圆锥曲线的统一焦半径公式在解题中的应用

1、圆锥曲线的统一焦半径公式在解题中的应用宜昌二中黄群星我们在解决有关直线与圆锥曲线的关系问题时，经常会用到焦半径公式。解决这类问题,我们可以用到的公式有： 平面上两点之间的距离公式， 弦长公式，三种圆锥曲线的焦半径公 式，和圆锥曲线的统一焦半径公式。 最后一个公式往往被大家无视， 现在我想专门谈谈这个 公式的使用。一.在椭圆中的运用：1(a0的离心率为3，过右焦点2F且斜率为k 0的直uuir线与C相交与A,B两点，假设AFuui3FB,求k的值。解法设椭圆的方程为x24b22春11右焦点为3b,0,设直线的方程为myx 3，设 A(xi, yJB(X2, y2)x2 4y2 4b20my x

2、3b(m2 4)y2 2_3mby b 0uuiuuuu/ AF 3FB(、3b xi，yj3(X2、3b, y?)yi3y2yi y22、3mb(m2 4)yi y22b(m2 4)yi将带入得y2.3mb2m 43、3mbm 4- yi y22 229m2b2bm2 4 (m2 4)k0, m0, m解法uuuuuuuuAF3FB由题意得epT1T1 cos231Wos2costa n、2 即 k评述：解法二应用了圆锥曲线的统一焦半径公式，从而大大简化了解题的过程。那么, 在什么情况下可以用这个公式呢先看这个公式的结构：PF，其中，e是离心率，P为焦准距，是过焦点1 ecos的直线的倾斜角

3、，正是由于倾斜角的存在， 使得这个公式在解决有关过焦点的直线的斜率和 倾斜角的问题时相当便捷，而且，公式是根据圆锥曲线的统一定义推导出来，对椭圆，双曲线和抛物线都适用，这是它的一大优越之处。二.在双曲线中的运用：uuu urn例2:双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1,l2，经过右焦点F垂直于li的直线分别交l2于A,B两点，OA,AB,OB成等差数列，且BF,FA同向解:求双曲线的离心率设直线AB被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程。OA OA=a , v OF平分角/ AOB 1OB如图/ FA=b,OF=c,AFBF设 FB=mb,OB=r0 ,那么有 2

4、ABOAOB即 2(m 1)b a ma ba设直线AB的倾斜角为.52p一552cosepep有6,c3,5, b双曲线的方程为x2式在运用起来又很多不方便，而统一焦半径公式正好巧妙的解决了这一问题。三在抛物线中的使用：例3:平面上一点 P到点F 1,0 的距离与它到直线 x=3的距离之和为4，求点P的轨迹方程 过A的直线与轨迹 C交与MN两点，求 MN得最大值解：设P x,y,由题意得 JX 12y2X 34当 x 3 时，.(x 1)2 y2 x 3 4,(x 1)2 y2 7 xy212(x 4)当x 3时,、(x 1)2y2 3(x 1)24x点P的轨迹方程为12(x4)(34)(P

5、=2)2y 4x(0 x 3)(P=6)0,600时，MNMFMFFN261cos1cosMFFN261cos1cosFN21 cos61 cos(600,1200)时，MN1200,1800)时，MN81 cos4.2sin81 cosMN81 cos42sin81 cos0 0 r8160 ,60 时MNA1312(600,1200)时4MN1631200,1800)时MN163当当当O0,6O0(6O0,12O0)12O0,18O0)16综上，当6O0或12O0时，| MN|有最大值一3评述：这个题目涉及到两条抛物线，而要求的弦长不一定是来自于直线和同一条抛物线的交点，另外，开口向右的那条抛物线又不是标准方程，所以要用坐标形式的焦半径公式可 谓困难重重，而统一焦半径公式用的参变量与位置无关，所以这个问题它同样迎刃而解。有时候，一个问题能否解决，解决的速度，解决