chapter 5 discrete probability distribution钱小军钱小军清华大学经济管理学院清华大学经济管理学院伟伦楼南伟伦楼南456b电话电话: 62789934电子邮箱：电子邮箱：10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 200821. random variables 随机变量随机变量random experiment 随机试验随机试验a random variable is a numerical description of

2、the outcome of an experiment.随机变量是一次随机试验结果的数值性描述。随机变量是一次随机试验结果的数值性描述。a random variable is a variable whose value varies with different outcomes of random experiment and is of different probabilities. 随机变量是一个变量，它的取值随随机试验的结果不随机变量是一个变量，它的取值随随机试验的结果不同而不同，并以一定的概率取这些不同的数值。同而不同，并以一定的概率取这些不同的数值。10/22/2021ts

3、inghua-cuhk finance mba 20083a random variable can be classified as being either discrete random variable or continuous random variable on the numerical values it assumes. 随机变量根据所代表的数值，可定义为随机变量根据所代表的数值，可定义为离散型随机离散型随机变量变量或或连续型随机变量连续型随机变量。10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 20084discrete random variab

4、le 离散型随机变量离散型随机变量a random variable that may assume either a finite number of values or an infinite sequence of values such as 0, 1, 2, is referred to as a discrete random variable.离散型随机变量离散型随机变量是只取有限个不同的数值或无是只取有限个不同的数值或无限个但可按顺序列出的数值如限个但可按顺序列出的数值如0,0,1,2, ,的随机的随机变量。变量。10/22/2021tsinghua-cuhk finance

5、mba 20085举例 example （中文p120，练习1 english p178 exercises 1）consider the experiment of tossing a coin twice, and we define a random variable that represents the number of heads occurring on the twice tosses.抛两次硬币，我们定义一个随机变量抛两次硬币，我们定义一个随机变量 表示出现正面的次数表示出现正面的次数第一次第一次第二次第二次出现正面的次数出现正面的次数概率概率正正正正20.25正正反反10

6、.25反反正正10.25反反反反00.25xx或出现正面的次数出现正面的次数概率概率20.2510.5000.25x10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 200862. discrete probability distribution离散型概率分布离散型概率分布the probability distribution for a random variable describes how probabilities are distributed over the values of the random variable. 随机变量的概率分布描述随机变量所

7、取的所有不同随机变量的概率分布描述随机变量所取的所有不同的值以及取这些数值的概率。的值以及取这些数值的概率。for a discrete random variable , the probability distribution is defined by a probability function, denoted by .对于离散型随机变量对于离散型随机变量 ，概率分布通过概率函数，概率分布通过概率函数 来定义。来定义。the probability function provides the probability for each value of the random varia

8、ble.概率函数概率函数提供了随机变量取每一个值的概率。提供了随机变量取每一个值的概率。)(xfx)(xfx10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 20087 the essential condition of discrete probability function离散型概率函数的必要条件：离散型概率函数的必要条件：1. 2. 0)(xf1)(xf10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 20088正面出现的次数正面出现的次数概率概率00.2510.5020.25合计合计1.00.example举例1：抛两次硬币的试验)(xf

9、x25. 0)0(f50. 0) 1 (f25. 0)2(f1)(xf10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 20089example举例2：(中文版: p121，表5-3）(english version: p180 table 5-3)dicarlo汽车公司汽车日销售量的概率分布汽车公司汽车日销售量的概率分布00.1810.3920.2430.1440.0450.01合计合计1.00)(xfx10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 200810graphic presentation of discrete probabili

10、ty function 离散型概率函数的图形表示离散型概率函数的图形表示正面出正面出现的次现的次数数概率概率00.2510.5020.25合计合计1.00连续抛两次硬币连续抛两次硬币出现正面的次数出现正面的次数0.250.5001 2 xf (x)10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 200811measure of the discrete random variable 离散型随机变量的度量expectation (or mean) 数学期望（或均值）数学期望（或均值）variance 方差方差standard deviation 标准差标准差10/22/

11、2021tsinghua-cuhk finance mba 200812expectation (or mean) 数学期望数学期望the expected value of a random variable is a measure of the central location for the random variable随机变量的数学期望是对随机变量取值的中心位置的随机变量的数学期望是对随机变量取值的中心位置的一种度量。一种度量。formula 公式：公式： xfxxfxxeniii1)(10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 200813 examp

12、le举例：举例：p124， dicarlo汽车公司汽车日汽车公司汽车日销售量数学期望的计算销售量数学期望的计算(期望期望.xls)00.1800.18=010.3910.39=0.3920.2420.24=0.4830.1430.14=0.4240.0440.04=0.1650.0150.01=0.05 x)(xf)(xfx5 . 1)()(xfxxe10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 200814(1)(2)(3)properties of expectation数学期望的性质数学期望的性质 cce bxaebaxeiiiixeaxae)(e是可以是可以“

13、分配分配”的？的？保持线性关系不变。保持线性关系不变。10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 200815variance is a measure of variability, or dispersion for a random variable.方差方差用来描述随机变量的变异性或分散度。用来描述随机变量的变异性或分散度。variance of a discrete random variable离散型随机变量的方差：离散型随机变量的方差：)()()(22iixfxxvar22)()(xexe10/22/2021tsinghua-cuhk finance

14、mba 200816example举例：举例： dicarlo汽车公司汽车日销售汽车公司汽车日销售量的方差的计算量的方差的计算(方差的计算方差的计算.xls)0-1.52.250.182.250.18=0.40510.50.250.390.250.39=0.097520.50.250.240.250.24=0.0631.52.250.142.250.14=0.31542.56.250.046.250.04=0.2553.512.250.0112.250.01=0.1225x2xx xf)(2xfx25. 1)(22xfx10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 2

15、00817example举例：举例： dicarlo汽车公司汽车日销售汽车公司汽车日销售量的方差的计算量的方差的计算(方差的计算方差的计算.xls)x000.180110.390.39240.240.96390.141.264160.040.645250.010.252x xf xfx2 25. 15 . 15 . 32222xexe5 . 32xe10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 200818(1)(2)(3)properties of variance方差的性质方差的性质 0cvar xvarabaxvar2iiiixvaraxavar2)(如果如果

16、都是独立（不相关）的，都是独立（不相关）的，ix10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 200819standard deviation 标准差标准差standard deviation is defined as the positive square root of the variance.标准差标准差定义为方差的非负平方根。定义为方差的非负平方根。standard deviation has the same unit as the random variable, so it always describes the variability for a

17、 random variable.标准差的单位与随机变量的相同，因而更常用来描述一个随机标准差的单位与随机变量的相同，因而更常用来描述一个随机变量的变异性（变化幅度）。变量的变异性（变化幅度）。)()(xvarxstd10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 2008204. binomial probability distribution二项概率分布二项概率分布binomial experiment 二项试验二项试验nthe experiment consists of a sequence of n identical trials.试验由一个包括试验由一个

18、包括 n次相同试验的序列组成次相同试验的序列组成;nthe trials are independent.每次试验是独立的。每次试验是独立的。ntwo outcomes are possible on each trial. we refer to one as a success and the other as the failure.每次试验只有两种可能结果：成功或失败每次试验只有两种可能结果：成功或失败;nthe probability of a success, denoted by p, does not change from trail to trail.consequentl

19、y, the probability of a failure, denoted by 1-p, does not change from trail to trial.成功的概率，用成功的概率，用p表示，失败的概率用表示，失败的概率用1-p表示表示;10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 200821考虑三个进入马丁服装店的顾客的购买决定。考虑三个进入马丁服装店的顾客的购买决定。根据经验，任一顾客购买服装的概率为根据经验，任一顾客购买服装的概率为0.3。三个顾客中有两个会购买服装的概率是多少？三个顾客中有两个会购买服装的概率是多少？example举例：举例：马

20、丁服装店问题马丁服装店问题(中文版中文版:p128)(english version: p190）10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 200822checking the four requirements for a binomial experiment 检查是否满足二项试验的属性检查是否满足二项试验的属性nthe experiment can be described as a sequence of three identical trials, one trial for each of the three customers who will e

21、nter the store.试验可以被认为由一个包括三个相同试验的序列构成，试验可以被认为由一个包括三个相同试验的序列构成，任一顾客进入商店为一次试验任一顾客进入商店为一次试验ntwo outcomes-the customer makes as purchase(success) or the customer does not make a purchase(failure)-are possible for each trial.每次试验都有两个结果：顾客购买每次试验都有两个结果：顾客购买(成功成功)或不购买或不购买(失失败败)10/22/2021tsinghua-cuhk finan

22、ce mba 200823nthe probability that customer will make a purchase(0.30) or will not make a purchase(0.70) is assumed to be the same for all customers.顾客购买的概率顾客购买的概率(0.3) 或不购买的概率或不购买的概率(0.7) 对所有顾客对所有顾客都是一样的都是一样的nthe purchase decision of each customer is independent of the decisions of the other custom

23、ers.每个顾客的购买决定不受其他顾客的购买决定影响每个顾客的购买决定不受其他顾客的购买决定影响（独立的）（独立的）nthe variable is binomially distributed with n=3 and p=0.3. 这个随机变量是这个随机变量是n=3, p=0.3的二项分布。的二项分布。continued (续续)10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 200824number of experimental outcomes providing exactly x successes in n trialsn次试验中恰有次试验中恰有x次成功

24、的试验数目：次成功的试验数目：binomial probability function 二项概率函数二项概率函数 n次试验中有次试验中有x次成功的概率，其中次成功的概率，其中p是一次试验中成功的概率。是一次试验中成功的概率。 p is the probability of success in one trial.!xnxnxncxnxnxxnxxnppxnxnppcxf)1 (!1)( trailsin successes of )(nxyprobabilitthexf10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 200825probability distrib

25、ution for the number of customers making a purchase 马丁服装店：进行购买的顾客人数的概率分布马丁服装店：进行购买的顾客人数的概率分布0123合计合计1.00343. 0)3 . 01 ()3 . 0(!03!0!330441.0)3 .01 ()3 .0(!13!1!321027. 0)3 . 01 ()3 . 0(!33!3!303189. 0)3 . 01 ()3 . 0(!23!2!312x)(xf10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 200826二项概率表二项概率表.xls中文书参加附赠中文书参加附赠

26、cd里面的统计表格里面的统计表格英文书英文书a12using tables of binomial probabilities二项概率表的使用二项概率表的使用10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 20082710/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 2008280-1 distribution0-1分布分布n = 1时的二项分布称为时的二项分布称为01分布，即分布，即 表示成功。表示成功。10 x)(xfpp11x10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 2008290-1 distribution

27、and binomial distribution0-1分布与二项分布分布与二项分布如果如果 是服从成功的概率为是服从成功的概率为p的的 0-1 分布，而且相互独立，则分布，而且相互独立，则 即即 服从二项分布。服从二项分布。反过来，如果反过来，如果 ，则可以认为，则可以认为 是是n个个独立的独立的0-1分布的和，其中成功的概率为分布的和，其中成功的概率为p。nixi, 1,pnbxxnii,1x),(pnbxx10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 200830expectation and variance for the binomial probabil

28、ity distribution二项分布的数学期望和方差二项分布的数学期望和方差如果随机变量如果随机变量 ，则，则npxe)()1 ()(2pnpxvar),(pnbx10/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 200831example 举例：马丁服装店举例：马丁服装店3个顾客：个顾客： 1000个顾客：个顾客： 问题：怎样增加销售量的期望值或平均销售量？问题：怎样增加销售量的期望值或平均销售量？ 0.90.33pn63. 0)3 . 01 (3 . 03p)-np(12 0033 . 01000pn210)3 . 01 (3 . 00001p)-np(1210/22/2021tsinghua-cuhk finance mba 2008325. continuous random variable 连续型随机变量连续型随机变量continuous random variable：a random var