第五章 梁的内力

1、5.1 基本概念基本概念5.2 剪力和弯矩剪力和弯矩5.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图5.4 剪力、弯矩与分布载荷集度剪力、弯矩与分布载荷集度 间的微分关系间的微分关系第五章第五章 梁的内力梁的内力5.1 梁弯曲的概念梁弯曲的概念 构件的弯曲变形是工程中常见的，也是重要的基本变形。如图5.1中桥式吊车梁、图5.2中支架的横梁、图5.3中的管道梁、图5.4中的楼面梁等，都是工程中受弯曲的实例。当杆件受到垂直于杆轴的外力或在杆轴平面内受到外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，这种变形称为弯曲变形。发生弯曲变形或以弯曲变形为主的构件，通称为梁。 5.1.1 弯曲的概念弯曲的概念图5.1 图5.2

2、 图5.3 图5.4 工程中大多数的梁，其横截面都具有对称轴，如图5.5所示。对称轴与梁的轴线构成的平面称为纵向对称面(图5.6)。若作用在梁上的外力或外力偶都作用在纵向对称面内，且外力垂直于梁的轴线，则梁在变形时，其轴线将在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，这种弯曲变形称为平面弯曲。5.1.2 平面弯曲的概念平面弯曲的概念图5.5 图5.6 根据梁的支座反力能否全部由静力平衡条件确定，将梁分为静定梁和超静定梁。静定梁又可分为单跨静定梁和多跨静定梁。单跨静定梁按支座情况可分三种基本类型：（1） 简支梁梁的一端为固定铰支端，另一端为活动铰支座(图5.7(a)。（2） 外伸梁其支座形式和简支梁相同，

3、但梁的一端或两端伸出支座之外(图5.7(b)。（3） 悬臂梁梁的一端固定，另一端自由(图5.7(c)。5.1.3 梁的类型梁的类型图5.7 5.2 -剪力和弯矩剪力和弯矩图5.8(a)为一简支梁，载荷P与支座反力NA和NB是作用在梁纵向对称面内的平衡力系。现用截面法分析任一截面mm上的内力。 梁的横截面上的内力比较复杂，一般存在两个内力元素：（1） 剪力Q相切于横截面的内力。剪力的作用线通过截面形心。（2） 弯矩M作用面与横截面垂直的内力偶矩。 5.2.1 剪力和弯矩剪力和弯矩截面mm上剪力Q的大小和方向以及弯矩M的大小和转向，可由右段梁的平衡方程确定Fy=0，NB-Q=0Q=NBmC(F)=

4、 0，NBx-M=0M=NBx根据作用力和反作用力的关系，分别以梁的左段和右段为研究对象求出的Q和M，大小是相等的，而方向或转向是相反的(图5.8(b)、(c)。 图5.8 (1) 剪力的正负号规定正剪力：截面上的剪力使研究对象作顺时针方向的转动(图5.9(a)；负剪力：截面上的剪力使研究对象作逆时针方向的转动(图5.9(b)。 (2) 弯矩的正负号规定正弯矩：截面上的弯矩使该截面附近弯成上凹下凸的形状(图5.10(a)；负弯矩：截面上的弯矩使该截面附近弯成上凸下凹的形状(图5.10(b)。5.2.2 剪力和弯矩和正负号规定剪力和弯矩和正负号规定图5.9 图5.10利用截面法计算指定截面的剪力

5、和弯矩的步骤如下：（1） 计算支座反力。（2） 用假想的截面在欲求内力处将梁截成两段，取其中一段为研究对象。（3） 画出研究对象的内力图。截面上的剪力和弯矩均按正方向假设。（4） 建立平衡方程，求解剪力和弯矩。5.2.3 用截面法求指定截面的剪力和弯矩用截面法求指定截面的剪力和弯矩【例 5.1】简支梁如图5.11(a)所示。已知P1=36kN，P2=30kN，试求截面II上的剪力和弯矩。【解】(1) 求支座反力以整梁为研究对象，受力图如图5.11(a)。列平衡方程由mA(F)= 0，RB6-P11-P24=0得RB=（P11+P24）/6=26kN由mB(F)= 0，P15+P22-RA6=0

6、得RA=(P15+P22)/6=40kN(2) 求截面I-I的内力用I-I截面将梁假想地截开，取左段为研究对象，受力图如图5.11(b)。列平衡方程由Fy=0，RA-P1-Q1=0得Q1=RA-P1=(40-36)kN=4kN由m1(F)=0，M1+P11-RA2=0得M1=RA2-P11=(402-361)kNm=44kNm计算结果Q1、M1为正，表明Q1、M1实际方向与图示假设方向相同，故为正剪力和正弯矩。若取梁的右段为研究对象，受力图如图5.11(c)所示。列平衡方程由Fy=0，Q1+RB-P2=0得Q1=P2-RB=(30-26)kN=4kN由m1(F)=0，RB4-P22-M1=0得

7、M1=RB4-P22=(264-302)kNm=44kNm可见，不管选取梁的左段或右段为研究对象，所得截面I-I的内力结果相同。【例 5.2】外伸梁受载荷作用如图5.12(a)所示。图中截面1-1是指从右侧无限接近于支座B。试求截面1-1和截面2-2的剪力和弯矩。【解】(1) 求支座反力以整梁为研究对象，受力图如图5.12(a)。由平衡方程求解支座反力。mB(F)=0，RCa-P2a-Me=0RC=(2Pa+Me)/a=（2Pa+Pa）/a=3PmC(F)=0，-RBa-Pa-Me=0RB=(-Pa-Me)/a=(-Pa-Pa)/a=-2P(2) 求截面1-1的内力用1-1截面将梁假想地截开，

8、取左段为研究对象，受力图如图5.12(b)。由平衡方程求Q1和M1Fy=0，RB-Q1=0Q1=RB=-2Pm1(F)= 0，M1-Me=0M1=Me=Pa计算结果Q1为负，表明Q1实际方向与图示假设方向相反，故为负剪力；M1为正，表明M1实际方向与图示假设方向相同，故为正弯矩。(3) 求截面2-2的内力用2-2截面将梁假想地截开，取右段为研究对象，受力图如图5.12(c)。由平衡方程求Q2和M2Fy=0，Q2-P=0Q2=P(正剪力)m2(F)= 0，-M2-Pa/2=0M2=-Pa/2 (负弯矩)图5.11图5.12图5.12图5.12(1) 梁内任一截面上的剪力，其大小等于该截面左侧(或

9、右侧)梁上所有外力的代数和；梁内任一截面的弯矩，其大小等于该截面左侧(或右侧)梁上所有外力对于该截面形心之矩的代数和。(2) 外力对内力的符号规则左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。(3) 代数和的正负，就是剪力或弯矩的正负。 5.2.4 计算剪力和弯矩的规律计算剪力和弯矩的规律【例 5.3】简支梁受载荷作用如图5.13所示。已知集中力P=1000N，集中力偶m=4kNm，均布载荷q=10kN/m，试求1-1和2-2截面的剪力和弯矩。【解】(1) 求支座反力以整梁为研究对象，受力图如图9.13所示，由平衡方程求解支座反力。mB(F)=0，P750-RA1000-m+q500250=0RA=

10、(P750-m+q500250)/1000=-2000NFy=0，RA-P-500q+RB=0RB=P+500q-RA=8000N (2) 计算1-1截面的内力利用计算剪力和弯矩的规律，由1-1截面左侧外力计算Q1=RA=-2000N(负剪力)M1=RA200=-400Nm(负弯矩)(3) 计算2-2截面的内力利用计算剪力和弯矩的规律，由2-2截面的右侧外力计算Q2=q0.4-RB=-4000N(负剪力)M2=RB0.4-q0.40.2=2400Nm(正弯矩) 图5.135.3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示为坐标x的函数，

11、即Q=Q(x)M=M(x)以上两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。5.3.1 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴的变化规律，把剪力方程和弯矩方程用其图像表示，称为剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图的画法与轴力图、扭矩图很相似，用平行于梁轴的横坐标x表示梁横截面的位置，用垂直于梁轴的纵坐标表示相应截面的剪力和弯矩。在土建工程中，习惯上将正剪力画在x轴上方，负剪力画在x轴的下方；正弯矩画在x轴下方，负弯矩画在x轴的上方，即把弯矩图画在梁受拉的一侧。 5.3.2 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图(1) 求支座反力以梁整体为研究对象，根据梁

12、上的荷载和支座情况，由静力平衡方程求出支座反力。(2) 将梁分段以集中力和集中力偶作用处、分布荷载的起讫处、梁的支承处以及梁的端面为界点，将梁进行分段。(3) 列出各段的剪力方程和弯矩方程各段列剪力方程和弯矩方程时，所取的坐标原点与坐标轴x的正向可视计算方便而定，不必一致。5.3.3 绘制剪力图和弯矩图的步骤绘制剪力图和弯矩图的步骤(4) 画剪力图和弯矩图先根据剪力方程(或弯矩方程)判断剪力图(或弯矩图)的形状，确定其控制截面，再根据剪力方程(或弯矩方程)计算其相应截面的剪力值(或弯矩值)，然后描点并画出整个全梁的剪力图(或弯矩图)。剪力图和弯矩图可以确定梁的最大剪力和最大弯矩值，其相应的横截

13、面称为危险断面。 【例 5.4】悬臂梁如图5.14(a)所示，在自由端B处有集中力P作用，试作此梁的剪力图和弯矩图。【解】(1) 列剪力方程和弯矩方程将坐标原点取在梁右端B点上，取距坐标原点为x的任意截面右侧梁为研究对象。利用计算剪力和弯矩的规律，列出剪力方程和弯矩方程分别为Q(x)=P(0 xl) M(x)=-Px(0 xl) (2) 画剪力图和弯矩图剪力图是一条在x轴线上侧与x轴平行的直线，如图5.14(b)所示。从式(b)可见，弯矩M(x)是x的一次函数，所以弯矩图是一条斜直线。只需确定始末两个控制截面的弯矩值，就能画出弯矩图。由式(b)x=0，MA=0 x=l，MB左=-Pl弯矩图如图

14、5.14(c)所示。从所作的内力图可知，剪力在全梁的所有截面都相等，且处处为最大剪力，其值为Qmax=P；弯矩的最大值发生在固定端，其值为Mmax=Pl。最大剪力和最大弯矩指的是绝对值最大的剪力和弯矩。【例5.5】简支梁如图5.15(a)所示，受均布荷载q作用，试画出梁的剪力图和弯矩图。【解】(1) 求支座反力由于载荷对称，支座反力也对称，有RA=RB=ql/2(2) 列剪力方程和弯矩方程坐标原点取在左端A点处，距原点A为x处的任意截面，其剪力方程和弯矩方程为Q(x)=RA-qx=ql/2-qx(0 xl) M(x)=RAx-qx2/2=ql/2x-qx2/2 (0 xl)(3) 画剪力图和弯

15、矩图由式(a)可见，Q(x)是x的一次函数，所以剪力图是一条斜直线。由式(a)x=0，QA右=ql/2x=l，QB左=-ql/2剪力图如图9.15(b)所示。由式(b)可见，M(x)是x的二次函数，所以弯矩图是一条二次抛物线，至少需要确定三个控制截面的弯矩值，才能描出曲线大致形状。由式(b)x=0，MA=0 x=l/2，MC=ql2/8x=l，MB=0弯矩图如图5.15(c)所示。从所作的内力图可知，最大剪力发生在梁端，其值为Qmax=ql/2，最大弯矩发生在剪力为零的跨截面，其值为Mmax=ql2/8。【例 5.6】简支梁受集中力P作用如图9.16(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。【解】

16、(1) 求支座反力以整梁为研究对象，由平衡方程求支座反力。mB(F)= 0，-RAl+Pb=0RA=Pb/lFy=0，RA+RB-P=0RB=Pa/l(2) 列剪力方程和弯矩方程梁在C截面处有集中力P作用，AC段和CB段所受的外力不同，其剪力方程和弯矩方程也不相同，需分段列出。取梁左端A为坐标原点AC段：Q(x)=RA=Pb/l (0 xa)M(x)=RAx=Pb/lx(0 xa)CB段：Q(x)=RA-P=-Pa/l (axb，则在CB段任一截面上的剪力值都相等且比AC段的要大，其值Qmax=Pa/l，最大弯矩发生在集中力P作用的截面上，其值Mmax=Pab/l。如果集中力P作用在梁的跨中，

17、即a=b=l/2，则Qmax=P/2Mmax=Pl/4【例 5.7】简支梁受集中力偶m作用如图5.17(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。【解】(1) 求支座反力以整梁为研究对象，由平衡方程得mB(F)= 0，RAl-m=0RA=m/lmA(F)= 0，-m-RBl=0RB=-m/l(2) 列剪力方程和弯矩方程梁在C截面处有集中力偶m作用，需分为AC段和CB段。取梁左端A为坐标原点AC段：Q(x)=RA=m/l (0 xa)M(x)=RAx=m/lx(0 xa) CB段：Q(x)=RA=m/l (axl) M(x)=RAx-m=m/lx-m(axl) (3) 画剪力图从式(a)和式(c)可知

18、，AC段和CB段的剪力为常数m/l，剪力图是一条在x轴线上侧与x轴平行的直线。剪力图如图5.17(b)所示。 【例 5.8】外伸梁受荷载作用如图5.18(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。【解】(1) 求支座反力以整梁为研究对象，由平衡方程得mB(F)= 0，q6aa-RA4a=0RA=1.5qamA(F)= 0，RB4a-q6a3a=0RB=4.5qa(2) 列剪力方程和弯矩方程梁在B截面处有支座反力RB作用，需分为AB段和BC段。 AB段：坐标原点取在左端A点处，距原点A为x1处的任意截面，其剪力方程和弯矩方程为Q(x1)=RAqx1=1.5qa-qx1(0 x14a) M(x1)=RA

19、x1-qx21/2=3qa/2x1-q/2x12 (0 x14a) BC段：坐标原点取在右端C点处，距原点C为x2处的任意截面，其剪力方程和弯矩方程为Q(x2)=qx2(0 x22a) M(x2)=-qx22/2 (0 x22a) (3) 画剪力图从式(a)可知，AB段的剪力Q(x1)是x1的一次函数，剪力图是一条斜直线，由式(a) x1=4a，QB左=-2.5qa从式(c)可知，BC段的剪力Q(x2)是x2的一次函数，剪力图也是一条斜直线，由式(c)x2=0，QC=0 x2=2a，QB右=2qa画出剪力图如图5.18(b)所示。(4) 画弯矩图从式(b)可知，AB段的弯矩M(x1)是x1的二

20、次函数，弯矩图是一条二次抛物线，至少需要确定A截面、B截面和极值弯矩截面三个控制截面上的弯矩值，才能画出弯矩图。由式(b) x1=0，MA=0 x1=4a，MB=-2qa2为计算AB段的极值弯矩，首先要确定产生极值弯矩截面的位置。由例9.5知，在剪力为零的截面有弯矩的极值，令Q(x1)=0，有1.5qa-qx1=0得x1=1.5a即距离原点A为1.5a处的截面上剪力为零，该截面上有极值弯矩。将x1=1.5a代入式(b)Mx1=1.5a=1.5qa1.5a-q/2 (1.5a)2=1.125qa2 从式(d)可知，BC段的弯矩M(x2)是x2的二次函数，弯矩图也是一条二次抛物线，由式(d)x2=

21、0，MC=0 x2=2a，MB=-2qa2画出弯矩图如图5.18(c)所示。图5.14图5.14图5.15图5.15图5.16图5.16图5.17图5.17图5.17图5.18图5.18图5.185.4剪力、弯矩与分布载荷集度间的微分关系剪力、弯矩与分布载荷集度间的微分关系(1) 梁上没有均布荷载作用的一段剪力图为一条水平线，弯矩图为一条斜直线。(2) 梁上有均布荷载作用的一段剪力图为一条斜直线，若均布荷载指向向上，其斜率为正，即由左下向右上倾斜(/)；若均布荷载指向向下，其斜率为负，即由左上向右下倾斜()。弯矩图是一条抛物线，抛物线的凸向与均布荷载的指向相同。 5.4.1 剪力图和弯矩图的规

22、律剪力图和弯矩图的规律(3) 梁上集中力作用的截面剪力图发生突变，突变量的绝对值等于集中力的大小。若从左向右作图，突变的方向与集中力方向相同；若从右向左作图，突变的方向与集中力方向相反。弯矩图发生转折。(4) 梁上集中力偶作用的截面剪力图不变。弯矩图发生突变，突变量的绝对值等于集中力偶的力偶矩。 (5) 绝对值最大的弯矩出现在下述截面： 均布荷载作用段内Q=0的截面； 集中力作用的截面； 集中力偶作用处的左右截面。其作图步骤如下：(1) 求支座反力以梁整体为研究对象，根据梁上的荷载和支座情况，由静力平衡方程求出支座反力。(2) 梁的分段和分截面梁的分段原则与列剪力方程和弯矩方程的分段相同，即以

23、集中力和集中力偶作用处、分布荷载的起讫处、梁的支承处以及梁的端面为界点，将梁进行分段。5.4.2 利用内力图的规律作剪力图和弯矩图利用内力图的规律作剪力图和弯矩图分截面原则：对于剪力图，在集中力作用的截面上发生突变，需将集中力作用的截面分出来；对于弯矩图，在集中力偶作用的截面上发生突变，需将集中力偶作用的截面分出来。(3) 画剪力图和弯矩图按照作图方向截面和分段出现的先后顺序，利用剪力图和弯矩图的规律，再结合剪力和弯矩的规律计算各控制截面上的剪力值和弯矩值，依次就可以简捷地画出剪力图和弯矩图。 【例 5.9】如图5.19(a)所示的外伸梁，试画出该梁的剪力图和弯矩图。【解】(1) 求支座反力以

24、整梁为研究对象，由平衡方程得mA(F)= 0，RB4a+qa5a-q4a2a=0RB=3/4qamB(F)= 0，q4a2a+qaa-RA4a=0RA=9/4qa (2) 画剪力图了从左向右作图，根据分段和分截面的原则，梁依次分为A截面、AB段、B截面、BC段和C截面。A截面：有向上的集中力RA作用，Q图向上突变RA=9/4qa。QA右=0+9/4qa=9/4qaAB段：有向下的均布荷载q作用，Q图为一条斜直线()，需确定QA右和QB左。QB左=RA-q4a=-7/4qaB截面：有向上的集中力RB作用，Q图向上突变RB=3/4qa。QB右=-7/4qa+3/4qa=-qaBC段：没有均布荷载作

25、用，Q图为一条水平线。QC左=QB右=-qaBC段：没有均布荷载作用，Q图为一条水平线。QC左=QB右=-qaC截面：有向上的集中力qa作用，Q图向上突变qa，回到x轴线上。画出的剪力图如图5.19(b)所示。(3) 画弯矩图从左向右作图，根据分段和分截面的原则，梁依次分为AB段和BC段。AB段：有向下的均布荷载q作用，M图为一条下凸的二次抛物线。由于该段内有Q=0的截面，需确定MA、MB和极值弯矩。MA=0MB=qaa=qa2为计算极值弯矩，首先确定Q=0的截面位置，距离左端A为x的任意截面Q(x)=RA-qx，令Q(x)=0，有9/4qa-qx=0得x=9/4a该截面上的弯矩，即为极值弯矩，其值Mx=9/4a=RAx-qx2/2= 81/32qa2BC段：没有均布荷载作用，M图是一条斜直线，需确定MB和MC。MC=0画出的弯矩图如图5.19(c)所示