21平面几何名定理

1、21 平面几何名定理四个重要定理：梅涅劳斯 (Menelaus) 定理(梅氏线)ABC的三边 BC、 CA、 AB或其延长线上有点充要条件是 。P、 Q、R，则 P、Q、 R共线的塞瓦 (Ceva) 定理(塞瓦点)ABC的三边 BC、CA、AB上有点 P、Q、R，则 AP、BQ、 CR共点的充要条件是托勒密 (Ptolemy) 定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接 于一圆。西姆松 (Simson) 定理(西姆松线)从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三 角形的外接圆上。例题讲解1设 AD是 ABC的边 BC上的中线，直线 CF交 AD于 F。

2、求证：2过 ABC的重心 G的直线分别交 AB、AC于 E、F，交 CB于 D。求证：3D、E、F分别在 ABC的 BC、CA、AB边上，AD、BE、CF交成LMN。求S LMN。4以 ABC各边为底边向外作相似的等腰 BCE、CAF、ABG。求证： AE、BF、CG相交于一点。5已知 ABC中， B=2 C。求证： AC2=AB2+ABBC。6已知正七边形 A1A2A3A4A5A6A7 。求证：。7 ABC的 BC边上的高 AD的延长线交外接圆于 P，作 PEAB 于 E，延长 ED交 AC延长线于 F。求证： BCEF=BFCE+BECF。8正六边形 ABCDEF的对角线 AC、CE分别被

3、内分点 M、N 分成的比为 AM：AC=CN：CE=k，且 B、M、 N共线。求 k。( 23-IMO-5 )9O为ABC内一点，分别以 da、db、dc 表示 O到 BC、 B、C的距离。求证：( 1)aRa bdb+cdc;(2) a Ra cdb+bdc;(3) R a+Rb+Rc 2(d a+db+dc) 。CA、AB的距离，以 Ra、Rb、Rc 表示 O到 A、10ABC中， H、G、O分别为垂心、重心、外心。求证： H、G、O三点共线，且 HG=2G。O (欧 拉线)11O1 和O2 与 ABC的三边所在直线都相切， 求证： PABC。E、F、 G、H 为切点， EG、FH的延长线

4、交于 P。12如图，在四边形ABCD中，对角线 AC平分 BAD。在 CD上取一点 E，BE与 AC相交于 F，延长DF交 BC于 G。求证： GAC= EAC。例题答案：1. 分析：CEF截ABD梅氏定理）评注：也可以添加辅助线证明：过A、B、D 之一作 CF的平行线。2. 分析：连结并延长AG交 BC 于 M，则 M为 BC的中点。梅氏定理）DEG截ABM = = =1DGF截 ACM（梅氏定理）评注：梅氏定理3. 梅氏定理4. 塞瓦定理5. 分析：过 A作 BC的平行线交 ABC的外接圆于 D，连结 BD。则 CD=DA=A，B AC=BD。由托勒密定理， ACBD=ADBC+CD AB。 评注：托勒密定理6. 评注：托勒密定理7. 评注：西姆松定理（西姆松线）9. 评注：面积法10. 评注：同一法8. 评注：面积法11. 证明：连结 BD交 AC于 H。对 BCD用塞瓦定理，可得 因为 AH是 BAD的角平分线，由角平分线定理，可得 ，故 过C作AB的平行线交 AG的延长线于 I，过 C作 AD的平行线交 AE的延长 线于 J 。则，所以 ，从而 CI=CJ。又因