BB二重积分在直角坐标系的计算PPT教学课件

1、1xbad 曲顶柱体体积的计算曲顶柱体体积的计算设曲顶柱体的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体积为DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xDdxxAdV0截柱体对应薄片的体积： yyxfxxd),()()(21badx),(yxfz 第1页/共20页2ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同样, 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),(

2、)()(21xyxfyyd),()()(21dcyd第2页/共20页3一、利用直角坐标计算二重积一、利用直角坐标计算二重积分分且在D上连续时, 0),(yxf当被积函数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X 型区域 则)(1xy)(2xyxboyDax若D为Y 型区域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(则第3页/共20页4计算二重积分的步骤：计算二重积分的步骤：一、 画积分域 D 二、选择积分次序三、定积分限四、计算若D

3、为 X 型区域 bxaxyxD)()(:21若D为Y 型区域dycyxyD)()(:21左右夹，从下向上穿上下夹，从左向右穿计算二重积分的基本思想将其化成两次定积分来计算。定内限域中一线穿定外限域边两线夹（是常数）第4页/共20页5oxy说明说明: (1) 若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型型区域区域 , Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干1D2D3DX

4、-型域或Y-型域 , 321DDDD则 第5页/共20页6xy211xy o221d y例例1. 计计算算,dDyxI其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. x解法1. 将D看作X型区域, 则:DI21dxxyyd21d 21x213d21xxx8912xyx解法2. 将D看作Y型区域, 则:DIxxd21d yyyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y第6页/共20页7例例2. 计算计算,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域. 解: 求交点:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12

5、612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线则 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,22xyxy11yx022 yy24yx0)2)(1(yy第7页/共20页8例例3. 计计算算,ddsinDyxxx其中D 是直线 ,0,yxy所围成的闭区域.oxyDxxy 解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.第8页/共20页9注：注：本题计算中若先本题计算中若先对对y后对x

6、积分;10122xyydexdxDyydxdexI22101:xyxD由于2ye的原函数不能用初等函数来表示，则本题只能采用先对y后对x积分。例4 计算DyydxdexI22其中 D 是由直线01xyxy所围成。D第9页/共20页10例例4 计计算算DyydxdexI22其中 D 是由直线01xyxy所围成。解：画域100:yyxD10022yyxdxydeI1003|312ydxeyy103231ydyey1022)(612ydeyy|6110210222ydeeyyy16111ee12161eD102261yedy第10页/共20页11例例5 计算计算xdxydIy1310sin解: 由被

7、积函数可知,因此取D 为X 型域 :2010:xyxD先对 x 积分不行, 110:xyyD2xy ydxdxIx20103sinxdxx2103sin3103sin31xdx01cos313x) 1cos0(cos31) 1cos1 (311D2xy 1yxo第11页/共20页12例例6. 交换下列积分顺序交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解: 积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD将:D视为Y型区域 , 则282yxy20 yDyxyxfIdd),(28

8、2d),(yyxyxf20dy第12页/共20页13交换二次积分的积分次序的步交换二次积分的积分次序的步骤：骤：1、根据已给的二次积分的积分限用不等式表示区域D，并画出D的图形。2、根据D的图形将D用另一种表达式来表示，以确定改变积分次序后的积分限。把所给的二次积分化成另一种二次积分。第13页/共20页14例例7: 计算计算dxyID21011:yxD解: 先画D域由:2xy 将D域分为D1和D2111:21yxxD22011:xyxD2122DDdyxdxyI1511111 xyo2D1D第14页/共20页15例例8. 计计算算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy

9、所围成.oyx124xyxy32D1D1x解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224第15页/共20页16内容小结内容小结(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形 : 若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD第16页/共20页17(3) 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 确定积分序 写出积分限 计算要简便积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式( 先积一条线, 后扫积分域 )充分利用对称性应用换元公式（两边夹，一线穿）第17页/共20页18作业作业P487 1 (2); 2 (2), (3); 3 (2), (3),(4),(5); 4 (2), (3) ,(4); 5第18页/共20页19思考与练习思考与练习1. 设, 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx提示:交