在开腔中存在怎样的电磁场本征态即不随时间变化的稳态

1、 在开腔中存在怎样的电磁场本征态（即：不在开腔中存在怎样的电磁场本征态（即：不随时间变化的稳态场分布）随时间变化的稳态场分布）? ?如何求场分布如何求场分布? ? 稳态场分布的形成稳态场分布的形成: :可看成光在两镜面间往可看成光在两镜面间往返传播的结果返传播的结果! !方方法法一个镜面上的场一个镜面上的场另一个镜面上的场另一个镜面上的场求解衍射积分方程求解衍射积分方程! ! 第第 3 3 章章 激光器的输出特性激光器的输出特性3.1.1 3.1.1 惠更斯惠更斯- -基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式一一.惠更斯惠更斯 - 菲涅尔提出子波及子波干涉的概念菲涅尔提出子波及子波干涉的概念 1) )

2、 波传到的任意点都是子波的波源波传到的任意点都是子波的波源 2) ) 各子波在空间各点进行相干叠加各子波在空间各点进行相干叠加 概括为：概括为： 波面上各点均是相干子波源波面上各点均是相干子波源 惠菲原理提供了用干涉解释衍射的基础惠菲原理提供了用干涉解释衍射的基础 菲涅耳发展了惠更斯原理菲涅耳发展了惠更斯原理 从而深入认识了衍射现象从而深入认识了衍射现象 它是研究光衍射现象的基础，也是开腔模式问题的理论基础它是研究光衍射现象的基础，也是开腔模式问题的理论基础 二二. . 惠更斯菲涅耳原理图3-1 惠更斯-菲涅耳原理设波阵面上任一源点 的光场复振幅为 ，则空间任一观察点p 的光场复振幅 由下列积

3、分式计算： p) ( pu)(pu)cos1 ()( 4)(dsepuikpuikpppnppp 原点原点 与观察点与观察点 之间的距离之间的距离 原点原点 处的处的法线法线 与与 的夹角的夹角 k光波矢，光波矢， 为光波波长为光波波长ds原点原点 处的面元处的面元2k功能：功能：如果知道了光波场在其所达到的任意空间曲面上的如果知道了光波场在其所达到的任意空间曲面上的振幅和相位分布，就可以求出该光波场在空间其他任意位振幅和相位分布，就可以求出该光波场在空间其他任意位置处的振幅和相位分布。置处的振幅和相位分布。3.1.2 3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程光学谐振腔的自再现模积分方程一、开

4、腔模的一般物理概念一、开腔模的一般物理概念1 1、理想开腔模型、理想开腔模型两块反射镜面放在无限大的均匀的各向同性介质中。两块反射镜面放在无限大的均匀的各向同性介质中。2 2、决定腔模形成的损耗：主要是腔镜边缘的衍射损耗，、决定腔模形成的损耗：主要是腔镜边缘的衍射损耗，其他的损耗只使横截面上各点的场按照相同比例衰减！其他的损耗只使横截面上各点的场按照相同比例衰减！可忽略腔侧壁的不连续性，决定衍射效应的孔径由镜的边缘决定！可忽略腔侧壁的不连续性，决定衍射效应的孔径由镜的边缘决定！二、二、自再现模概念自再现模概念 1.1.模模: : 光腔中可能存在的电磁场空间分布状态光腔中可能存在的电磁场空间分布

5、状态散角每一个模的激光束的发的相对功率损耗模在腔内往返一次经受纵模）模的简谐频率）面内的场的分布，横模模的电磁场理论（横截模的基本特征( 2 2、稳态场的形成、稳态场的形成模的模的“自再现自再现” 镜镜1 1上的场分布，到达镜上的场分布，到达镜2 2时，由于衍射，要经历一次时，由于衍射，要经历一次能量的损耗和场分布的变化，中间能量损失小，镜边缘损能量的损耗和场分布的变化，中间能量损失小，镜边缘损失大，每单程渡越一次，都会发生类似的能量损耗和场分失大，每单程渡越一次，都会发生类似的能量损耗和场分布变化，多次往返后，从而逐渐形成中间强、边缘弱的基布变化，多次往返后，从而逐渐形成中间强、边缘弱的基本

6、不受衍射影响的稳态场分布，该本不受衍射影响的稳态场分布，该稳态场分布一个往返后稳态场分布一个往返后可可“自再现自再现”出发时的场分布，唯一变化是镜面上各点的出发时的场分布，唯一变化是镜面上各点的场振幅按同样的比例衰减，各点相位发生同样大小的滞后。场振幅按同样的比例衰减，各点相位发生同样大小的滞后。横向场振幅横向场振幅分布和相位分布和相位分布都均匀分布都均匀的平面波入的平面波入射，经过多射，经过多次次孔阑的衍孔阑的衍射影响后，射影响后，二者都变得二者都变得不再均匀，不再均匀，成为相对场成为相对场振幅和相对振幅和相对相位分布都相位分布都不受衍射影不受衍射影响的稳态场响的稳态场分布。分布。(1)(1

7、)自再现模：往返一次能再现自身的稳态场分布。自再现模：往返一次能再现自身的稳态场分布。 （在腔内往返一次后能够“再现”出发时的场分布）(2)(2)往返损耗：自再现模往返一次的损耗。往返损耗：自再现模往返一次的损耗。(3)(3)往返相移：自再现模往返一次的相位变化，等于往返相移：自再现模往返一次的相位变化，等于2 2的的整数倍。整数倍。三、自再现物理过程的形象化描述和定性解释三、自再现物理过程的形象化描述和定性解释孔阑传输孔阑传输五五. . 自再现模积分方程图3-2 镜面上场分布的计算示意图 图(3-2)所示为一个圆形镜的平行平面腔镜面 和 上分别建立了坐标轴, 两两相互平行的坐标 和 。利用上

8、式由镜面 上的光场分布可以计算出镜 上的场分布函数，即任意一个观察点的光场强度。 mmyx yxm假设 为经过q次渡越后在某一镜面上所形成的场分布， 表示光波经过q+1次渡越后，到达另一镜面所形成的光场分布，则 与 之间应满足如下的迭代关系： ) , (yxuq1ququ),(1yxuq)cos1 () , (4),(1dseyxuikyxumikqq(3-2)考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和相位移动的常数因子以外， 应能够将 再现出来，两者之间应有关系： 1ququqquu1(3-3)与坐标(x,y)及(x,y) 无关的复常数综合上两式可得： )cos1 ()

9、, (4),(dseyxuikyxuikmqq去掉q，得自再现模积分方程l腔长腔长 r反射镜曲率半径反射镜曲率半径 a反射镜的线度反射镜的线度 很小很小cos =1 ， 1+ cos =2 l （不同的腔面做不同的近似）将以上近似代入(3-5)，得到自再现模所满足的积分方程自再现模所满足的积分方程 （不受衍射影响的稳态场分布函数）因为因为 所以作两点近似处理：所以作两点近似处理： arl,(3-4)cos1 () , (4),(dseyxuikyxuikm(3-5) 和 的下标表示该方程存在一系列的不连续的本征函数解与本征值解，这说明在某一给定开腔中，可以存在许多不同的自再现模。 mnumn)

10、 , () , ,(),(dsyxuyxyxkyxuqmnmn(3-6) , ,() , ,(2) , ,(yxyxikyxyxikelielikyxyxk称为积分方程的核。其中(3-7)（3-6）的解包括两个方面:本征函数 是复函数,其模代表镜面上光场振幅分布,幅角代表镜面上光场的相位分布;本征值也是个复数,其模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗.幅角代表单程渡越后模的相位滞后。),(yxu六六. . 积分方程解的物理意义(1)本征函数 和激光横模 mnu本征函数 的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅角则代表镜面上光场的相位分布。它表示的是在激光谐振腔中存在的稳定的横向场

11、分布，就是自再现模，通常叫做“横模”，m、n称为横模序数。图3-3为各种横模光斑。 mnu图3-3 横模光斑示意图(3)本征值 和单程衍射损耗、单程相移 mn本征值 的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗。 mn(2).(横模) 标记: m, n 横模序数 temmn(4)本征值 和单程衍射损耗、单程相移 mn损耗包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为单程衍射损耗，用 表示。定义为 2122121mnmnqqqqquuuuu本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。 qqqquuuuargargarg11自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为 arga

12、rgarg1qquu自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于由腔长l所决定的几何相移，它们的关系为 mnmnklklargarg问题问题 ne原子的原子的0.6328 m谱线的频率宽度为谱线的频率宽度为 1.3 10 9 hz )(0 i)(0 i2)(0 i 0 hzcv1468105106328. 01036149103105103 . 1而为什么而为什么hene激光器输出激光的激光器输出激光的会小到会小到10 - 15 呢？呢？ 3.1.3 3.1.3 光学谐振腔谐振频率和激光纵模光学谐振腔谐振频率和激光纵模一一. .谐振条件和驻波条件谐振条件和驻波条件在腔内要形成稳定的振荡，要求光

13、波要因干涉而得到加强。在腔内要形成稳定的振荡，要求光波要因干涉而得到加强。 相长干涉条件 （波从某一点出发，经腔内往返一周再回到原来位置时，应与初始出发波同相）(1)(1) 光波在腔内往返一周的总相移应等于光波在腔内往返一周的总相移应等于2 2 的整数倍，即只有某些特定的整数倍，即只有某些特定频率的光才能满足频率的光才能满足谐振条件谐振条件 1,2,3, 22qq(2).(2).腔内产生腔内产生驻波的条件驻波的条件 * *( (光学腔长等于半波长的整数倍光学腔长等于半波长的整数倍) ) 2 0qqllqqcv0谐振频率谐振频率 其它波长（频率）都被相消干涉所淘汰，只有 （ ）才能产生振荡，可通

14、过改变l来选择 （ ）故称为选频。0q0qqv0qv0 从能量重新分布的角度来考虑， 的能量被加强了，其他频率的被减弱了。qv0 二、二、 纵模纵模( (纵向的稳定场分布纵向的稳定场分布) ) （1）激光的激光的纵模纵模(轴模轴模)：由整数由整数q所表征的腔内纵向稳定场分布所表征的腔内纵向稳定场分布(2).纵模序数序数：整数整数q称为称为纵模的序数纵模的序数每个每个q值对应一个驻波值对应一个驻波lqclclqcckqklmnmnq222222lqcmnq2(3-16)lcqq2lc21lqcmnq2(3-16)谐振腔内谐振腔内q阶纵模的频率为基纵模频率的整数倍阶纵模的频率为基纵模频率的整数倍(

15、q倍）倍）三三. . 纵模频率间隔纵模频率间隔(1) 腔内两个相邻纵模频率之差称为纵模的频率间隔mnmnqlclqc22lcqqq21（a）频率梳纵模等距排列 *(在频率空间)（第二章）四、激光器中出现的纵模数四、激光器中出现的纵模数五五. .选纵模选纵模 1.1.确定可起振纵模数目确定可起振纵模数目 q的因素的因素 *(只有只有)满足满足 的纵模的纵模 才能起振才能起振001212fqfq (1)荧光线宽荧光线宽 *( 自发发自发发 射线宽射线宽): 大则大则q 大大 f图(3-4) 腔中允许的纵模数(2)腔长腔长: l 越大则越大则 q 越大越大 *( , l大则大则 小小, 内可容更多个

16、纵模内可容更多个纵模)ql1qf例：例：l=30cm ，vq=5108hz， 其中只有三个频率在原子其中只有三个频率在原子 0.6328m线宽线宽 范围内范围内,所以激光器输出三个频率所以激光器输出三个频率, 称三纵模称三纵模.(多纵模激光器多纵模激光器)f例例:l=10cm 的的hene激光器中满足（激光器中满足（3-16）的频率很多，的频率很多，但形成激光的只有其但形成激光的只有其中之一中之一,称为称为单模单模2.数值例数值例: (1) co2激光器激光器 : =10.6m vf108s-1 l=1m vq=1.5108s-1 激光器输出单模激光器输出单模 (2)氩离子激光器氩离子激光器:

17、 =0.5145m vf6108s-1 l=1m vq=1.5108s-1 激光器多模输出激光器多模输出u形成激光振荡的条件：形成激光振荡的条件：1. 满足谐振条件满足谐振条件 2. 满足阈值条件满足阈值条件 3. 落在工作物质原子荧光线宽范围内的频率成分落在工作物质原子荧光线宽范围内的频率成分lcqq2总ag 六六. . 工作物质饱和效应的影响工作物质饱和效应的影响1.1.均匀增宽工作物质均匀增宽工作物质(a) (a) 腔中的频率梳腔中的频率梳(b) (b) 均匀展宽谱线均匀展宽谱线v0 0附近附近 达到振荡阈值达到振荡阈值(c) (c) 随着振荡加强随着振荡加强, ,发生增发生增 益饱和现象益饱和现象, ,整个增益整个增益 曲线下降曲线下降(d) (d) 单纵模形式运转单纵模形式运转2.2.非均匀增宽介质非均匀增宽介质(a)(a)腔中的频率梳腔中的频率梳(b)(b)非均匀展宽谱线非均匀展宽谱线(c)(c)满足满足 及阈值条件的纵模及阈值条件的纵模 在增益