方差比例问题

1、总体方差及比例的推断统计总体方差及比例的推断统计 有关样本方差的抽样分布有关样本方差的抽样分布 2分布分布用于单样本方差的抽样分布用于单样本方差的抽样分布 f 分布分布用于两个样本方差的抽样分布用于两个样本方差的抽样分布2分布的定义分布的定义 设随机变量设随机变量x1，x2，xn相互独立，且相互独立，且都服从标准正态分布，则称随机变量都服从标准正态分布，则称随机变量 服从自由度服从自由度df为为n的的2分布，记作分布，记作niinxxxx12222212.22n2分布图分布图2分布分布 2分布的概率密度函数为（分布的概率密度函数为（n为自由度）为自由度） 2有以下特点：有以下特点： 2分布呈正

2、偏态，右侧无限延伸，但永不与基线相交；分布呈正偏态，右侧无限延伸，但永不与基线相交； 2分布随自由度的变化而形成一簇分布形态；分布随自由度的变化而形成一簇分布形态； 2分布具有可加性。分布具有可加性。 自由度越大，自由度越大， 2分布形态趋于正态分布，即分布形态趋于正态分布，即2 n(n, 2n) )0(0)0(21)(12222xxxexfnxnn单样本方差的抽样分布单样本方差的抽样分布 设（设（x1，x2，xn）是抽自正态分布）是抽自正态分布总体总体xn(,2)的一个容量为的一个容量为n的简单随的简单随机样本，则机样本，则2122212) 1()(nniisnxx例题例题 某灯具厂的灯泡的

3、使用寿命服从正态分某灯具厂的灯泡的使用寿命服从正态分布，总体方差为布，总体方差为5626，问随机抽取的，问随机抽取的40只灯泡的只灯泡的s值介于值介于70和和80小时之间的概率小时之间的概率是多少？。是多少？。 chi-square: (44.365, 33.967) p: (.25578, .69845)f 分布的定义分布的定义 若若 且且x1与与x2相互独立，则相互独立，则称随机变量称随机变量所服从的分布为所服从的分布为f分布，（分布，（n1，n2）为）为f分分布的自由度，记为布的自由度，记为211nx222nx2211/nxnxf ),(221121/nnfnxnxf f分布分布 若从方

4、差相同的两个正态总体中，随机若从方差相同的两个正态总体中，随机抽取两个独立样本，以此为基础，分别抽取两个独立样本，以此为基础，分别求出两个相应总体方差的估计值，这两求出两个相应总体方差的估计值，这两个总体方差估计值的比值称为个总体方差估计值的比值称为f比值，比值，f比值的抽样分布称为比值的抽样分布称为f分布。分布。f分布的形分布的形态随态随f比值分子和分母中自由度的变化而比值分子和分母中自由度的变化而形成一簇正偏态分布。形成一簇正偏态分布。f分布分布 f 分布的密度函数分布的密度函数)0(0)0()1 ()()2()2(2/ )()(2211221212121211xxxnnxnnnnnnnn

5、xfnnnf 分布图分布图f分布的数学期望与方差分布的数学期望与方差2)(22nnxe)4()2()2(2)(22212122nnnnnnxd双样本方差的抽样分布双样本方差的抽样分布 若（若（x1，x2，xn1）是独立地抽自总）是独立地抽自总体体x1n(1，12)的一个容量为的一个容量为n1的样本，的样本，（y1，y2，yn2）是独立地抽自总体）是独立地抽自总体x2n(2，22)的一个容量为的一个容量为n2的样本，的样本， 当当12时，统计量时，统计量)1, 1(222122222212121121) 1/() 1() 1/() 1(nnfssnsnnsnf样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布

6、 设总体中具有某种特征的单位占全部单位的设总体中具有某种特征的单位占全部单位的比例称为总体比例，记作比例称为总体比例，记作p； 样本中具有该种特征的单位占全部单位的比样本中具有该种特征的单位占全部单位的比例称为样本比例，记作例称为样本比例，记作p。 当样本容量为当样本容量为n时，样本中具有该种特征的时，样本中具有该种特征的单位数单位数x服从二项分布，样本比例服从二项分布，样本比例p也服从也服从二项分布。而且对于二项分布。而且对于p，有，有 e(p)=e(x/n)=e(x)/n=p d(p)=d(x/n)=d(x)/n2= p(1- p)/n 在大样本情况下，若在大样本情况下，若np5、n(1-

7、p)5，则，则 pn(p, p(1- p)/n)样本比例之差的抽样分布样本比例之差的抽样分布 设有两个独立的样本，第一个样本比例设有两个独立的样本，第一个样本比例p1来自正态总体来自正态总体n(p1, p1q1/n1)，第二个样，第二个样本比例本比例p2来自正态总体来自正态总体n(p2, p2q2/n2)，则，则 p1 - p2 n (p1-p2, (p1q1/n)+(p2q2/n2)2221112121) 1 ( ) 1 ( )() (nppnppppppz正态总体方差的区间估计正态总体方差的区间估计待估待估参数参数已知条件已知条件置信区间置信区间备注备注 xn(,2) 自由度自由度df=n

8、-121,21221,22) 1(,) 1(nnsnsn例题例题 某厂抽取某厂抽取40只某型灯泡，测得其平均使只某型灯泡，测得其平均使用寿命为用寿命为4800小时，小时，s=300小时。试以小时。试以95%的置信水平估计该型灯泡的方差及的置信水平估计该型灯泡的方差及标准差。标准差。 (60392.29,148389.28) (245.75, 385.21)总体比率的区间估计总体比率的区间估计 在大样本情况下，在大样本情况下， 总体比率的置信区间为总体比率的置信区间为)1 , 0() 1 ( 2nnppppz1) 1 ( ) 1 ( 22nppzppnppzpp总体比率之差的区间估计总体比率之差

9、的区间估计 在大样本的情况下在大样本的情况下 总体比率的置信区间总体比率的置信区间1) 1 ( ) 1 ( ) () 1 ( ) 1 ( ) (22211122121222111221nppnppzppppnppnppzppp2221112121) 1 ( ) 1 ( )() (nppnppppppz例题例题 某校在某校在2500名学生中随机调查了名学生中随机调查了200名学名学生，发现他们平均每天体锻不少于生，发现他们平均每天体锻不少于1小时小时的学生有的学生有72人。试以人。试以95%的置信水平估的置信水平估计全校学生每天体锻不少于计全校学生每天体锻不少于1小时的比例。小时的比例。 (0.

10、296, 0.424)例题例题 两个牙膏厂生产两种不同的药物牙膏。两个牙膏厂生产两种不同的药物牙膏。对使用对使用a厂牙膏的厂牙膏的350人及使用人及使用b厂牙膏厂牙膏的的325人分别进行调查。发现在使用人分别进行调查。发现在使用a厂厂牙膏的牙膏的350人中人中105人效果明显，在使用人效果明显，在使用b厂牙膏的厂牙膏的325人中人中130人效果明显。试估人效果明显。试估计两个厂牙膏效果明显者所占比例之差。计两个厂牙膏效果明显者所占比例之差。置信水平为置信水平为0.95。 (-0.172, -0.028)总体方差的假设检验总体方差的假设检验已知条件已知条件假设假设检验统计量检验统计量h0的拒绝域

11、的拒绝域xn(,2) h0:202h1:202df=n-122/2,n-1221-/2,n-1h0: 202h1: 202221-,n-1h0: 20h1: 20222,n-1222) 1(sn例题例题 靠山乡水稻亩产服从方差为靠山乡水稻亩产服从方差为5625的正态的正态分布。今年在实割前进行的估产中，随分布。今年在实割前进行的估产中，随机抽取了机抽取了10亩地，亩产分别为：亩地，亩产分别为：540，632，674，680，694，695，708，736，780，845。问：根据以上资料，能否认。问：根据以上资料，能否认为靠山乡水稻亩产的方差没有变化？为靠山乡水稻亩产的方差没有变化？0 .19

12、688.10) 1(7 . 2222sn总体方差之比的假设检验总体方差之比的假设检验已知条件已知条件假设假设检验统计量检验统计量h0的拒绝域的拒绝域两总体均服两总体均服从正态分布从正态分布h0:1222h1:1222分子自由度为第分子自由度为第一自由度，分母一自由度，分母自由度为第二自自由度为第二自由度由度 ff/2h0:1222h1:1222ffh0:1222h1:1222),min(),max(22212221ssssf 例题例题 对对25名男生和名男生和16名女生的智力测验结果名女生的智力测验结果表明，男生的总体方差的估计值为表明，男生的总体方差的估计值为64，女生为女生为49。问：测验结果是否说明性别。问：测验结果是否说明性别不影响该测验成绩的分散程度？不影响该测验成绩的分散程度？ f = 1.306 2.29总体比例的假设检验总体比例的假设检验nppppz) 1 ( 22211121) 1 ( ) 1 ( ) (nppnppppz例题例题 某校进行一次调查问卷，询问师生员工某校进行一次调查问卷，询问师生员工对学分制改革的态度。结果，被抽取的对学分制改革的态度。结果，被抽取的80个人中，有个人中，有6