1[1]42正弦函数、余弦函数的性质2

1、1.4.2 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 第二课时第二课时问题提出问题提出1.1.周期函数是怎样定义的？周期函数是怎样定义的？( ),0,()( )( )f xxDf xTf xf x 对则称为周期函数。2.2.正、余弦函数的最小正周期是多少？函数正、余弦函数的最小正周期是多少？函数 和和 的最小正周期是多少？的最小正周期是多少？sin()yAxcos()yAx(0,0)A3.3.周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性质，此外，正、余弦函数还具有哪些性质呢？质，此外，正、余弦函数还具有哪些性质呢？我们将对此作进一步探究我们将

2、对此作进一步探究. .探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性思考思考1 1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么观察下列正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？发现？y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinxxyO1-1222222222222y=cosxy=cosx思考思考2 2：上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？如何从理论上加以验证？正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. .思考思考3 3：观察正弦

3、曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？观察正弦曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinx正弦函数在每一个闭区间正弦函数在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间 上都是减函数上都是减函数.222kk222kk 思考思考4 4：类似地，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些类似地，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？区间上是减函数？余弦函数在每一个闭区间余弦函数在每一个闭区间 上都是增函数；上

4、都是增函数；在每一个闭区间在每一个闭区间 上都是减函数上都是减函数. .22kk 22kk xyO1-1222222222222y=cosxy=cosx思考思考5 5：正弦函数在每一个开区间（正弦函数在每一个开区间（2k2k， 2k2k） (kZ(kZ) )上都是增函数，能否认为正弦函数在第一象限是增上都是增函数，能否认为正弦函数在第一象限是增函数？函数？2探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性 y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinx思考思考1 1：当自变量当自变量x x分别取何值时，正弦函数分别取何值时，正弦函数y=si

5、nxy=sinx取得最取得最大值大值1 1和最小值和最小值1 1？正弦函数当且仅当正弦函数当且仅当 时取最大值时取最大值1, 1, 当且仅当且仅当当 时取最小值时取最小值-1 -1 2xk 2xk 思考思考2 2：当自变量当自变量x x分别取何值时，余弦函数分别取何值时，余弦函数y=cosxy=cosx取得最取得最大值大值1 1和最小值和最小值1 1？余弦函数当且仅当余弦函数当且仅当 时取最大值时取最大值1, 1, 当且仅当当且仅当 时取最小值时取最小值-1. -1. 2xk(21)xkxyO1-1222222222222y=cosxy=cosx思考思考3 3：根据上述结论，正、余弦函数的值域

6、是什么？函数根据上述结论，正、余弦函数的值域是什么？函数y=Asinxy=Asinx（A0A0）的值域是什么？）的值域是什么？思考思考4 4：正弦曲线除了关于原点对称外，是否还关于其它的正弦曲线除了关于原点对称外，是否还关于其它的点和直线对称？点和直线对称？ 正弦曲线关于点正弦曲线关于点（kk，0 0）和直线和直线 对对称称. .()2xkkZ-|A|-|A|，|A|A|y y-1xO123456-2-3-4-5-6-y=sinxy=sinx思考思考5 5：余弦曲线除了关于余弦曲线除了关于y y轴对称外，是否还关于其它的点轴对称外，是否还关于其它的点和直线对称？和直线对称？余弦曲线关于点余弦曲

7、线关于点 和直线和直线x=kx=k对称对称. .(,0)2kxyO1-1222222222222y=cosxy=cosx图图象象定义域定义域值域值域最最值值周期性周期性奇偶性奇偶性单单调调性性对称性对称性xysinxycosOy yx1R 1 , 1 1 , 11)(22maxyZkkx时，当1)(2maxyZkkx时，当1)(232minyZkkx时，当1)(2minyZkkx时，当22奇函数偶函数)(22 ,22Zkkk)(2 ,2ZkkkR对称和直线关于点2)0 ,( kxk对称和直线关于点kxk)0 ,2()(232 ,22Zkkk)(2 ,2Zkkk理论迁移理论迁移 例例1 1 求下

8、列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量小值时自变量x x的集合的集合 （1 1） y=cosxy=cosx1 1，xRxR； （2 2）y=y=3sin2x3sin2x，xRxR. . 例例2 2 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小: :(1) s in ()s in ();1 81 0与2 31 7( 2 ) c o s()c o s().5与 例例3 3 求函数求函数 ，xx22，22的单调递增区间的单调递增区间. .1s in ()23yx 变式：求函数的单调变式：求函数的单调增增区间区间1sin23yx sinyz 3

9、2222zkk 1222223xkk 54466xkk 6,564,4kkkZ 已知三角函数值求角 已知已知 求求3sin2 x22322523yO23225311|60360120360 ,kkkZ 或或 已知已知 求求 的范围。的范围。3sin2 3sin 602 3sin1202 x22322523yO23225311120,60 360k 360kZk 小结作业小结作业 1. 1. 正、余弦函数的基本性质主要指周期性、奇正、余弦函数的基本性质主要指周期性、奇偶性、单调性、对称性和最值，它们都是结合偶性、单调性、对称性和最值，它们都是结合图象得出来的，要求熟练掌握图象得出来的，要求熟练掌握. .2.2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. .一般一般地，地，y=Asinxy=Asinx是奇函数，是奇函数，y