BB平面与直线PPT教学课件

1、1zyxo0Mn一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程),(0000zyxM设一平面通过已知点且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,),(zyxM任取点),(000zzyyxx法向量.量, ),(CBAn MMn000MMnMM0则有 故的为平面称n平面上任一向量均与n垂直。因为过空间内一点作与已知向量垂直的平面是唯一的，所以已知平面上的一点及垂直于平面的一个向量，那么这个平面的位置就完全确定。第1页/共49页2.1, 9 ,14)4 , 1, 2(0的平面方程且垂直于向量求过点nM:解由点法式得0419214)()()(zyx015

2、914zyx在平面上任取一点zyxM,例例1 1第2页/共49页3kji例例2.2.求过三点求过三点,3M又) 1,9,14(0)3()2(914zyx015914zyx即1M2M3M解: 取该平面 的法向量为),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程346231n3121MMMM注：1.一平面的法向量有无穷多个,且相互平行.2.平面方程是以zyx,为变量的三元一次方程.n第3页/共49页4二、平面的一般方程二、平面的一般方程 将平面的点法式方程此方程称为0DzCyBxA0)()()(000zzCyyBxxA)(000zCyBxAD

3、显然方程与点法式方程等价, )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的图形是法向量为 平面的一般方程.展开得0)(000zCyBxACzyBxA令方程中zyx,的系数构成该平面的法向量CBA,. n得平面方程第4页/共49页5特殊情形特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)

4、0(222CBA平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0(iCBn第5页/共49页6例例1. 求通过求通过 x 轴和点轴和点( 4, 3, 1) 的平的平面方程面方程.解:因平面通过 x 轴 ,0 DA故设所求平面方程为0zCyB代入已知点) 1,3,4(得BC3化简,得所求平面方程03 zy例2. 求过点M ( 1, 0, 5) 且与xoy面平行的平面方程.解:由题意设所求平面为0 DzC将已知点 M(1 ,0 ,5)代入0)5(5ZCCD0C所求平面为5z) 1 , 0 , 0(n第6页/共4

5、9页7)5,15,10(0) 1() 1(3) 1(2zyx0632zyx例例3求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程.) 1 , 1 , 1 (7zyx051223zyx解: 已知二平面的法向量为取所求平面的法向量 则所求平面方程为化简得),1, 1, 1 (1n)12,2,3(2n21nnn)1,3,2(5第7页/共49页8), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP得：例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.PozyxRQ三、平面的截距式方三、平面的截距式方程程当平面与三坐标轴的交点分别为则cba,就分别称为平面在zyx,轴上的截距。将已知点), 0 ,

6、0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP分别代入0DzCyBxAcDCbDBaDADCcDBbDAa000第8页/共49页9得到得到1czbyax)0,(cba平面方程的截距式方程为 00DDzcDybDxaD轴上的截距x轴上的截距y轴上的截距z第9页/共49页10例如：例如：01052:zyx其对应的截距式方程为：12105:zyx例4： 已知一平面过点（1，0，3），且在三个轴上的截距之比为3:2:1:cba求此平面方程。解：设所求方程为：1czbyaxacabcba3,23:2:1:又知平面过点（1，0，3）于是有133201aaa6, 4, 2cba所求平面方程为：16

7、42zyx第10页/共49页114 4、两平面的夹角、两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 注：取绝对值是表示为锐角时cos的值。第11页/共49页122特别有下列结论：特别有下列结论：21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn

8、2n1n2n1n第12页/共49页13例例5：求两平求两平面面的夹角和08311xyx解：)0, 0, 3()0, 1, 1 (21nn2121cosnnnn 223234.由公式得：所以两平面的夹角为：第13页/共49页14例例6. 一平面通过两点一平面通过两点垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解: 已知平面的法向量为的法向量垂直，) 1, 1, 2(所求平面为0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和所求平面上, ) 1 , 1 , 1 (1n且)2, 0 , 1(21MM和, ) 1 , 1 , 1 (1n与所求平

9、面的kji111201121nMMn第14页/共49页15因此有例例6. 一平面通过两点一平面通过两点垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解: 设所求平面的法向量为,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC约去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和则所求平面故, ),(CBAn方程为 n21MMn且第15页/共49页16外一点,求),(0000zyxP0DzCyBxA五、点到平面的距离五、点到平面的距离222101

10、010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解:设平面法向量为),(1111zyxP在平面上取一点是平面到平面的距离d .0P,则P0 到平面的距离为01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (点到平面的距离公式)例7. 设第16页/共49页17的距离到平面求点01) 1 , 1 , 2(zyx:解311111) 1(1121222）（d例例8 8222000CBADzCyBxAd第17页/共49页18例例9：求两平行平面之间的距离，其中求两平行平面之间的距离，其中35623: 1zyx56623: 2zyx解：在其中一

11、平面上任取一点，则该点到另一平面的距离即为所求的距离。在1上取一点,635, 0, 00P:20为的距离到dP3721623566356222d。的距离为到平面321第18页/共49页19说明：说明：求两平行平面之间的距离，其求两平行平面之间的距离，其中中01: 1DzCyBxA解：在其中一平面上任取一点，则该点到另一平面的距离即为所求的距离。在1上取一点,0000zyxP:20为的距离到dP:21的距离为到平面02: 2DCzByAx2222000CBADzCyBxAd1000: 1DCzByAx22212CBADDd第19页/共49页20主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学高等数学 第

12、十七讲第20页/共49页21二、空间直线方程二、空间直线方程1. 直线的一般式方程 xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此直线的一般式方程直线可视为两平面交线，设(不唯一)0:11111DzCyBxA0:22222DzCyBxA直线 L上的任一点),(zyxM应同时满足这两个平面方程。第21页/共49页22通过空间直线通过空间直线L的平面有无穷多的平面有无穷多个个，其中任意两个平面的方程联立而得到的方程组均可以表示同一直线L，因此直线L的方程不是唯一的。例如：坐标面方程组0 x和0y都通过z轴，因此0 x0y是z轴的一般式方程。而平面0 yx和0 yx也通过z轴

13、，因此方程组0 yx0 yx轴的一般式方程。也是z第22页/共49页232. 直线的点向式及两点式直线的点向式及两点式方程方程由立体几何知道，过空间内一点作平行与已知直线的直线是唯一的。因此，若知道直线上的一点及与已知直线平行的某一向量。那么该直线的位置就完全确定了。由此可建立直线方程。凡是与直线平行的非零向量都称为直线的方向一条直线的方向向量有无穷多个，向量。它们是相互平行的。任一方向向量的坐标称为直线的一组方向数。由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行与已知向量，所以当已知直线L上一点),(0000zyxM和它的一方向向量pnmS,直线L的位置就完全确定了。第23页/共49页24建立直线

14、建立直线 L L 的点向式方的点向式方程程),(0000zyxM故有mxx0设直线上的动点为 则),(zyxMnyy0pzz0此式称为直线的点向式方程(也称为对称式方程)s已知直线上一点),(0000zyxM),(zyxM和它的方向向量 , ),(pnms sMM/0此方程中实际包含了两个平面方程nyy0mxx0mxx0pzz0方程组中两个方程均为一次的平面方程第24页/共49页25说明说明: : 某些分母为零时某些分母为零时, , 其分子也理解为其分子也理解为零零. .00yyxx直线方程为例如, 当,0, 0时pnm,0, 0, 0时pnm直线方程为当00 xxpzz0nyy0根据空间任两

15、点可以唯一地确定一条直线设直线 L上两个已知点),(0000zyxM),(1111zyxM),(/01010110zzyyxxMMS空间直线的两点式方程：010 xxxx010yyyy010zzzz),(00yx第25页/共49页263. 直线的直线的参数式方程参数式方程设得直线L的参数式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0t为参变量注意：空间直线的方程都是方程组形式。空间平面方程是一个一次代数方程，两者不同，不能混淆！第26页/共49页27例例1 1. .用对称式及参数式表示直线用对称式及参数式表示直线解:先在直线上找一点.043201 zyxzyx632zyzy

16、再求直线的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns第27页/共49页28故所给直线的对称式方程为参数式方程为tztytx32 41t41x1y32z解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.)3, 1,4(21nns312111kji第28页/共49页29例例2：一直线一直线L通过通过点点,1, 0 , 20M且垂直于yoz坐标面。求L的方程。解： 因为L垂直于yoz坐标面，所以yoz坐标面的法向量就直线L的方向向量。而x轴上的基本单位向量0

17、, 0 , 1i是yoz坐标面的法向量。0 , 0 , 1iS所求直线L的方程：01012zyx第29页/共49页30例例3：求经过点求经过点,1 , 1, 10M且与直线L1：平行的直线L 的方程。0923042zyxzyx解：1/LL故L1的方向向量S也是直线L的方向向量2, 1, 31 , 4, 2211nnL中21314221kjinnS,10, 7 , 91017191:zyxL注：该题即为求过一已知点且与两已知平面的交线平行的直线方程。第30页/共49页312L1L则两直线夹角 满足21, LL设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为212121ppn

18、nmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s4. 两直线间的位置关系两直线间的位置关系 第31页/共49页32特别有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss第32页/共49页33例例4.4. 求以下两直线的夹求以下两直线的夹角角解: 直线直线二直线夹角 的余弦为13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22从而4的方向向量为1L的方向向量为2L) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (

19、1s2010112kjis 第33页/共49页34当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;L三三. 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足.2222222CBApnmpCnBmA直线和它在平面上的投影直),(pnms ),(CBAn ),(2sin(sinnsnsns sn),cos(ns第34页/共49页35特别有:L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns解: 取已知平面的法向量421zyx则直线的对称式方程为0432zyx直的直线方程. 为所求直线的方向向量.

20、132垂 ) 1,3,2(nn例例1. 求过点求过点(1,2 , 4) 且与且与平面平面第35页/共49页36例例2;求直求直线线012:zyyxL与平面01:zyx的夹角的正弦。解：L的一个方向向量110012kjiS2, 2, 1 1 , 1 , 1n中法向量则它们的夹角正弦为：sin331222221111212111nsns 第36页/共49页37例例3：求过直求过直线线211111:zyxL与平面0153:zyx的交点，且垂直于此平面的直线方程。解：L的参数方程：1211tztytx相交，则与L000,zyx交点坐标为将L的参数方程代入已知的平面方程中得：015) 12(3) 1()

21、 1(ttt2t再代入L的参数方程中得：533000zyx所求的直线L垂直于已知平面，则L中)3, 1 , 1 (/nS故所求直线L的方程为：351313:zyxL第37页/共49页383.平面束方程平面束方程(1) 过直线00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程0,21不全为12xAA2211yBB221102211DDzCC2211第38页/共49页39例例4. 求过直线求过直线L:0405zxzyxzyx84 且与平面4夹成角的平面方程.提示:过直线 L 的平面束方程0)4(5zxzyx其法向量为已知平面的法向

22、量为选择使43. 012720zyx从而得所求平面方程n1n4012 114cosnnnn.1,5,11nL8,4, 1n04)1 (5)1 (zyx即第39页/共49页40内容小结内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0(abc第40页/共49页410212121CCBBAA212121CCBBAA2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA),(1111CBAn 第41页/共49页423. 空间直线方空间直线方程程一般式对称式参数式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm第42页/共49页43,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppn