悬臂梁随机振动的最优控制_俞文伯

1、IX)i: 10. 140(X)/j. jzjgxh. 19). 05. (XXi悬臂梁随机振动的最优控制俞文伯 丁文镜（清华大学工程力学系）【提要】本文采用模态分析方法，导出了受控弹性悬哲梁的状态方程,研究了总振型血血控制 模型，并求并状态变蚩的方差与结构秦数何的堺析关系式。最后，対多械型多点控制模型逬行 了数值分析，并探讨了选择控制点个数和位程的方法。一、刖 吕近来许多工程结构因采用高强度材料而导致结构重昴和刚度急剧降低，便结构在风裁和 地震激起的强烈振动下，其使用性能较差。若采用传统的抗振设计方法增加结构的刚度，又 会导致新材料的强度不能充分利用。这就促使人们去探讨主动控制技术在工程结构

2、领域的应 刖3。J.N.Yang应用古典控制理论研究过单点控制的均质悬梁C.R.Martin和T.T. Song提出通过极点配置设计结构振动控制系统的方法小。M.AbdebRohman和H.H. Leipholz建立了巨跨桥梁控制减振的力学模型，应用极点配置法确定控制规律，并且计算 出受控结构的动态响应最近，又有人应用二次型故优控制理论研究了简支梁受给定动 荷载时的主动控制减振问题。J.N.Yang是址早用故优控制理论探讨高层建筑随机振动 的主动控制的，他研究过剪切结构的锻优控制，并且计算了响应方羞。结果衷明，足够大旳 控制力可以使响应方差减小一个数竝级“）。上述文献虽然已经肯定主动控制技术的

3、减振效果，但对结构参数和优化目标与减振效果: 间的关系讨论得并不充分，挣别是对控制点的数冃和位置!j减扳效朵之河的关系没冇重视， 本文初步探讨了这些问题。首先用模态分析法建立了悬臂梁的状态方程。接着对单振型单垃 控制模型进行了解析研究，得到了若十定性结论。以此作为基础，应用数侑分析法研究了女 振型多点控制模型，通过:比絞多种控制方案的响应方圣，阐述了选择控制点个数和位駅的疗 干原则。二、数学模型和最优控制问题本文以悬梁作为受控对象，它町作为大型铁塔和钢烟囱等髙柔性结构的力学模型。按照 欧拉-伯努利理论，其运动方程为“）票+-e心）器卜去刀“一久）+仏，t） （ 1 ） 式中pAx为梁的线密度函

4、数，7（ X）为梁的抗弯刚度函数，心,为梁的弯曲 挠度函数，FQy-h为作用于x = h,点的集中橫力，/（x, f为分布荷载。一B给定梁的结构和口山-固定边界条件，通过求解特征值问题，即可求得各阶主频率 3和振型函数匕（ 现在工作单位为兵器工业滦杀址工程所） （： = 1, 2,）。若记主坐标为乙（/）,则町将挠度函数对成讥勺 f )二工 Y(x)Z (/)( 2 ) -1将上式代入式(1 ),并用yr(x) (r.l, 2,)乘式(1 )两侧，沿梁的全跨积分, 利川振型函数的正交性，即可导出主坐标的微分方程组LLZr + Q；Z,= j 乞- hY r(x)dx 4- j f(x9 t)Y

5、r(x)dx99r = l, 2,(3 )式中厶是梁的仝长。因外栽通常只能使前几阶振型强烈激发，故可取式(3 )中前儿个方 程作为悬臂梁的散数学模型。为便于分析，本文限于研究受平稳随机荷载的均质悬雅梁的控制减报，其工作原理示F 图1。在梁的某个截面按装测振仪，显测梁的运动状态。该信号经过控制器运算，被变换为 各个振型的主坐标及实对时间的导数。再经过放大后，被卅于驱动液压伺服机。液压伺服机 活寒与缆索的一鑑相连,缆索的另一端与梁上“仏点相连。通过活塞位移”，改变缆索张拉力, 实现振动控制。由于电液伺服机的惯性比悬臂梁的小得多，为便于计第可以忽略不讣。设第j组缆索的拉伸刚度系数为环仰角为妇则可舟贰

6、张拉力的横向分量表示为F,二2S/3S孙 u, (t) - 2 匕()乙 cos ( / = 1, 2,m) ( 4 )假设风载沿高度互不相关，故可表示为/(x, / )= p(x)w(/)(5)式屮3(f)是岛斯平稳随机过fih将以上二式代入式(3 ),且截取前儿个按型，则可得到运动方程组皿mZ , + 二工(Q -工) + “4(/)(厂=1, , n ) ( fi )灿常数bT = 2*cm0O()则可将运动方程芻成向竝矩阵形式Z +(P + J)Z= HU + Dw(/)( 7 )选择各振型的主坐标及其对时间的导数作为状态变殳，令夠=2）,”,大丙=2n%盼 = “, X2n = Z

7、*并由它们构成两个子向量X产兀X”,兀=0.| *,J,则可将方程（7）表示为.X = FXGU + Hw（t）式中X = （）, C = Q + A为了满足既能保证减振效果，又能节省控制能7的要求.采用二次型积分的数学期望作 为优化H标近函丿= lim迈；E- j （X9X + IPRU） d!（ 9 ）II式中权矩阵Q和/?分别表示对各振型报动强度和所需控制力的容忍程度，应按具体情况确定 它们的元素。至此,兹优控制被归纳为以方程（8 ）为约束条件便优化H标泛函丿取故小血 的“。三、确定最优控制和响应方差由式（9 ）确定的泛函J和卜式定义的泛函-7JE j （XTQX2RU） dt（ io）

8、具有相同的哈密尔帧函数。因此,利用动态规划导出的故优挖制应该与按（10）导出的幘化 控制U（f）完全相同。在此，立接援引最优控制理论的结来,作为破优控制的伺服机活塞 位移应为U(J2 -KX(t)(11 )式中K为常系数矩阵K = R-GP(12)对称方阵P是Riccati矩阵代数方程的解，即PF + FtP-PGR9P + Q = q(13)将式（11）代入式（8 ）,得到受控结构的闭环状态方程X = F -V + Hw(t)(H)式中闭环系数矩阵F=F-GK(15)为便于计算,假设叭f ）是方差为？的白噪声（若此假设不成立,w（O可看成是朮形滤波器对白噪声的响应。问題仍然可解。），然后,按

9、照式（M）导出下列矩阵方程?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved. hltp：/wFEXXr + E ArFr + HVHT = o(16)用上式能解出响应方差阵EXXT,进而按下式计算出作为控制量的活塞位移方差阵EUUr-KElXXT-Kr(17 )同时，可按下式计算优化目标泛函的值几“ =-|-Tr7Zr/7P = 几WD几2( 18 )式中丁江表示矩阵的迹，戸22是方阵戶的“X”维子阵。而由式(13)解出的方阵尸是 2x2n阶矩阵，巴2是它的右下角xn阶子阵。四、单

10、振型单点控制模型通过对单振型单点控制模型的解析研究，可以得到若干选择各类參数的定性原则。 (-)优控制律对于这种待殊借况，可以省去用标i和j,状态方程可写成(:;)=(一:鳥(:;)+(:)(19)式中，常数a = G)2 + 2scqs20Y1 ( A) , b = 2scos0F ( A ) 其中h为控制点高度。优化口标泛因()(0 1式屮,91. 92和厂是权因子。按照式(12),晟优反馈系数阵K =RGP = (- b.p“,-_b P(20)(21 )式中,方阵P满足Riccati方程(13)0对应于单振型单点控制模型，矩阵方程(13)的展 开式为(22 )如果缆索刚度足够小,671

11、成也 可以孕出下列近似等氏zq(宀字)5( 利用上式可以导出最优反馈系数k牛,人 2士(23 )(2 1)如果用无因次常数力和常嗷的乘积衣示权因子们和5的比也即令们=k叫 那么,提高h值就瑟味看加强对位移的限制和放宽対速度的限制。以下分别计算三个k值的最优反 馈系数:1. fe = 0，即对振动位移不加限制眈时,9| =0,令9t = g/a,可导出K讦冷）+以上结果表明，如果对振动位移无限制，那么，最优反馈信号中不应包含位移信号。2. k = 1 即对振动位移和速度均有限制此时，令=?： = fl9i = 9可导出 x; = -L A_, “（旦卩 2a r 92 ar J3. fe = o

12、o, JP对振动速度不加限制此时，g, = o,令qi = q,可导出心金半，心（洛广以上结果表明，即使不想限制振动速度，故优反馈信号中仍应包含速度信号。（二）主动控制的阻尼作用由闭环系数矩阵F可以导岀特征方程八y 2（。+ /荷卫匸+仲N2+瞥=o从而得到矢阻尼情况的甞征根(25)八，-；V鲁十事士 4- i莎怙-知考虑到式（23）求得与上述三种b值相应的特征值和阻尼比，分别为:1. /? = 0,/ q丄1/, 內a士 J 八 0 4 a* ar 2 y ar5需“严心長堆5-寫f/去士 j卜卜丿皿+警.5驚+|尸以上分析结旻表明：1 在未讣及结枸内阻尼的情况F,特征值都具有负实部，说明上

13、动控制系统提供了人工R1尼Q2阻尼比h和二都随g单调增长,其中,匕随g/值增加最快,J随g增上疑 So当g/r = 0俗时，“ =8。对于只有当g/r = oo时,fi = ooo对于J 无论g多 大，二不超过10。3当g值较小时，“、G和间的差别也小。(三) 振动响应和最优控制的方差将式(24 )代入式(16)和(17 ),即可求得振动响应和最优控制的方差的解析式(26)(27)(29)(28)?1994-2ftI7 China Academic Journal Electronic Publishing HouSd All rich Is reserved. hUp：仏沁 wcnkilWl

14、54?1994-2ftI7 China Academic Journal Electronic Publishing HouSd All rich Is reserved. hUp：仏沁 wcnkilWl54三种b值对应的方差分別为! A = 0E坊。士丄J(30)Vd1(31 )?1994-2ftI7 China Academic Journal Electronic Publishing HouSd All rich Is reserved. hUp：仏沁 wcnkilWl54?1994-2ftI7 China Academic Journal Electronic Publishing

15、HouSd All rich Is reserved. hUp：仏沁 wcnkilWl543启8、且g较小。(32 )I - + 2b?1994-2ftI7 China Academic Journal Electronic Publishing HouSd All rich Is reserved. hUp：仏沁 wcnkilWl540、1(34 )以上分析结果表明：1 振动响应方差和故优控制方差与随机荷载方差7成正比，这是可以预期的。2权因子g：和$2的相对值对方差有重要影响。如果在力=0和8时，令 q/r 而在时,令9/r = c/20那么,可使三种最优控制的心的方差相等，即下式成立可是

16、,三种最优控制的方差并不相同,由式(30). (31)和(32)可求得它们的相应值分别为:Vd2bfV：ui1 = r(/21a2bbe2a+ E”2”7d2! 2b + 8。2?199455017 China Academic Journal Electronic Publishing HouSd All rights reserved. hUp：/wwwxnkiJ10l0、1(34 )显然,以上三式表明EMLVE沪：因此,从节省控制力的观点出发，应取k =OftJj方案。事实匕这种最优控制的仝部控 制力都起阻尼力的作用。3方差E也随g增加而减小，方差fir随g増加而增儿因此，耍减小振动响

17、应方差，必须增加控制力。4由式(30)可以导岀和E心之间的关系式EWXdLMWEW】(33)而R,由于控制力F = bu,因此，结构本身刚度越低a値越小，要求控制力越人。至于缆绳 的刚度b,它只影响活塞位移，对控制力F的大小并没有影响。(四) 控制装置的参数选择对:单振型单点控制模型，结构参数a = 6)2 + 2$cos昭厂(人),b= 2$cos0F(力)如果缆索足够软，便少s,那么，s、和0对b的彩响比对。的影响更为显著前面已经棉 出，为了减小活塞行程，应取较大的b值。由此町导出选择参数s、和0的原则：缆索刚度s 应足够大；缆索和悬臂集的连接点应该尽虽I曲缆索和地面夹角最好取45。五、多

18、振型多点控制模型假设风栽为沿高度均匀分布的平稳白噪声，方差阵为单位阵，梁的结构參数取El/pA =1,缆索刚度$严01,缆索和地面夹用0产45,令优化冃标泛函中的权矩阵并且，仅取前四个振型。分別改变控制点数目和位置，作多种方案的对比计算，（一）改变控制点个数在悬僧梁顶端设置一个控制点，其它控制点沿高度均匀分布，分别令控制点数A = 1, ，6, if算前四个振型的方差和控制蜀方差，以及优化目标泛函丿mz将这些呈随巾变 化的规律表示于图2和图3中。从图中可见，响应方差和控制量方差好以及 /甸都随控制点个数增加而减小。特别是由单点控制变为两点控制效呆最血苦。逬步增加 控制点个数，则获益越来越小。图

19、3 IZ?199455017 China Academic Journal Electronic Publishing HouSd All rights reserved. hUp：/wwwxnkiJ10l（二）改变控制点的位对于单点控制模型，由于各振型函数的最大值都在悬臂梁顶端，因而控制点应选在顶 端。对于两点控制模型，除在顶端设一控制点外，将悬臂梁沿髙度分为30等分，另一控制虑 则分别设在这些均分点上，然后分别计算各种设置点时的门、时和几值，其 结果表示于图4。该图表明，最佳方案为人/厶= 23/30,免/厶= 30/30。可是，如果人满足 条件20/30仏/厶V27/30,丿狈的变化不超

20、过4%。由此可见，第一控制戍可在离顶端不远 的较大范围内变化。对于三点控制的模型，除在顶端按一个控制点外，将另外两个控制点选在上述诸等分戌 上，进行不同方案的数值计算。结果表明,最佳方案是仏/厶=20/30A/厶= 26/30, A3/L = 30/30。如果将控制点沿梁跨均布，即令儿/厶=10/30, A2/A = 20/30, Aa/L = 30/30,二者 的丿“值相差67%。.可以预料，随着控制点数目增加，最佳方案和控制点均布方案的差别 还要减小。六、结 论一）单振型单点控制模型的解析结果表明，主动控制可以提供人工阻尼和附加刚度。 如果仅限制振动速度，即按式（34）确定权矩阵Q和尺，那

21、么，最优控制力全部起阻尼佢 用。此冲方案对控制力的需求绘小。（二）主动控制能够显茗地抑制悬臂梁的随机振动，但要求有足够的控制力控制力的 方差和结构方龙成反比（在响应方差恒定条件下），因此，为使控制力不过分大，结构本片 的刚度不应过小。（三）增加控制点的数目，可以提高减振效果。特別是将单点控制改为两点控制后取潯 的效益最显著。（四）当控制点数目超过三时，可以采用均匀分布控制点的方案，不必寻找最优控制戍 位賈。因为这两种方案的响应方差和控制量方差相茏不大。（五）采用图1所示控制方案时,缆索和地面夹角切最好取45。此外,适当增加缆索 刚度对减振有利。然而，缆索过分重，就需耍考虑它的质竝。这时，系统的

22、数学模型应予改 变，对此还需要进行专门的研究。釜考文献1 王照林等编著：现代控制理论基础，国防工业出版社，1981年。2 A.P3 A.E.Bryson Jr4 Zuk, N: Kinetic Structure, Civil Enge ASCEf Vol.38, Xo6 J.N. Yang Active Tcndom Control of Structure, J. Eng. Meeh. Div., ASCE, Volel04, No.EM-3, 1978.7 j C.ReMartin, T.T.Song, Modal Control of Multistory Structure, J.

23、Eng. Meeh. Div., ASCE, Volu04, No.EM-3, 1978.8 M.Abdel-Rohman, H.H.Leipholz： Structure Control by Pole Assignment Method, J. Eng. Meeh. Div., ASCE, Vol.104, No.EM-5, 1978.9 J.N.Yang： Application of Optimal Control Theory to Civil Engineering Structure, J. Eng. Meeh. Div“ ASCE, VoLioi, No.EM-6, 19751

24、0 NLAbdcl-Rohman, HJLLeipholz： Optimal Control of Civil Engineering Structure, J. Eng. Meeh. Div., ASCE, V0L1O6, NoEM-b 1980#11 LtMeirovilch. Element of Vibration Analysis, 1975.Optimal Control of Random Vibration of Cantilever BeamYue VVenbai, Ding Wenjing Qinghua University ）AbstractIn this paper,

25、 the state equation of controiled elastic cantilever beam was derived with the mode analysis technique. The single control point model of single degree of freedom vibration mode was studied and the analytical relation betwccn the variances of state variables and structure parameters was obtained. Finally, the multiple control points model for multiple degree of freedom vibration modes was analyzed by numerical niclhod and the sclcclion of number of contro