Chap格林公式曲线积分与路径的无关性实用PPT课件

1、格林公式 区域D边界曲线L的方向 定理21.11 格林公式 格林公式的简单应用 应用格林公式的关键点第1页/共37页曲线积分与路线的无关性 区域连通性分类 曲线积分与路径无关的定义 定理21.12 定理的说明 定理的应用第2页/共37页区域D边界曲线L的方向 区域D边界曲线L的方向 沿边界行走时，若区域D总在左边，则称行走方向为L的正方向，记为L 与之相反的方向称为L的负方向，记为-LD1L2LDLL由1L与2L组成逆时针方向逆时针方向顺时针方向第3页/共37页定理21.11格林公式 定理21.11 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数 及 在D上具有一阶连续偏导数，则有 其中L是D的取正向

2、的边界曲线。 公式(1)称为格林(Green)公式。 (1)LDQPdxdyPdxQdyxy ,P x yQ x y第4页/共37页分析分析只须证明 LDPdxdyPdxy LDQdxdyQdyx 及(1)若区域D既是x型又是y型yxOD(2)若区域D由如图的按段光滑的闭曲线L围成。LD(3)若区域不止由一条闭曲线所围成。3L2L1L第5页/共37页12( , )( )( ),Dx yxyx axb12( , )( )( ),Dx yyxy cydyxOabDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx (1)若区域D既是x型又是y型证明：1:( )ACB yx曲线2:( )AE

3、B yx曲线1:( )CAE xy曲线2:( )CBE xy曲线证明(1)第6页/共37页DQdxdyx 21( ), )( ), )ddccQyy dyQyy dy( , )CBEQ x y dy ( , )( , )CBEEACQ x y dyQ x y dy ( , )LQ x y dy 同理可证( , )LDPdxdyP x y dxy 21( )( )dycyQdydxx yxOd)(2yx DcCE)(1yx BA( , )CAEQ x y dy LDQdxdyQdyx 两式相加得(1)(2)证明(1)第7页/共37页LD(2)1L2L3L1D2D3D LDQdyPdxdxdyyP

4、xQ)(123()()DDDDQPQPdxdydxdyxyxy若区域D由如图的按段光滑的闭曲线L围成。将D分成三个既是型又是x 123,.D D D型的区域y 证明(2)第8页/共37页23()()DDQPQPdxdydxdyxyxy1LABPdxQdyPdxQdy LQdyPdx),(32, 1来说为正方向来说为正方向对对DLLLL1L2L3L1D2D3DABC2LCAPdxQdyPdxQdy3LBCPdxQdyPdxQdy1()()DDQPQPdxdydxdyxyxyD证明(2)第9页/共37页GD3L2LFCE1LAB(3)由(2)知 DdxdyyPxQ)( 2ABBALCAEFC 3(

5、)CGALECPdxQdy 若区域不止由一条闭曲线所围成。 添加直线段AB,CE，则D的边界曲线由AB,2,L,BAAFC,CE, EC及CGA构成。3,L 231)(LLLQdyPdx LQdyPdx),(32, 1来说为正方向来说为正方向对对DLLL证明(3)第10页/共37页简单应用 格林公式的简单应用 简化曲线积分（例1） 简化二重积分（例2，例3） 计算平面面积（例4）第11页/共37页xyOL1）简化曲线积分ABDLOAABBO 解 引入辅助曲线L,ABxdy 例1计算其中曲线 AB 是半径为 r 的圆在第一象限部分。Lxdy , BOABOAxdyxdyxdyDdxdy OAxd

6、y ABDxdydxdy 21.4r BOxdy 0, 0, 由于例1第12页/共37页2）简化二重积分xyOAB11D Dydxdye2(0,0),(1,1),OA例2 计算,其中D是以为顶点的三角形闭区域。(0,1)B2, 0yxeQP 解2yeyPxQ 则22AB ByyDOOAedxdyxedy 2yOAxedy ).1(211 e210 xxedx 例2第13页/共37页22Lxdyydxxy 例3 计算,其中L为一条分段光滑且不经过原点的连续闭曲线， L的方向为逆时针方向。 OxyLOx1LL例3第14页/共37页例例3 3 计算计算 Lyxydxxdy22, ,其中其中L为为 (

7、1)(1) 任一任一不不包含包含原点原点的的闭闭区域区域的的边界边界线线, ,L的的方方向为逆时针方向向为逆时针方向. . (2)(2) 任一任一包含包含原点原点的的闭闭区域区域的的边界边界线线，L的方的方向为逆时针方向向为逆时针方向. . 例3第15页/共37页解记L所围成的闭区域为D，令2222,yxPQxyxy 则当022 yx时, 22222()Qyxxxy Py 有22Lxdyydxxy xyOLD22Lxdyydxxy 由格林公式知(1) D )0, 0(当时,0. 例3DQPdxdyxy 第16页/共37页L1DrlyxO(0, 0)D 当时,(2)记1D由L和l所围成, 由格林

8、公式,得QPxy 22220,Llxdyydxxdyydxxyxy(l逆时针方向),所以例3第17页/共37页 lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyOr1DlL.2 2222220cossinrrdr 222:ryxl 例3第18页/共37页 LDydxxdydxdy23）计算平面面积格林公式: ().LDQPdxdyPdxQdyxy 取,Py Qx 得闭区域D的面积 1.2LAxdyydx 取, 0 xQP 得 .LAxdy 取, 0, QyP 得 .LAydx 计算平面面积 平面面积计算公式第19页/共37页解12LAxdyydx 12ONAxdyydx )0()(2 aaxy

9、x例4计算抛物线与x轴所围成的面积。)0 ,(aANMOONA为直线0 y.曲线AMO由函数,yaxx 表示,0, xa 12AMOxdyydx 1 (1)()22axdxaxx dxax 12AMOxdyydx a004aaxdx 21.6a 例4第20页/共37页应用格林公式的关键点 应用格林公式的几个关键点 1.先作图并检查是否封闭曲线； 2.找P(x,y)及Q(x,y),并检查是否满足定理的条件; 3.根据格林公式化为二重积分并求出其值; 4.若有添加直线或曲线，则要求出该直线或曲线积分，再求题目要求的值。第21页/共37页区域连通性分类 区域连通性分类 设D为平面区域，如果D内任一闭

10、曲线所围成的部分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD第22页/共37页曲线积分与路径无关定义Gyxo1LPdxQdy 2LPdxQdy 1L2LBA如果在区域G内有 与路径有关. LQdyPdx则称曲线积分在G内与路径无关， 否则闭曲线的曲线积分为零）G内任意（或沿第23页/共37页定理12( , )Q x y在G内具有一阶连续偏导数,闭曲线的曲线积分为零）PQyx 在G内恒成立. 设区域G是一个单连通域, LQdyPdx在G内与路径无关证 充分性设, ( , ),PQx yGyx对G内任一闭曲线C,由G的单连通性可知：C所围成( , ),P x y函

11、数则曲线积分G内任意（或沿的充要条件是定理21.12第24页/共37页证明的闭区域D全部在G内， 由格林公式得CDQPPdxQdydxdyxy 0 必要性设沿G内任意闭曲线的曲线积分为零，用反证法证。倘若上述结论不成立， 则在G内至少存在一点0,M使00MQPxy不妨设00.MQPxy PQyx 可以在G内取一个以0M在G内连续，由于,PQyx第25页/共37页证明为圆心、半径足够小的圆形闭区域K，.2QPxy 由格林公式及二重积分的性质得KQPPdxQdydxdyxy 其中 是K的正向边界曲线， 是K的面积。因为0, 0, 于是0.PdxQdy ,2 这与已知矛盾。所以使得在K上恒有设沿G内

12、任意闭曲线的曲线积分为零，.PQyx 证毕第26页/共37页定理21.12(21.12(全微分求积) )定理12设区域G是一个单连通域, dyyxQdxyxP),(),( 在G内为某一函数),(yxu的全微分的充要条件是xQyP 在G内恒成立.在G内具有一阶连续偏导数, ( , )Q x y( , ),P x y函数则等式第27页/共37页定理的说明两条件缺一不可。定理的说明：(1) 区域G是一个单连通域.偏导数. (2) 函数),(),(yxQyxP在G内具有一阶连续第28页/共37页 L所围成的区域含有原点时，22,Lxdyydxxy 如例3中的积分虽然除去原点外，恒有,QPxy 但沿闭曲

13、线L的积分222Lxdyydxxy 0 定理的说明第29页/共37页解23.15 例5由点)0, 0(O到点)1, 1(B的曲线弧sin.2xy 其中L为xQyP 原积分与路径无关。xy(1,1)B (1,0)C O Py xyxxxQ2)(42 224(2)().Lxxy dxxy dy 计算2(2)xxyy 2x 120 x dx 故原式140(1)y dy 例5 5第30页/共37页解2()Pxyyy ( )Qyxxx ,),(2xyyxP ( ,)( ),Q xyyx 例6其中 具有连续的导数, 计算(1,1)2(0,0)( ).xy dxyx dy 因积分与路径无关 .PQyx2(

14、)Lxy dxyx dy 与路径无关,设曲线积分(0)0, 且2,xy ( ),yx 例6 6第31页/共37页即( )2yxxy 2( ),xxc 由0)0( 知0,c 2)(xx 100dx .21 故 (1,1)2(0,0)( )xy dxyx dy xy(1,1)B (1,0)C O 10ydy 例6 6(1,1)22(0,0)xy dxyx dy 第32页/共37页小 结1. 区域D边界曲线L的方向； 连通区域的概念;2. 二重积分与曲线积分的关系3. 格林公式的应用（注意几个关键点）4. 曲线积分与路径无关条件 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(格林公式;第33页/共37页小 结4. 曲线积分与路径无关条件与路径无关的四个等价命题条件(1)LDPdxQdy 在在 内内与与路路径径无无关关(2)0, CPdxQdyCD 闭闭曲曲线线(4) , PQDyx 在在 内内等价命题( , )u