ch9212一阶微分方程PPT教学课件

1、2021-10-221解解一一阶阶线线性性齐齐次次方方程程. 10)(dd yxPxy分分离离变变量量，得得xxPyyd)(d 两两边边积积分分， xxPyyd)(dCxxPylnd)(ln 得得所以通解为所以通解为 xxPCeyd)(第1页/共32页2021-10-222的通解的通解求微分方程求微分方程例例03dd7 yxy解解原方程化为原方程化为，yxy3dd 分分离离变变量量，得得，xyyd3d 两两边边积积分分，得得，Cxyln3ln 即即通通解解为为为任意常数为任意常数)(3CCeyx 直直接接套套用用公公式式）解解法法二二： (，3)( xP所所求求通通解解为为 xeCyd3为为任

2、任意意常常数数 )(3CCex 第2页/共32页2021-10-223分析：分析：,)()(dxxPyxQydy 两边积分两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设 ,)()(ln dxxPxvy dxxPxveey)()(即即非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比: :Cxuexv )()(解法解法一阶线性非齐次方程的一阶线性非齐次方程的. 2)0)()()(dd xQxQyxPxy)1(第3页/共32页2021-10-224，令令 xxPexuyd)()(则则 xxPexuyd)()( xxPexud)()(，)(xP 中

3、中代入方程代入方程将将(1),yy)()()(d)(d)(xPexuexuxxPxxP xxPexuxPd)()()()(xQ ，即即)()(d)(xQexuxxP ，或或 xxPexQxud)()()(两边积分，得两边积分，得，CxexQxuxxP d)()(d)(第4页/共32页2021-10-225的通解为：的通解为：所以方程所以方程)()(ddxQyxPxy CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(这种方法称为这种方法称为常常数数变变易易法法通通解解可可化化为为 xexQeCeyxxPxxPxxPd)(d)(d)(d)(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解第

4、5页/共32页2021-10-226求解初值问题求解初值问题例例8 ，0)1(3dd3yeyxyx解解，3)( xPxexQ3)( 代入通解公式，得代入通解公式，得 Cxeeeyxxx dd33d3xe3 Cxeexx d333Cxex ，由于由于0)1( y，得得01 )1(3 Cey，即即1 C故所求特解为故所求特解为)1(3 xeyx第6页/共32页2021-10-227注意：注意：解解公公式式在在一一阶阶线线性性微微分分方方程程求求 1d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 中，中，, )(ln xPdx 若若)()(xxepdx 则有则有)(1xepdx 代入公式，代入公式，

5、CdxxxQxy )()()(1 1CC 其中，其中，号号可可省省略略。因因此此，计计算算中中绝绝对对值值符符第7页/共32页2021-10-228的的通通解解求求微微分分方方程程例例xyyxcos9 解解方方程程变变形形为为xxyxycos1 ，则则xxP1)( ，xxxQcos)( 所以通解为所以通解为 xxeyd1 Cxexxxxdcosd1xeln Cxexxxdcosln Cxxx dcos1)(sin1Cxx 第8页/共32页2021-10-229的通解的通解求方程求方程例例210 yxyy 解解方方程程变变形形为为yyxyx2dd yxy 1，即即yxyyx 1dd所所以以通通解

6、解为为 yyexd1 Cyeyyydd1y dlnCyeyy )(Cyy 第9页/共32页2021-10-2210)()(20 xyxdyx 已已知知).( xy求求程程，可可化化为为微微分分方方程程。分分析析：这这是是一一个个积积分分方方分分方方程程的的初初值值条条件件！注注意意：方方程程中中隐隐含含着着微微求求导导，得得解解：对对原原方方程程两两边边关关于于x2yxxy 一一阶阶线线性性方方程程）(222 xCey求得通解为：求得通解为：, 0)0( y又由条件可知：又由条件可知：. 2 C所以，所以，2222 xey于于是是，例11第10页/共32页2021-10-2211三. 齐次微分

7、方程),(ddyxfxy 一阶方程一阶方程，若若)(),(xygyxf 则则称称此此方方程程为为例例如如yxyxxy ddxyxy 11xyyxxyxysindd22 xyxyxysin)(12 即即)(ddxygxy 齐次型方程齐次型方程第11页/共32页2021-10-2212作代换，化为变量可分离的方程作代换，化为变量可分离的方程，令令xyu ，则则uxy xyddxuxudd 得得到到新新的的方方程程xuxudd )(ug xuugxu )(dd或或xxuugud)(d 即即两边积分两边积分Cxxuugu d)(d，解出解出),(Cxu ),(Cxxy 所以所以解法：可分离变量的方程可

8、分离变量的方程第12页/共32页2021-10-2213解解方方程程例例xyxyxyxydddd122 解解原方程可化为原方程可化为22ddxxyyxy 1)(2 xyxy，令令xyu ，则则uxy xyddxuxudd 所所以以xuxudd ，12 uu1dd uuxux即即分分离离变变量量得得xxuudd)11( 两两边边积积分分 xxuudd)11(，得得xCuulnln ，即即Cuxu ln所以所给方程的通解为所以所给方程的通解为Cxyy ln第13页/共32页2021-10-2214的的特特解解满满足足求求方方程程例例1)0(0d2d)(322 yxxyyyx解解，令令)0( yyx

9、v，则则yvx ，yvvyxddd 原原方方程程可可化化为为0)dd(2d)(2222 yvvyvyyyyv)0( y，即即vvyyvd2d)1(2 分分离离变变量量得得，1d2d2 vvvyy第14页/共32页2021-10-2215，又因又因1)0( y，得得1 C所以所求特解为所以所求特解为，即即yCv 12所求通解为所求通解为；Cyyx 22， 1d2d2vvvyyCyvlnln)1ln(2 得得两两边边积积分分说明：说明：，若若)(),()1(yxyxf 则作变换则作变换yxv 次数相齐，次数相齐，齐次方程实际是指关于齐次方程实际是指关于)2(只要比较两端次数只要比较两端次数即可判断

10、出即可判断出yyx 22第15页/共32页2021-10-2216四. 伯努利方程)1,0()()(dd nyxQyxPxyn，得得到到两两端端同同乘乘以以ny )()(dd1xQyxPxyynn )1(n )1(n )1(n 注注意意到到nyx 1dd，xyynndd)1( ，令令nyz 1，)()1()()1(ddxQnzxPnxz 所所求求通通解解为为zyn 1 CxexQnexxPnxxPnd)()1(d)()1(d)()1(方程方程称为伯努利方程伯努利方程第16页/共32页2021-10-2217的通解的通解求方程求方程例例34yxyy 解解，令令32yz 原原方方程程可可化化为为，

11、xzxz3232dd 所所以以通通解解为为zy 32 Cxexexxd32d32d32 Cxexexxd323232 Ceexexxx323232232332 xCex第17页/共32页2021-10-2218的通解的通解求方程求方程例例4116 yxy解解，令令4 yxu，则则xyxudd1dd ，即即xuxydd1dd 原原方方程程化化为为，uxu1dd 分分离离变变量量得得，xuud2d2 两两边边积积分分， xuud2d2Cxu 22得得所求通解为所求通解为Cxyx 2)4(2五、可用简单变量替换求解的方程第18页/共32页2021-10-2219例8的通解的通解求方程求方程yxyyd

12、xdyx2ln 解：yzln 令令方程变形为2lnxydxdyyx 则2xzdxdzx dxdyydxdz 1于是即xzxdxdz 1第19页/共32页2021-10-2220解方程，得Cxxz 2于是原方程的通解为Cxxy 2ln例9的通解的通解求方程求方程324arctan211xyxyy 解：yzarctan 令令则dxdyydxdz 211于是342xxzdxdz 第20页/共32页2021-10-2221 )4(232Cdxexezxdxxdx2222xCex 222arctan2xCexy 所求通解为所求通解为)22tan(22xCexy 或或第21页/共32页2021-10-22

13、22例10满满足足）内内具具有有连连续续导导数数，且且，在在设设 1)(xf1)1(,)()1()(11 fdtttfxdttfxxx)( xf求求函函数数解：求求导导，得得方方程程两两端端对对 x)()()(211xfxttfdttfxx 求求导导，得得：两两边边再再对对 x0)(13)(2 xfxxxf第22页/共32页2021-10-2223其通解为 dxxxCexf213)(xexC13 得，得，代入初始条件代入初始条件1)1( feC 所以方程满足初始条件的特解为xexxf1131)( 第23页/共32页2021-10-2224一阶方程小结（1）可分离变量方程（2）线性方程基本方程（

14、3）齐次方程（4）伯努里方程（5）把自变量与未知函数交换（6）变量替换标准方程形式第24页/共32页2021-10-2225思考与练习思考与练习判别下列方程类型判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3 yxyxyyxxyxydd)2sin()5( 提示提示:xxyyydd1 可分离可分离 变量方程变量方程xyxyxylndd齐次方程齐次方程221dd2xyxxy线性方程线性方程221dd2yxyyx线性方程线性方程2sin2ddyxxyxxy伯努利伯努利方程方程第25页/共32页2021-10-222

15、6练习的通解的通解求方程求方程)ln(ln. 1yxyyyx _11arcsin)0,21(. 22曲线方程为曲线方程为的的且满足关系式且满足关系式过点过点 xyxy21arcsin xxyxCexy 解解 ,ln xyyxy ,xyu 令令,lnlnuxuuyu 则则,1lndxxuudu Cxulnlnlnln 所求通解为所求通解为xCexy Cxu ln第26页/共32页2021-10-22271.解解 ,ln xyyxy ,xyu 令令,lnlnuxuuyu 则则,1lndxxuudu Cxulnlnlnln 所求通解为xCexy Cxu ln第27页/共32页2021-10-2228

16、3. 求一连续可导函数求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令令txuuufxxfxd)(sin)(0则有则有xxfxfcos)()(0)0(f利用公式可求出利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf第28页/共32页2021-10-2229的的通通解解求求方方程程备备用用题题0d)14(d)1( yxyxyx解解，令令hsx ，kty ，则则sxdd ，tydd 代代入入原原方方程程，得得0d)144(d)1( thkstskhts 01401hkkh解方程组解方程组，得得1 h，0 k于是令于是令，1 sx，ty 原方程化为原方程化为0d)4(d)( tststs，即即141dd ststst，令令stu ，则则susustdddd 第29页/共32页2021-10-2230分离变量得分离变量得，ssuuudd14142 两两边边积积分分， ssuuudd14142，得得22ln)2arctan()14ln(sCuu ，或或Cuus )2arctan()14(ln22，即即Cstst )2arctan()4ln(22所求通解为所求通解为Cxyxy )12arctan()1(4ln22于是