实验一 微分学基础

1、.数学实验实验报告 学院：数学与统计学院 班级：数学与应用数学3班 学号：2 姓名：康萍 时间：2016.03.22实验一 微分学基础一、实验目的：学习使用Mathematica的一些基本功能来验证或观察得出微积分学的几个基本理论。1、 函数应用及图像2、 数e3、 积分与自然对数4、 调和数列5、 双曲函数2、 实验环境 基于Windows环境下的Mathematica7.0软件。3、 实验的基本理论与方法 使用Mathematica4.0软件可绘制函数图像。4、 实验的内容和步骤及得到的结果和分析实验1 函数及其图像1.1 Taylor级数1.1.1（1）实验内容：在同一坐标系中画出同一个

2、区间上的函数图像的图像，观察哪一条与正弦函数的图像最接近。（2）实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下： PlotSinx,0.8x,x,1.2x,x,-Pi,Pi（3）实验结果： （4）结果分析：在具有不同斜率k的过原点的直线中，时的直线与正弦曲线在原点附近最接近；且从原点出发沿直线前进与沿正弦曲线前进的方向是一致的，在原点附近很小的一段旅程内两条线路几乎看不出任何差别，但继续下去，两条线路就分道扬镳了：直线沿原来的方向继续前进，而正弦曲线则开始转弯，两条线路越离越远。1.1.2（1）实验内容：在同一坐标系中做出区间上正弦函数图像及多项式的图像，观察这些多项式函数的图像逼近正弦

3、曲线的情况。（2）实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下： PlotSinx,x-x3/6,x-x3/6+x5/120,x-x3/3!+x5/5!-x7/7!,x,-Pi,Pi curve1=PlotSinx,x,-Pi,Pi,PlotStyleRGBColor1,0,0; curve2=Plotx-x3/6+x5/120,x,-Pi,Pi,PlotStyleRGBColor1,0,1; curve3=Plotx-x3/3!+x5/5!-x7/7!,x,-Pi,Pi; Showcurve1,curve2,curve3（3）实验结果： （4）结果分析：通过图像可以看出，次数越来越高

4、的多项式函数的图像越来越好的逼近正弦函数的图像，这些多项式是的泰勒级数 的前若干项组成的。1.2 函数的升降、零点和极值1.2.1（1）实验内容：在同一坐标系中做出函数及其导数的图像，观察（）当时y的图像的升降情况及当时，y是否有极大值或极小值；（）观察得出方程的根的近似值a,比如a=2.5,最后求出在x=2.5附近的根的更精确的近似值。（2） 实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下： Plotx-x3/6,1-x2/2,x,-4,4； FindRootx-x3/6,x,2.5（3）实验结果： x2.44949（4） 结果分析：当时，y的图像在区间上升，在区间上下降；当，在区间上

5、上升，在区间上下降。观察得出的根近似的有。通过编程得出，在x=2.5附近的根的更精确的近似值为2.44949.1.2.2（1）实验内容：设对n=3，4，5，6，7依次求出在x=3附近的零点，观察：随着n的增加，所求出的零点有何变化趋势？有何道理？（2） 实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下： fx_,n_:=Sum(-1)k*x(2*k+1)/(2*k+1)!),k,0,n;DoPrintFindRootfx,n,x,3.0,n,3,7（3） 实验结果： x3.07864 x3.14869 x3.14115 x3.14161 x3.14159（4） 结果分析：随着n的增加，所求

6、出的零点越来月稳定于3.141附近，因为随着n的增加的图像越来越接近于的图像，因此由求得的根也就越来越接近与的根。1.3正弦函数的叠加1.3.1（1）实验内容：分别画出区间上的函数 其中2m-1可以试验从小到大不同的值。比如2m-1=9,19,519等。分别观察所得的函数图像随着这个n值的增加的变化情况和变化趋势。（2） 实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下： fx_,n_:=SumSink*x/k,k,1,n,2；fx_,n_:=表示定义一个以x,n为自变量的函数。 Plotfx,9,x,-2Pi,Pi fx_,n_:=SumSink*x/k,k,1,n,2; Plotfx,

7、519,x,-2Pi,Pi（3） 实验结果： （4）结果分析：由于每一项都是以为周期，经过求和之后的函数当然还是以为周期。观察图像可知，当n值很大时，图像越来越接近于“方形”的波。一般的，由于函数都以为周期，他们的实系数线性组合（也就是实数倍之和） 仍以为周期。改变各个系数就得到各种不同形状的图像，只要不要太连续，就能得到所有的以为周期的函数的图像。1.3.2(1)实验内容：分别取n=30,300,3000,在同一坐标系中画出区间上函数的图像。观察当n增加时向逼近的现象。（2） 实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下：fgsin=PlotSinx,x,-4Pi,4Pi,PlotS

8、tyle-RGBColor1,0,0;px_,n_:=x*Product1-x2/(k*Pi)2),k,1,n;fgproduct=Plotpx,30,x,-4Pi,4Pi;Showfgsin,fgproduct可得的实验结果.fgsin=PlotSinx,x,-4Pi,4Pi,PlotStyle-RGBColor1,0,0;px_,n_:=x*Product1-x2/(k*Pi)2),k,1,n;fgproduct=Plotpx,300,x,-4Pi,4Pi;Showfgsin,fgproduct可得的实验结果.fgsin=PlotSinx,x,-4Pi,4Pi,PlotStyle-RGBC

9、olor1,0,0;px_,n_:=x*Product1-x2/(k*Pi)2),k,1,n;fgproduct=Plotpx,3000,x,-4Pi,4Pi;Showfgsin,fgproduct可得的实验结果.（3） 实验结果：n=30n=300n=3000（4）结果分析：由图像可知：当增加时，向逐渐逼近，当足够大时，的图像与完全重合.1.4 无极限的函数列1.4.1（1）实验内容：在区间-1,1上做出函数的图像，观察图像当时的变化情况。在的附近仍然看不清楚，可以再放大，将区间改为-0.01,0.01甚至-0.001，0.001。（2） 实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下

10、： PlotSin1/x,x,-1,1 PlotSin1/x,x,-0.01,0.01（3） 实验结果： （4） 结果分析：看得出当时曲线在和之间振荡，越接近于0就振荡的越快，越“疯狂”。在的附近仍然看不清楚，可以再放大，将区间改为-0.01,0.01甚至-0.001，0.001，可以看出区间越小，曲线震荡的越“疯狂”，图像更加一塌糊涂。1.4.2（1）实验内容：从以上曲线中取一部分点，比如令，则当k增加时x向0趋近，相应的y值分别是，。这样就在曲线上取出了3000个点。将这3000个点画在同一个坐标系中，看它们组成的图形是什么样子？能否辨别出哪些点组成一条曲线？（2） 实验步骤：在Mathe

11、matica7.0输入语句如下： T=Table1/k,Sink,k,1,3000; P=ListPlotT d=44; T1=Table1/k,Sink,k,3,3000,d; T2=Table1/k,Sink,k,6,3000,d; P1=ListPlotT1,PlotJoinedTrue,PlotStyleRGBColor1,0,0; P2=ListPlotT2,PlotJoinedTrue,PlotStyleRGBColor1,0,0; ShowP,P1,P2（3） 实验结果： 图一 图二（4） 结果分析：图一不但不是一塌糊涂、杂乱无章，反而很有规律，呈现出一些美丽的图案组成的网。通过

12、利用祖冲之说的近似值（约率），从而44约等于的7倍，接近，从某一个开始的一连串点组成图一的曲线中的一条。实验2 数e2.1.1（1）实验内容：观察当n趋于无穷大时数列的变化趋势。（2） 实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下： DoPrint(1.0+1/10n)(10n),(1.0+1/10n)(10n+1),n,1,7（3） 实验结果： 2.59374,2.85312 2.70481,2.73186 2.71692,2.71964 2.71815,2.71842 2.71827,2.7183 2.71828,2.71828 2.71828,2.71828(4)结果分析：当n趋

13、于无穷大时数列都趋近于2.71828，最后稳定于2.71828.2.1.2（1）实验内容：在同一坐标系中画出下面三个函数的图像，观察当增大时图像的走向。（2） 实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下： Plot(1+10(-x)(10x),(1+10(-x)(10x+1),E,x,1,4 Plot(1+10(-x)(10x),(1+10(-x)(10x+1),E,x,2,4 Plot(1+10(-x)(10x),(1+10(-x)(10x+1),E,x,3,5（3） 实验结果： （4） 结果分析：通过观察可以看到，当n增大时，严格单调递减。随着n的无穷增大，无限接近，趋于共同的极

14、限e=2.70828.以这个为底的自然对数。2.1.3（1）实验内容：计算的近似值，精确到小数点后30位。（2） 实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下： DoPrintN1+Sum1/(k!),k,1,n,30,n,5,30（3） 实验结果： 2.71666666666666666666666666667 2.755555555555555556 2.796825396825396825 2.726984126984126984 2.719223985890652557 2.738447971781305115 2.7492865 2.716856394634172412 2.

15、7759011 2.722974791228759483 2.799446428546957647 2.7345033 2.7779585 2.7748171 2.7272834 2.7449067 2.7743173 2.7711087 2.7579257 2.7740431 2.7746878 2.7747126 2.7747135 2.7747135 2.7747135 2.7747135（4） 结果分析：上面的对数表反映了自然对数的产生过程。在科学中广泛应用以e为底的的自然对数的更直接的理由是：它使涉及到对数的微积分和积分公式变得更为简单。2.2.1(1)实验内容：通过运行Mathem

16、atica语句，计算当，时，的值。观察当x趋于0时，是否趋于某一极限值（2） 实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下： DoPrintLog10,1.0+10.0(-n)/(10(-n),n,1,7（3） 实验结果： 0.413927 0.432137 0.434077 0.434273 0.434292 0.434294 0.434294（4） 结果分析：当x趋于0时，越来越趋近于0.43429附近，最后稳定于0.434294.2.2.2(1)实验内容：通过运行Mathematica语句，计算当，时，的值。观察当x趋于0时，是否趋于某一极限值（2）实验步骤：在Mathemati

17、ca7.0输入语句如下： DoPrintLog1.0+10.0(-n)/(10n),n,1,7（3） 实验结果： 0.00953102 0.0000995033 9.99510-7 9.999510-9 9.9999510-11 9.9999910-13 1.10-14结果分析：当x趋于0时，趋于极限值 1.10-14实验3 积分与自然对数（1） 实验内容：画出函数在区间0.1，10上的图像，观察图像的形状，看他像是什么函数的图像，求出函数的参数。（2） 实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下： Sx_:=NIntegrate1/t,t,1,x; PlotSx,x,0.1,10在

18、求这个对数的底时，它应满足条件S（b）=1,从图像上可以看出b比3稍小一些，从而以3作为初始值，利用牛顿切线法，用递推关系式 求出近似值。输入语句如下： ga_:=a-(Sa-1)a NestListg,3,4（3） 实验结果： 3,2.70416,2.71825,2.71828,2.71828（4） 结果分析：观察可以看出，图中所画图像很像是对数函数的图像。计算结果发现b恰是自然对数的底e。实验四 调和数列（1） 实验内容：将坐标的点依次连接成光滑曲线，观察曲线的形状，它与什么函数的图像形状类似？并进行验证。（2） 实验步骤：在Mathematica7.0输入语句如下： Hn_:=NSum1/k,k,1,n; t=Tablen,Hn,n,1,100; pic1=ListPlott为了验证，输入语句如下： pic2=PlotLogx,x,1,100,PlotStyleRGBColor0,0,1; Showpic1,pic2为了更准确的刻画，输入语句如下： c=H100-Log100; pic3=PlotLogx+c,x,1,100,PlotStyleRGBColor1,0,0; Showpic1,pic2,pic3（3） 实验结果： （4） 结果分析：从结果看，若将这些点集依次连接成光滑曲线，好像是对数函数的图像。观察发现点集连成的曲线与的曲线并不重合，但趋向于“平行”：