概率论与数理统计学习指导及习题解析第4章　随机变量的数字特征_-修改

1、第 4 章随机变量的数字特征概率论与数理统概率论与数理统计学习指导及习计学习指导及习题解析第题解析第4 4章随章随机变量的数字特机变量的数字特征征第 4 章随机变量的数字特征第一节第一节 知知 识识 梳梳 理理第 4 章随机变量的数字特征第 4 章随机变量的数字特征第 4 章随机变量的数字特征第 4 章随机变量的数字特征第 4 章随机变量的数字特征第 4 章随机变量的数字特征第 4 章随机变量的数字特征2. 方差 1) 方差与标准差定义： 设X是一个随机变量， 若EXE(X)2存在， 则称EXE(X)2为X的方差， 记为D(X)或Var(X)， 即D(X)=Var(X)=EXE(X)2定理：

2、若随机变量X的方差存在， 则有D(X)=E(X2)E(X)2第 4 章随机变量的数字特征2) 方差的性质（1） 设C是常数， 则D(C)=0；（2） 设X是一个随机变量， C是常数， 则有D(CX)=C2D(X)；（3） 设X和Y是两个随机变量， 则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EXE(X)YE(Y)特别地， 若X与Y相互独立， 则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)第 4 章随机变量的数字特征3. 协方差和相关系数1) 协方差和相关系数的概念与性质定义1： 若EXE(X)YE(Y)存在， 则称其为随机变量X与Y的协方差， 记为Cov(X，Y)， 即Cov(X，Y)=EXE(X)YE(Y

3、)第 4 章随机变量的数字特征2) 随机变量的相互独立与不相关的关系定义： 若随机变量X与Y的相关系数XY=0， 则称X与Y不相关。定理： 设随机变量X与Y的相关系数存在， 若X与Y相互独立， 则X与Y一定不相关。第 4 章随机变量的数字特征4. 矩的概念定义： 设X和Y是随机变量， 若ak=E(Xk)(k=1， 2， )存在， 则称 ak 为 X 的 k 阶原点矩， 简称 k 阶矩。 若ck=EXE(X)k(k=2, 3, )存在，则称ck为X的k阶中心矩。第 4 章随机变量的数字特征 第三节第三节 典典 型型 例例 题题【例4.1】 设随机变量X取非负整数值n0的概率为， 已知E(X)=a

4、， 求A与B的值。解 因为pn是X的分布律， 由!nnABpn00e1!nBnnBP XnAAn第 4 章随机变量的数字特征解得 A=eB又01e!1 !nnBnnBA BE XnAABann因此A=ea， B=a第 4 章随机变量的数字特征【例4.2】设随机变量X的概率密度，求Emin(|X|， 1)。 21 1f xx第 4 章随机变量的数字特征解 min,1min,1dEXxf xx 11ddxxx f xxf xx12211111dd11xxxxxx12201221dd11xxxxx11ln22第 4 章随机变量的数字特征【例4.3】 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合密度函数为1s

5、in, 0, 0,222 0, xyxyf x y其他且Z=cos(X+Y)， 求E(Z)和D(Z)。第 4 章随机变量的数字特征解 cos,d dE Zxy f x yx y 22001cossind d2xyxyx y 201cos2cos 2d02xxx 2332012coscosd629D ZE Zxxx第 4 章随机变量的数字特征【例4.4】 某箱装有100件产品， 其中一、 二和三等品分别为80件、 10件和10件， 现从中随机抽取1件， 记试求：（1） 随机变量X1与X2的联合分布； （2） 随机变量X1与X2的相关系数。1,1,2,30,iiXi抽到 等品其他第 4 章随机变量

6、的数字特征解 （1） 以Ai表示抽到i等品(i=1， 2， 3), 于是P(A1)=0.8， P(A2)=0.1， P(A3)=0.1联合分布为PX1=0， X2=0=P(A3)=0.1， PX1=0， X2=1=P(A2)=0.1PX1=1， X2=0=P(A1)=0.8， PX1=1， X2=1=P( )=0第 4 章随机变量的数字特征（2） 因为E(X1)=0.8， E(X2)=0.1， 所以D(X1)=E(X21)E(X1)2=0.80.82=0.16D(X2)=E(X22)E(X2)2=0.10.12=0.09又因为E(X1X2)=000.1+010.1+100.8+110=0第 4

7、 章随机变量的数字特征所以Cov(X1, X2)=E(X1X2)E(X1)E(X2)=00.80.1=0.08故1212Cov0.08230.160.09X XD XD X 第 4 章随机变量的数字特征【例例4.5】 点(X， Y)在以(0， 0)、 (1， 0)和(0， 1)为顶点的三角形D内服从均匀分布， 试求X与Y的相关系数。解 由于三角形的面积为12， 所以(X， Y)的联合密度函数为2,0,x yDf x y其他第 4 章随机变量的数字特征由对称性可知， Y的边缘密度函数与X的相同。又由于10121d3E Xxxx所以 13E Y 而且122201121d918D XE XE Xxx

8、x第 4 章随机变量的数字特征同样 118D Y 所以 11001112dd191291121818xXYxxy yE XYE X E YD XD Y 第 4 章随机变量的数字特征【例4.6】 已知连续型随机变量X的密度函数为求E(X)与D(X)。 2211e, xxfxx 第 4 章随机变量的数字特征解 方法一： 直接法。由数学期望与方差的定义知 211dedxE Xxf xxxx221111ed1 edxxxxx211ed1xx第 4 章随机变量的数字特征 221dD XE XEXxf xx22111edxxx222111eded22 ttttt分部积分第 4 章随机变量的数字特征方法二：

9、 利用正态分布定义求解。由于期望为， 方差为2的正态分布的概率密度为 所以把f(x)变形为2221e2 xx 2211221e122xf x第 4 章随机变量的数字特征易知， f(x)为的概率密度, 因此有11,2N1E X 12D X ，第 4 章随机变量的数字特征【例4.7】 袋中装有N只球， 其中白球数为随机变量， 只知道其数学期望为A， 试求从该袋中摸一球得到白球的概率。 解 摸一球为白球是与袋中有多少个白球紧密相关的， 虽然袋中的白球为随机多个， 但当已知袋中白球个数时， 从袋中摸一球为白球的概率是易知的。 要建立这一条件概率与要求问题的概率的桥梁， 可采用全概率公式。第 4 章随机

10、变量的数字特征记X为袋中的白球数， 则由题设知由此， 若令D=摸一球为白球， 利用全概率公式知0NkAE XkP Xk0NkP DP D Xk P Xk001NNkkkAP Xkk P XkNNN第 4 章随机变量的数字特征【例4.8】设某产品每周需求量为Q， Q的可能取值为1、 2、 3、 4、 5（等可能取各值）， 生产每件产品成本是c1=3元， 每件产品售价c2=9元， 没有售出的产品以每件c3=1元的费用存入仓库。问生产者每周生产多少件产品可使所期望的利润最大？第 4 章随机变量的数字特征解 设每周的产量为N，显然N5。每周利润为L， 则21213,6,104,ccNQNNQNLc Q

11、c NcNQQNQNQN第 4 章随机变量的数字特征所以 6104E LN P QNQNP QNNnNnNnNnN1155145110516261452525NNNNN 27NN第 4 章随机变量的数字特征令， 得N=3.5又因为 d720dE LNN 22d20dE LN 所以当N=3.5时， E(L)达到最大值。第 4 章随机变量的数字特征【例4.9】 设随机变量X与Y均服从标准正态分布N(0， 1)， 它们的相关系数为XY=12， Z1=aX，Z2=bX+cY， 试求a、 b、c的值， 使D(Z1)=D(Z2)=1， 且Z1与Z2不相关。第 4 章随机变量的数字特征解 由题意知221D

12、ZD aXa D Xa2D ZD bXcY 222Cov,b D Xc D YbX cY 222XYbcbcD XD Y22bcbc所以a2=b2+c2+bc=1第 4 章随机变量的数字特征又因为12Cov,Cov,Z ZaX bXcYCov,Cov,abX XacX Y XYabacD XD Y102abac解得第 4 章随机变量的数字特征4.1 设随机变量X的分布律为说明X的数学期望不存在。第四节第四节 习习 题题 全全 解解1541,1,2,5kkkP Xkk 第 4 章随机变量的数字特征证明 只有当E(|X|)+时， 随机变量X的数学期望才存在。因为级数111115454411455k

13、kkkkkkkkkkkk是调和级数， 发散, 所以随机变量X的数学期望不存在。第 4 章随机变量的数字特征4.2 有3只球， 4只盒子， 盒子的编号为1、 2、 3、 4， 将球逐个独立、 随机地放入4只盒子中去。以X表示其中至少有1只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号、 第2号盒子是空的， 第3号盒子至少有1只球）， 试求E(X)。第 4 章随机变量的数字特征解 首先讨论X的分布律。 X=1意味着1号盒子至少有1只球， 其余放入24号盒子。 若1号盒子中有k只球(k1)， 则其余3k只球放入24号盒子。每只球放入1号盒子的概率为14， 放入24号盒子的概率为34，所以333311333

14、71144464kkkkP xC 第 4 章随机变量的数字特征 X=2意味着2号盒子至少有1只球， 其余放入3号或4号盒子。 每只球放入2号盒子的概率为14， 放入3号或4号盒子的概率为12， 所以3333311232192444464kkkkP xC 第 4 章随机变量的数字特征 X=3意味着3号盒子至少有1只球， 其余放入4号盒子。 每只球放入3号盒子的概率为14， 放入4号盒子的概率为14, 所以333331112173444464kkkkP xC 第 4 章随机变量的数字特征 X=4意味着3只球均放入4号盒子。 每只球放入4号盒子的概率为14，所以3114464P x故37197110

15、0251234646464646416E X 第 4 章随机变量的数字特征4.3 设随机变量X的分布律为求E(X)、 E(X2)、 E(3X2+5)。第 4 章随机变量的数字特征解 方法一： 定义法， 即先求Y=X2的分布律， 再用定义求E(Y)=E(X2)。Y的分布律为3110.40 0.41 0.20.2kkkE Xx p 第 4 章随机变量的数字特征则 E(Y)=E(X2)=00.4+10.6=0.6方法二: 随机变量函数的数字特征法， 即32222110.40 0.4 10.20.6kkkE Xx p 根据数学期望的性质知E(3X2+5)=3E(X2)+5=30.6+5=6.8第 4

16、章随机变量的数字特征4.4 设随机变量X的密度函数为f(x)=e2|x|， 求E(X)和E(X2)。解 根据数学期望定义知因为xe2|x|为奇函数, 所以E(X)=0 2dedxE Xxf xxxx第 4 章随机变量的数字特征 2222220ded2edxxE Xx f xxxxxx22222000dee2 edxxxxxxx 22222000dee2 edxxxxxxx 222000deeedxxxxxx 2011e22x 第 4 章随机变量的数字特征4.6 设随机变量XU(a， b)， 求E(2X)和E(e2X)。解 2222abEXE Xab 2222221eeded1ee e2bXxx

17、ababxaEf xxxbababa第 4 章随机变量的数字特征4.7 某工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布， 密度函数为工厂规定， 出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。假设工厂售出一台设备赢利100元， 调换一台设备厂方需花费300元， 试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。 /41e,0,40,0 xxf xx第 4 章随机变量的数字特征解 设Y表示出售一台设备的净赢利， 依题意， 求E(Y)。首先建立Y与X的函数关系， 然后利用X的概率密度求E(Y)。工厂售出一台设备， 其寿命X1年， 可以赢利100元； 若X0是常数, 求E(X)和D(X)。第 4 章随机变量的数字

18、特征解 利用定义和正态分布的数字特征计算, 即2222/22/22021eded222xxxE Xxxxx 利用定义和指数分布的数字特征计算, 即第 4 章随机变量的数字特征4.13 设随机变量服从几何分布， 其分布律为PX=k=p(1p)k1 （k=1， 2， ）其中0p1是常数， 求E(X)和D(X)。第 4 章随机变量的数字特征解 令1p=q， 则 1111111kkkkkkkkE Xk ppkpqpqpq21111qppqpq第 4 章随机变量的数字特征211E XE X XXE X XE X1111111111kkkkkkk kpqpqpqppp22121qppqpp所以222222

19、11ppD XE XE Xppp第 4 章随机变量的数字特征4.15 设随机变量X的密度函数为试求：（1） 常数a的值；（2）5P XE XD X第 4 章随机变量的数字特征解 （1） 由得 d1f xx101d16aaxxx所以a=6。第 4 章随机变量的数字特征(2) 由(1)知X的密度函数为从而 1201d61d2E Xxfxxxxx 122303d61d10E Xx fxxxxx2231110420D XE XE X第 4 章随机变量的数字特征所以1155220 01PXE XD XPXPX 1100d61 d1f xxx xx第 4 章随机变量的数字特征4.16 设随机变量X的分布函

20、数为试确定常数A、B， 并求E(X)和D(X)。第 4 章随机变量的数字特征解 由F(x)的连续性可知 1lim1xF xF 1lim1xF xF，即02AB12AB，解得12A 1B ，第 4 章随机变量的数字特征故X的分布函数为第 4 章随机变量的数字特征 因为第 4 章随机变量的数字特征所以 1211dd0 1E Xxfxxxxx 12222111dd2 1E Xx fxxxxx2212D XE XE X第 4 章随机变量的数字特征4.17 设随机变量X的密度函数为 已知E(X)=2，P1X3=34。 求：（1） a、 b、 c的值；（2） 随机变量Y=eX的数学期望和方差。第 4 章随

21、机变量的数字特征解 （1） 由得即 d1f xx2402dd1ax xcxbx2a+2b+6c=1 第 4 章随机变量的数字特征由得即 d2E Xxf xx24202dd2axxx cxbx8566233abc第 4 章随机变量的数字特征由 31313d4PXf xx即23123dd4ax xcxbx联立解得14a 1b 14c ，第 4 章随机变量的数字特征（2） eedXxE YEf xx240211ede1 d44xxx xxx 4202151eeee444xxxxxx24221111eee14244第 4 章随机变量的数字特征 222eedXxE YEf xx24220211ede1

22、d44xxx xxx 242222021191eeee816168xxxxxx84111ee16816第 4 章随机变量的数字特征 22228421111 eee1168164D YE YE Y2642221111eeeee14244第 4 章随机变量的数字特征4.18 设二维随机变量(X， Y)的密度函数为验证: X与Y不相关， 但X与Y不相互独立。221,2,20,xyf x y其他第 4 章随机变量的数字特征证明 因为22221,d dd d02RxyE XYxyf x yx yxyx y22221,d dd d02RxyE Xxfx yx yxx y所以Cov(X， Y)=E(XY)E

23、(X)E(Y)=0故XY=0， 即X与Y不相关。第 4 章随机变量的数字特征又 211,22,d0,Xxxfxfx yy其他 211,22,d0,Yyyfyf x yx其他 所以fX(x)fY(y)f(x， y)故X与Y不相互独立。第 4 章随机变量的数字特征4.19 设二维随机变量(X，Y)的分布律为验证: X与Y不相关， 但X与Y不相互独立。第 4 章随机变量的数字特征证明 X的边缘分布律为Y的边缘分布律为第 4 章随机变量的数字特征所以3231010888E X 3231010888E Y XY的分布律为第 4 章随机变量的数字特征所以所以故XY=0， 即X与Y不相关。又因为 11,11

24、18P XYP XP Y 第 4 章随机变量的数字特征4.20 二维随机变量(X，Y)的密度函数为求A、E(X)、 E(Y)、 D(X)、 D(Y)、 Cov(X，Y)和XY。sin,0,0,220,Axyxyf x y其他 第 4 章随机变量的数字特征解 由可得2,d d1Rf x yx y 22000202sind ddsindxyAxyx yxAxyy 22220000sin dcos dcos dsin dAx xy yx xy y21A所以12A 第 4 章随机变量的数字特征 222001,d ddsind2RE Xxf x yx yxxxyy222200001sin dcos dc

25、os dsin d2xx xy yxx xy y1224第 4 章随机变量的数字特征 222001,d ddsind2RE Xyf x yx yxyxyy222200001sin dcos dcos dsin d2x xyy yx xyy y1224第 4 章随机变量的数字特征 因为222222001,d ddsind2RE Xx fx yx yxxxyy22222200001sin dcos dcos dsin d2xx xy yxx xy y2282所以2222222824162D XE XE X第 4 章随机变量的数字特征 因为222222001,d ddsind2RE Yy fx yx

26、 yxyxyy22222200001sin dcos dcos dsin d2x xyy yx xyy y2282所以 2222222824162D YE YE Y第 4 章随机变量的数字特征 因为222001,d ddsind2RE XYxyfx yx yxxyxyy222200001sin dcos dcos dsin d2xx xyy yxx xyy y12122所以 2Cov,11244216X YE XYE X E Y 第 4 章随机变量的数字特征 222221Cov,21622162162816 832XYX YD XD Y 第 4 章随机变量的数字特征4.21 二维随机变量(X，

27、 Y)的密度函数为求A、E(X)、 E(Y)、 Cov(X，Y)、 XY和D(X+Y)。第 4 章随机变量的数字特征解 由可得2,d d1Rf x yx y 222200000202sind ddddd 81xyAxyx yAx xyxy yA 所以18A 第 4 章随机变量的数字特征 22222200001,d ddddd81287 836RE Xxf x yx yxxyx xy y第 4 章随机变量的数字特征 22222200001,d ddddd81287 836RE Yyf x yx yx xy yxyy第 4 章随机变量的数字特征 222222200001,d ddddd81324 833RE XYxyf x yx yxxy yx xyy所以 4771Cov,36636X YE XYE X E Y 第 4 章随机变量的数字特征 因为22222223200001,d ddddd81405 833RE Xx f x yx yxxyxxy y22222222300001,d ddddd81405 833RE Yy