BBD二阶常系数非齐次PPT教学课件

1、1一、一、型)()(xPxfm02qprr特征方程项方程中含 y. 10021rr xQym*)0( q项方程中不含 y. 2)0( q0021rr xQxym*项方程中不含yy,. 3021rr)0(qp xQxym2*令：令：令：其中 mmmmmbxbxbxbxQy22110* xQm是 x 的 m多项式第1页/共22页2例例1.1332 xyyy求方程的通解.解: 先求Y特征方程为,0322rr设所求特解为,*BAxy代入方程 :13233xABAx比较系数, 得33 A132BA31,1BA于是所求特解为.31*xy,0)3(1rr,3121rr对应齐次方程的通解为：xxececY32

2、1再求 y*,通解为*yYyxxecec321.31 x第2页/共22页3例例2：132 xyy求方程的通解解: 先求Y特征方程为,022 rr设所求特解为,*BAxy,0)2(rr,2021rr对应齐次方程的通解为：xeccY221再求 y*,代入方程整理得 :1320 xAx矛盾！问题是 y* 所设，本题与例1的区别在于题中缺 y 项。BAxxy*BxAx 2设BxAy2*Ay2* 01r第3页/共22页4将将代入原方程比较系数, 得34 A122 BA45,43BA于是所求特解为.4543*2xxy通解为*yYy*,* yyxecc221.45432xx 若有初始条件1000 xxyy求

3、特解4523222xecyx将初始条件代入整理得210cc 45212 c898921cc特解为) 1(892xey.45432xx 第4页/共22页5例例3：3264 xyyy求方程的通解解: 先求Y特征方程为,0642 rr设所求特解为,*BAxy代入方程 :26A364BA32,31BA于是所求特解为. )2(31*xy,02)2(2rir222, 1对应齐次方程的通解为：)2sin2cos(212xcxceYx再求 y*,通解为*yYy第5页/共22页6)(xQex )()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx二、二、 型)()(xPexfmx 为实数 ,)(xPm设特解为, )(

4、*xQeyx其中 为待定多项式 , )(xQ )()(*xQxQeyx )()(2)(*2xQxQxQeyx 代入原方程 , 得 )(xQ (1) 若 不是特征方程的根, , 02qp即则取),(xQm从而得到特解形式为. )(*xQeymx)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为 m 次多项式 .Q (x) 为 m 次待定系数多项式第6页/共22页7(2) 若 是特征方程的单根 , , 02qp,02 p)(xQ则为m 次多项式,故特解形式为xmexQxy)(*(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xQ 则是 m 次多项式,故特解形式为xmexQxy)(*2小结对

5、方程,)2, 1, 0()(*kexQxyxmk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解第7页/共22页8例例1：xeyyy2534 求方程的通解。解: 先求Y特征方程为,0342 rr设所求特解为xAey2*代入方程 :xxeeAAA225)384(比较系数, 得5 A5A于是所求特解为.5*2xey,0)3(1rr,3121rr对应齐次方程的通解为：xxececY321再求 y*,通解为*yYyxxxeecec23215第8页/共22页9例例2. xeyyy3534 求方程的通解. 解: 本题

6、特征方程为,0342 rr其根为对应齐次方程的通解为xxeCeCY321设非齐次方程特解为xexAy3*25A特解为.*325xexy 3, 121rr代入方程比较系数, 得所求通解为xxexCeCy321)25(, 3若设非齐次方程特解为xeAy3*代入方程比较系数, 得50 矛盾xxeeAAA335)3129(031rr第9页/共22页10例例3. 求方程求方程xexyyy265 的通解. 解: 本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxeCeCY3221设非齐次方程特解为xebxbxy210)(*比较系数 , 得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.)121

7、(*2xexxy3,221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxeCeCy3221.)21(22xexx ,2第10页/共22页11例例4 求满足求满足xexyyy396 且在原点处与直线xy 相切的曲线表达式。解: 先求Y特征方程为,0962 rr设所求特解为xeBAxxy32)(*代入方程整理得 :xBAx26比较系数, 得61A0B于是所求特解为.6*33xexy ,032r,321rrxexccY321)(再求 y*,通解为*yYyxexxcc3321)6(对应齐次方程的通解为第11页/共22页12由题意可得初始条件由题意可得初始条件：1000 xxyyxexxccy3321

8、)6(00 xy代入01c10 xy代入xexcxxcy32232)2123(12c所求曲线方程为：xexxy33)6( 例4：求满足xexyyy396 且在原点处与直线xy 相切的曲线表达式。xexxccy3321)6(第12页/共22页13可以证明可以证明型xBxAexfxsincos)(具有如下形式的特解)sincos(*xbxaexyxk其中 a , b 为待定系数。 k 的取法规则是： ir2, 1取0kir2, 1取1k对应齐次方程的特征方程的特征根02qrpr上述结论也可推广到高阶方程的情形. 三、型xBxAexfxsincos)(其中0,BA均为常数。第13页/共22页14例例

9、1 求微分方求微分方程程xeyyyxcos23 的通解此方程对应的齐次方程023 yyy的特征方程0232 rr0)2)(1(rr特征根2121rrii1设)sincos(*xbxaeyxsin)(cos)(*xbaxbaeyx)sincos(2*xaxbeyx将*,yyy代入原方程，整理后并约去非零因式.xe对应的齐次方程的通解xxecec221解第14页/共22页15比较两端的同类项系数，比较两端的同类项系数，得得1505baba101101ba方程的特解)sin(cos101*xxeyx方程的通解*yy得xxbaxbacoscos5sin5xxecec221)sin(cos101xxex

10、第15页/共22页16例例2. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解: 特征方程为, 092r其根为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数, 得,5a,3b因此特解为)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为第16页/共22页17.2sin52. 1xyyy 例例3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解特征根:ir212, 1齐次方程通

11、解:)2sin2cos(21xCxCeYx令非齐次方程特解为xBxAy2sin2cos*代入方程可得174171,BA原方程通解为xx2sin2cos174171)2sin2cos(21xCxCeyx解特征方程0522 rrii2第17页/共22页18例例4.,)(二阶导数连续设xf且满足方程xtdtftxxxf0)()(sin)(. )(xf求提示: ,)()(sin)(00 xxtdtfttdtfxxxf则xxfcos)()(sin)(xfxxf xtdtf0)()(xfx)(xfx问题化为解初值问题:xxfxfsin)()( ,0)0(f1)0( f最后求得xxxxfcos2sin21)(第18页/共22页19例例5 求求xyy2cos4 的通解解：xx2cos2121cos2xyy2cos21214 042rir2xcxcY2sin2cos21xyy2cos214 214 yy由81*1y由iir 2设)2sin2cos(*2xBxAxy代入上式整理得：xxAxB2cos212sin42cos4810BAxxy2sin8*2通解：*21yyYyxxcxc2sin82cos8121第19页/共22页20内容小结内容小结xmexPyqypy)(. 1 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xm