ch镜像法解析实用PPT课件

1、1. 求解泊松方程的难度一、镜像法的概念和适用条件 一般静电问题可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到电场。但是，在许多情况下非常困难。例如，对于介质中、导体外存在点电荷的情况虽然可以采用叠加法求解，但是求解比较困难。求解的困难主要是介质分界面或导体表面上的电荷一般非均匀分布的，造成电场缺乏对称性。QQ2. 以唯一性定理为依据 在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。特别是对于只有几个自由点电荷时，可以将导体面上感应电荷分布等效地看作一个或几个点电荷来给出尝试解。第1页/共44页3. 镜像法的基本问题在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点电荷和导

2、体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的。那么，导体的感应电荷或介质的极化电荷对场点而言能否用场空间以外的区域（导体或介质内部）某个或几个假想的电荷来代替呢？4. 镜像法概念、适用情况镜像法：用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。适用情况：适用情况： a) 所求区域有少许几个点电荷，所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替。用假想点电荷代替。b)导体边界面形状比较规则，具导体边界面形状比较规则，具有一定对称性。有一定对称性。 c) 给定边界条件。给定边界条件。第2页/共44页注意几点：

3、a) a) 像电荷必须放在研究的场域外。b) b) 不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假想 电荷的大小和位置）。c)c) 放置像电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存 在，把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数 应是所研究场域的介电常数。d) d) 像电荷是虚构的，它只有等效作用。而其电量并不一定与 真实的感应电荷或极化电荷相等。e) e) 镜像法所适应的范围是： 场区域的电荷是点电荷，无限长带电直线； 导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）。第3页/共44页a) a) 正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件；b) b) 根据给定的边界条件

4、计算像电荷的电量和所在位置；c) c) 由已知电荷及像电荷写出势的解析形式；d) d) 根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等。二、镜像法的具体应用第4页/共44页三、应用举例例1 接地无限大平面导体板附近 有一点电荷，求空间电势。QQ/Pzrra0解：根据唯一性定理,左半空间右半空间，Q在（0，0，a）点，电势满足泊松方程。边界上00z从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间 z 轴上。Q设电量为a，位置为（0，0，） )()(412222220azyxQazyxQ1 界面是平面第5页/共44页22222200ayxQayxQz由边界条件确定Qa和、唯一解是 因为象

5、电荷在左半空间，所以舍去正号 解aaQQ,)(1)(142222220azyxazyxQ讨论：（a）导体面上感应电荷分布2/322200)(2ayxQazz第6页/共44页 02/322)(22QQarrdrQadSQ（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在 右半空间完全相同。 （c） 与 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称 为镜象法（又称电象法）QQ（d）导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力222222000144(2 )16zzzQQQFeeeraa 22222222 3200011148()4(2 )zQ dSQ a dSQ

6、Faaa 第7页/共44页讨论讨论: 如果如果导体板不接地导体板不接地，左半空间有电场存在，左半空间有电场存在 。这时左、。这时左、右两右两 半空间的电势必须满足以下条件：半空间的电势必须满足以下条件：200 0 Rx左左左有限的定值2001(,0,0) 0 RxQxa yz右右右有限的定值2001(,0,0)0 0 RxQxa yz 第8页/共44页注意： 光线是直线传播到导体板面上的。有的地方是与板面，有的地方是与板面有一定夹角；但电力线切线方向是场强的方向，电力线在板面附近处处与板面，这一点通过静电平衡原理可知。QQba根据光的反射可找到Q的大小和位置镜象法的图形与光路用此图比较：Q0V

7、 Qz第9页/共44页例例2在无穷大空间中充满介电常数为在无穷大空间中充满介电常数为 和和 的两种的两种均匀电介质，其分界面为平面。设在介质均匀电介质，其分界面为平面。设在介质 中放一点中放一点电荷电荷Q，其所在位置距分界面为，其所在位置距分界面为a，试求二介质中的电，试求二介质中的电势分布。势分布。211Qa121221Solution: 设 中电势的 ， 中的电势为 ，并满足如下定解条件：1 界面是平面第10页/共44页211221212001(, , ) (1)0 (2)0 (3) (RRRRQxa y z 1212004) (5)xxxx第11页/共44页 a) 求 空间的电势 时，设

8、想将 半空间换成与 半空间一样，而以假想的电荷Q来代替分界面上极化电荷对 半空间的场的影响；1211处理问题的方法： b) 求 半空间的电势 时，设想将 半空间换成 半空间一样，而以假想的电荷Q来代替Q和分界面上的极化电荷对 半空间场的影响。122122xxSS右半空间左半空间acbQQQrrrRooP(x,y,z)yy21换成P2换成121R第12页/共44页在x0的区域，空间一点的电势为111()4QQrrrQ 2241在x0区域电势：2122212122122211)()()()(14zyaxzyaxQ2122221222)()(241zyaxQx R0 处有一点电荷 Q，求空间各点电势

9、。410rQrQrr球坐标系球坐标系PROZQQ2 界面是球面第18页/共44页2 界面是球面cos222RaaRrcos222RbbRr0000222200RRRRRRRrQrQrQrQ（2）由边界条件确定Qr和bQO设 222200()2cosQRbQ R b222200()2cosQRaQ R a因 任意的aQbQ22)()(22022202aRQbRQ解得 aQRQaRb020 QQabaQRQaRb020Rob QaQxrrP(x,y,z)第19页/共44页)(0)(/cos2/cos214002024020220RRRRaRRaRRaRRaaRQ ，因此Q发出的电力线一部分会聚到导

10、体球面上，剩余传到无穷远。 球面感应电荷分布 QQ （3）讨论： 2/3020202020)cos2(40aRRaRRaQRRRaQRdSQRR00导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为电荷 移到地中去了。aQRQQ0 cos2)/(12020RaRRRa2 界面是球面第20页/共44页感应电荷：0RdSQa 电通量：00001R RR QE dSdSa 电荷受到的作用力：0232 2002200011() /1 () 4()4zRQQRRQaFabRaa 2 界面是球面第21页/共44页讨论：导体球不带电不接地边界条件：000R RdSR在球心处再添一像电荷：0RQQa 022220/14

11、2cos2cosR Q aQRaRaRbRb0/R Q aR)( 0未知常数RR00RRRR外内aQRQ00044 内2 界面是球面第22页/共44页导体球不带电，接电势0V0SV022220/142cos2cosR Q aQRaRaRbRb00R VR在球心处再添一像电荷：0004QR V 00RRRR外内0V内2 界面是球面第23页/共44页点电荷 Q 在导体球壳内距球心 a 处01Ra0022220/142cos2cosR Q aQRaRaRbRb0RQQa 20Rba21202402021220)cos2()cos2(14aRRaRRaRRaaRQ内像电荷的电量Q大于源电荷的电量Q。2

12、 界面是球面第24页/共44页2 界面是球面导体球带有电荷 ，不接地q022220/142cos2cosR Q aQRaRaRbRb0/R Q aqRR点电荷q受到的力：2201()4()Q qQQQFaab32200222200(2)14()QRaRQqaa aRRob QaQxrrPq-Q球心有电荷（q- Q) ，P点的电势为00RRRR外内0000044RqQQqaRR内第25页/共44页ooaaQQQQ点电荷Q在球内点电荷Q在球外bb镜像法与光路图比较2 界面是球面第26页/共44页0ER0-+0ESolution: 本题的物理图象是在原有的均匀电场 中放置一中性导体球。此时导体球上的

13、感应电荷也要在空间激发场，故使原来的场空间电场发生了变化。 球外空间任一点的场将是一个均匀场和一个球体感应电荷等效的偶极子的场的迭加。 场区域只能在球外。由于静电屏蔽， 例例55均匀场中的导体球所产生的电势。均匀场中的导体球所产生的电势。第27页/共44页 第一步：第一步：用两个点电荷Q激发一均匀场 点电荷Q放在对称轴z= a处，a很大，Q也很大，在坐标原点附近的区域内。0E+Q-Qz0EaaoEE0200241aQE第二步：第二步： 将一中性导体球放在均匀场中第28页/共44页此时+Q在球面上感应的电量为 ，-Q在球面上感应电量为 ，这仍然保持导体球为电中性(不管导体球接地与否)。根据唯一性

14、定理，导体球外的电势就是这四个点电荷分别在某点产生的。 +Q-QzaaR0bboQaR0QaR0)(0QaR)(0QaRQ相当于两个场源电荷，球面上将出现感应电荷，由像电荷来代替，即第29页/共44页电势迭加，即212024020212024020212221220)cos2()cos2()cos2()cos2(41aRRaRRQaRaRRaRRQaRRaaRQRaaRQ外22aRbaRR240224022RaRRb因为aR， ,则选略去 和第30页/共44页又因为 皆为小量，应用展开式212002120021210)cos21 ()cos21 ()cos21 ()cos21 (14aRRaR

15、RaRRaRRaRaQaRaQ外aRRRaRaR2020和)( 211)1 (21为小量xxx即第31页/共44页)cos1 ()cos1 ()cos1 ()cos1 (420020000RaRRRRaRaRaRaRaQ外cos2cos242300aRRaRaQ223000cos2414cos2RaQRaRQcoscos02300ERRRE第32页/共44页 的第一项恰好等于一个原均匀场以o点为参考点电势。第二项恰好等于位于o点的电偶极矩为 的电偶极子的电势。zeREP03004)( 40300电偶极场即原场外ERRPzEP外令则第33页/共44页（3）界面为柱面的情况）界面为柱面的情况 例例

16、66有一线电荷要密度为的无限长带电直线与半径为 R0 的接地无限长导体圆柱轴线平行。求空间电势分布。yaaxR0R00内Solution: 由于导体柱面把整个空间分成柱内、柱外两个区域，而柱内有 ，柱外区域电势满足定解条件：3 界面是柱面第34页/共44页 处于带电直线的电场中的导体圆柱，其柱面上要出现感应电荷，空间任一点的电势 就是带电线和感应电荷分别产生的电势的迭加。0201(, ) 0 R Rxa y 外外外 现假定导体圆柱面的感应电荷密度为 ，距轴线为b，由于带电直线不仅带电(均匀)且是无限长的，导体圆柱也是无限长的，故垂直于柱轴的任何平面上的电势分布是完全相同的，即是一个二维场，因此

17、可取一垂直于柱轴的平面来讨论。RobaxrrP(x,y)R0第35页/共44页取取oa 连线与圆柱面的交点为电势参考点。连线与圆柱面的交点为电势参考点。则则圆柱圆柱外空间任一点的电势为外空间任一点的电势为RobaxrrP(x,y)R0bRrRar0000ln2ln2即即第36页/共44页其中2122212221222122cos2)(cos2)(RbbRybxrRaaRyaxr02102200)cos2(ln20RaaRaRRR由 得0)cos2(ln2 02102200aRbRbR00 R R外第37页/共44页即bRbRbRRaaRaR02102200210220)cos2(ln)cos2

18、(ln11222222000000 (2cos )(2cos )RaR aRbR baRRb200220200220)(cos2()(cos2(RabRbRbRaRaR要使该等式成立，必有比较两边系数，即2222220000220000()()()() 2cos ()2cos () RaRbRbaRR aRbR baR 2200 RRbaba第38页/共44页0)(202022aRRababaRbab2021 , 解一元二次方程得到化简上式：其中 b1=a不符合物理要求。相当于球面距离情况相当于平板时电荷情况 20aRbaRRrRar200000ln2ln2因而柱面外任一点的势为)(lnln20000RaRraRar000000()ln2ln2arR aRraRarR r第39页/共44页例6 在接地的导体平面上有半经为a a的半球凸部，半球的球心在导体平面上，一点电荷q