212椭圆的简单几何性质

1、2.1.2 椭圆的简单几何性质（一）教学目标：椭圆的范围、对称性、对称中心、离心率及顶点（截距）重点难点分析 教学重点：椭圆的简单几何性质 . 教学难点：椭圆的简单几何性质 .教学设计：【复习引入】1. 椭圆的定义是什么？2. 椭圆的标准方程是什么？ 【讲授新课】 利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质以焦点在 x 轴上椭圆为例2x2a2y2 1 （ab0）1范围椭圆上点的坐标 （x, y）都适合不等式2x2a21, y2 1,即 x2a2，y2 b2， b2 |x| a，|y| byA1 bB22A2-aF 1 OF2 a x-bB1椭圆位于直线 x a 和 y b 围成的矩形里 2对称性在椭

2、圆的标准方程里，把 x 换成 x，或 把 y 换成 y，或把 x、 y同时换成 x、y 时， 方程有变化吗？这说明什么？ 椭圆关于 y轴、x 轴、原点都是对称的 坐标轴是椭圆的对称轴原点是椭圆的对称中心 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3顶点只须令 x0，得 y b，点 B1（0,b）、B2（0, b）是椭圆和 y 轴的两个交点；令 y0， 得 x a，点 A1（a,0）、A2（a,0）是椭圆和 x 轴的两个交点椭圆有四个顶点： A1（a, 0）、A2（a, 0）、B1（0, b）、B2（0, b）椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点线段 A1A2、B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴 长轴的长等

3、于 2a. 短轴的长等于 2b.a 叫做椭圆的 长半轴长 b 叫做椭圆的短半轴长|B1F1|B1F2|B2F1| |B2F2|a在 RtOB2F2中， |OF2|2|B2F2|2 |OB2|2， 即 c2a2 b2小结由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较 正确的图形 .4离心率a c 0， 0e1c 椭圆的焦距与长轴长的比 e ，叫做椭圆的离心率a知识改变命运，学习成就未来y(1)当e越接近 1时， c越接近 a，从而 b a2 c2 越小，因此椭圆越扁；(2)当 e越接近 0时， c越接近 0，从而 b越接近 a， 因此椭圆越接近于圆；(3)当且仅当 a

4、 b时， c 0，两焦点重合，图形变 练习 教科书 P.41练习第 5 题为圆，方程成为 x2 y2 a2 .例 1 求椭圆 16x225y2400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形解：把已知方程化成标准方程22x2 y2 1,这里 a 5，b4，所以 c25 16 3.52 42椭圆的长轴和短轴的长分别是c2a10和 2b8，离心率 e.a焦点为 F1(3, 0)、F2(3, 0)，顶点是 A1(-5,0)、A2(5,0)，B1(0,- 4)、B2(0,4)22把已知方程化成标准方程 x2 y2 1,5 2 42在 0 x 5的范围内算出几个点的 坐标 ( x

5、 , y)x012345y43.93.73.22.40先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性质画出整个椭圆椭圆的简单作法yB2A1A2F1OF2AxB1(1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；(2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；(3) 用曲线将四个顶点连成一个椭圆 .例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：3 (1) 经过点 P(3, 0)、Q(0, 2);( 2) 长轴的长等于 20，离心率等于 .5解： (1) 由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点 即 P、Q 分别是椭圆长轴和短轴的一个端点 . 于是得 a3，b2.22 又因为长轴在 x 轴上，所以椭圆的标准方程是 x y 1.94(2)c由已知， 2a20 ， ea a2 2 210 ，c6. b210262 64.椭圆的焦点可能在 x 轴上，也可能在 y轴上 ,2 2 2 2所求椭圆的标准方程为 xy1 或 yx1.2 倍的椭圆的标准方程100 64 100 64练习 求经过点 P (4, 1)，且长轴长是短轴长的22解： 若焦点在 x轴上，设椭圆方程为 : x 2 y2 1(a b 0)， a 2 b2a 2b依题意有16 1a 2 b2得 得：