抽样器与抽样抽样定理抽样的恢复模拟低通滤波器设计

1、第四章 连续时间信号的数字处理Digital Processing of Continuous-Time Signals麦克风预处理预处理数字处理数字处理后处理后处理语音采样/保持 (S/H)模数转换 (A/D)数模转换数模转换 (D/A) 重构滤波重构滤波( (平滑平滑) )问题：问题：在什么条件下，一个离散时间序列和一个特定的连续时间信在什么条件下，一个离散时间序列和一个特定的连续时间信号是一一对应的？号是一一对应的？如何从抽样数据信号中恢复出原始的连续时间信号？如何从抽样数据信号中恢复出原始的连续时间信号？如何实现如何实现D/AD/A阶梯状连续信号的平滑？阶梯状连续信号的平滑？1.1.

2、对带宽较大的连续信号如何处理？对带宽较大的连续信号如何处理？( (反混叠反混叠) )本章内容 抽样器与抽样抽样器与抽样 抽样定理抽样定理 抽样的恢复（模拟低通滤波器设计）抽样的恢复（模拟低通滤波器设计） 反混叠滤波器设计反混叠滤波器设计 重构滤波器设计重构滤波器设计Anti-aliasing filterS/HA/DD/AReconstructionfilterDSP4.2 4.2 采样定理采样定理采样定理（采样定理（Sampling theoremSampling theorem） 设设 g ga a(t)(t)为一带限信号，频谱满足为一带限信号，频谱满足| | |= |= m m 且且 T

3、 T 2 2 m m，则则 g ga a(t) (t) 由它的抽样离散由它的抽样离散信号信号g gp p(nT) , -(nT) , -n n 唯一确定唯一确定( ( T T=2=2 /T)/T) T T 2 2 m m称为称为Nyquist conditionNyquist condition T T/2/2称为称为folding frequencyfolding frequency m m 称为称为 Nyquist frequencyNyquist frequency 2 2 m m 称为称为 Nyquist rateNyquist rate4.2 4.2 采样定理采样定理 Oversam

4、pling Oversampling 采样频率高于奈奎斯特率采样频率高于奈奎斯特率 Undersampling Undersampling 采样频率低于奈奎斯特率采样频率低于奈奎斯特率 Critical sampling Critical sampling 采样频率等于奈奎斯特率采样频率等于奈奎斯特率 注意注意: : 若在若在g ga a(t)(t)的最高频率的最高频率 m m 处包含有冲激函数，处包含有冲激函数，则抽样率必须高于奈奎斯特率。则抽样率必须高于奈奎斯特率。 如：正弦函数不能由临界抽样得到的离散样本恢复如：正弦函数不能由临界抽样得到的离散样本恢复 满足交谈的声音带宽为满足交谈的声音

5、带宽为3.4 kHz3.4 kHz，因此，因此电话系统中的采样率定为电话系统中的采样率定为 8 kHz8 kHz。 高质量模拟音乐的带宽高质量模拟音乐的带宽 20 kHz20 kHz，因，因此制作此制作CDCD时的采样率定为时的采样率定为44.1 kHz.44.1 kHz.4.2 4.2 采样定理采样定理4.2 4.2 抽样示例抽样示例 例例1 1：三个正弦信号：三个正弦信号: :)6cos()(1ttg)14cos()(2ttg)26cos()(3ttg)26()26()(3jG)14()14()(2jG)6()6()(1jG 相应的相应的 CTFTs :CTFTs :4.2 抽样示例抽样示

6、例4.2 4.2 抽样示例抽样示例 当以抽样间隔当以抽样间隔 T = 0.1 sec, T = 0.1 sec, 即抽样频率即抽样频率 T T =20 =20 rad/sec rad/sec进行抽样时，得到的抽样进行抽样时，得到的抽样信号记为：信号记为：g g1p1p(t), g(t), g2p2p(t) , g(t) , g3p3p(t)(t) 则抽样信号的频谱：则抽样信号的频谱： p p T Tk=-k=- G (jG (j )=10Gj()=10Gj( -k-k ) ,1) ,1 3 34.2 4.2 抽样示例抽样示例 抽样信号的频谱：抽样信号的频谱：4.2 4.2 抽样示例抽样示例 三

7、个抽样信号分别通过三个抽样信号分别通过 c c= = T T/2=10/2=10 和增和增益的理想低通滤波器：益的理想低通滤波器： 对对g g1 1(t)(t)而言而言, ,采样率满足奈奎斯特率采样率满足奈奎斯特率, , 没有没有频谱混叠，可以恢复信号频谱混叠，可以恢复信号 对对g g2 2(t)(t)和和g g3 3(t)(t)而言，采样率不满足条件，因而言，采样率不满足条件，因而存在频谱混叠，不能恢复原信号。而存在频谱混叠，不能恢复原信号。典型模拟低通滤波器幅度响应典型模拟低通滤波器幅度响应 |Ha(j )|4.5 模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器设计(Analog Lowpass Fil

8、ter Specifications)4.5 模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器设计(Analog Lowpass Filter Specifications) 在通带在通带 0 0 p p 内内, , 要求要求 1-1- p p |H |Ha a(j(j )| )| 1+ 1+ p p , | , | | | p p 在阻带在阻带 s s 内内, , 要求要求 |H|Ha a(j(j )| )| s s s s 即即 |H|Ha a(j(j )|)| 以误差以误差 s s 近似趋于近似趋于0 04.5 模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器设计(Analog Lowpass Filter Speci

9、fications) p - 通带截止频率通带截止频率 s - 阻带截止频率阻带截止频率 p - 通带波纹通带波纹 s - 阻带波纹阻带波纹 通带峰值波纹通带峰值波纹 s s1 10 0s s = =- -2 20 0l lo og g ( ( ) )d dB Bp p1 10 0p p = = - -2 20 0l lo og g ( (1 1- - ) )d dB B 最小阻带衰减最小阻带衰减4.5 模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器设计(Analog Lowpass Filter Specifications) 幅度响应的归一化形式幅度响应的归一化形式 通带幅度最大值设定为通带幅度最大值设

10、定为1 1 / (1 + 2) 通带通带波纹，它是通带幅度波纹，它是通带幅度的最小值的最小值 1/A 最大阻带波纹最大阻带波纹 模拟滤波器中的另外两个参数模拟滤波器中的另外两个参数(1) (1) 过度比过度比( (选择性参数选择性参数) )： k = k = p p/ / s s (2) (2) 分辨参数：分辨参数：k k1 1= = / / (A(A2 2 -1) -1)通常通常 k k1 1111其中其中 TN( ) 为为 N N阶切比雪夫多项式阶切比雪夫多项式 : :4.5.2 4.5.2 切比雪夫逼近切比雪夫逼近 典型切比雪夫典型切比雪夫1 1型低通滤波器幅度响应型低通滤波器幅度响应4

11、.5.2 4.5.2 切比雪夫逼近切比雪夫逼近 在在 = = s s 处幅度等于处幅度等于1/A1/A2 2a as s2 22 22 2N Ns sp p1 11 1H H ( (j j ) ) = = =1 1+ + T T ( ( / / ) )A A-1-1-12-121 1-1-1-1-1spspcosh (1/k )cosh (1/k )cosh ( A -1/cosh ( A -1/ ) )N=N=cosh (cosh ( / / )cosh (1/k)cosh (1/k) N N 向上取整向上取整解得：解得：4.5.2 4.5.2 切比雪夫逼近切比雪夫逼近 N N阶切比雪夫阶切

12、比雪夫2 2型型 ( (或称为或称为inverse Chebyshev) inverse Chebyshev) 滤波滤波器的幅度响应器的幅度响应2 2a a2 2NspNsp2 2NsNs1 1H (jH (j ) =) =T (T ( / / ) )1+1+ T (T ( / / ) ) N N由下式决定由下式决定- -1 1- -1 12 21 1- -1 1- -1 1s sp pc co os sh h ( (1 1/ /k k ) )c co os sh h ( ( A A - -1 1/ /) )N N = = =c co os sh h ( ( / / ) )c co os sh

13、 h ( (1 1/ /k k) )4.5.2 切比雪夫逼近切比雪夫逼近 典型幅度响应典型幅度响应4.5.2 切比雪夫逼近切比雪夫逼近- -1 11 1- -1 1c co os sh h ( (1 1/ /k k ) )N N= = = 2 2. .6 60 05 59 9c co os sh h ( (1 1/ /k k) )例：确定切比雪夫低通滤波器的最低阶例：确定切比雪夫低通滤波器的最低阶N，指标为指标为 1dB 截止频率为截止频率为1 kHz，在在5 kHz处最小衰落处最小衰落40 dB.解：由上例得解：由上例得：1/k1=196.51334, 1/k=5则则 N N取取3 34.5

14、.3 4.5.3 椭圆逼近椭圆逼近 Elliptic Approximation其中其中R RN N( ( ) ) 是一有理函数满足是一有理函数满足 R RN N(1/(1/ )=1/ )=1/ R RN N( ( ) ) , , 且分子的根位于且分子的根位于 0 0 1 1，分母的根位于，分母的根位于 1 1 )/(11)(222pNaRjH 幅度响应幅度响应椭圆逼近椭圆逼近 计算计算N N：)/1 (log)/4(log210110kN 21kk) 1 (210kk13090500)(150)(15)(2其中其中4.5.3 椭圆逼近椭圆逼近 例子：见例子：见p156 4.6 4.6 高通，

15、带通和带阻滤波器设计高通，带通和带阻滤波器设计 设计步骤设计步骤: :Step 1:Step 1: 从要设计的模拟滤波器从要设计的模拟滤波器 H HD D(s) (s) 的的指标生成低通滤波器指标生成低通滤波器H HLPLP(s)(s)原型指标原型指标Step 2:Step 2: 设计原型模拟滤波器设计原型模拟滤波器Step 3:Step 3: 由确定低通滤波器原型指标的频率由确定低通滤波器原型指标的频率变换的逆变换，从原型模拟滤波器变换的逆变换，从原型模拟滤波器H HLPLP(s)(s)得到需要的滤波器得到需要的滤波器H HD D(s) .(s) .4.6 高通，带通和带阻滤波器设计高通，带

16、通和带阻滤波器设计 ( ) ( )( )|DLPs F sH sHs1( )( )( )|LPDs FsHsHsS S：模拟低通滤波器原型：模拟低通滤波器原型H HLpLp(s)(s)的拉普拉斯变量的拉普拉斯变量 s待设计的模拟低通滤波器待设计的模拟低通滤波器H HD D(s)(s)的拉普拉斯变量的拉普拉斯变量) s F(s s 的映射关系：与s4.6 4.6 高通滤波器设计高通滤波器设计 频率变换关系频率变换关系:ppss pp 在虚轴上，简化为：在虚轴上，简化为：其中其中p为为HLP(s)的通带截止频率，的通带截止频率， 为为 的通带截止频率。的通带截止频率。 ( )HPHsp4.6 4.

17、6 高通滤波器设计高通滤波器设计4.6 模拟高通滤波器设计模拟高通滤波器设计例例: : 设计一个模拟高通巴特沃兹滤波器设计一个模拟高通巴特沃兹滤波器:pspspspsF = 4kHz,F =1kHz,F = 4kHz,F =1kHz, =0.1dB,=0.1dB, = 40dB= 40dB解：取解：取 p=1有有 24000410002ppssFFFF 则模拟低通滤波器则模拟低通滤波器: p=1, s=4, p=0.1 dB, s=40 dB4.6 模拟高通滤波器设计模拟高通滤波器设计 程序片段程序片段N, Wn=buttord(1, 4, 0.1, 40, s);B, A=butter(N,

18、 Wn, s)num, den=lp2hp(B, A, 2*pi*4000);绘图绘图 模拟带通滤波器设计模拟带通滤波器设计 频率变换关系频率变换关系220pp2p1 ss= s()通带截止频率为通带截止频率为p ，下通，下通带带截止截止频频率率为为 上通上通带带截止截止频频率率为为 p1p2模拟带通滤波器设计模拟带通滤波器设计 在虚轴上，式子简化为在虚轴上，式子简化为220pwB wp2p1B 式中式中 滤波器通带的宽度。滤波器通带的宽度。频率频率 称为通带中心频率称为通带中心频率0低通滤波器的通带截止频率低通滤波器的通带截止频率 映射到带通滤映射到带通滤波器的通带截止频率波器的通带截止频率

19、 和和 。 pp1p2模拟带通滤波器设计模拟带通滤波器设计220pwB 模拟带通滤波器设计模拟带通滤波器设计低通滤波器的阻带截止频率低通滤波器的阻带截止频率 映射到映射到带通滤波器的两个阻带截止频率带通滤波器的两个阻带截止频率 和和 。ss1s2得出得出 20p1p2s1s2 若频带截止频率不满足上式条件，则须改若频带截止频率不满足上式条件，则须改变它们中的一个来保证上式成立。变它们中的一个来保证上式成立。模拟带通滤波器设计模拟带通滤波器设计 情况情况1: 1: p1p2s1s2 使使 可以通过增加阻带截止可以通过增加阻带截止频率或降低通带截止频率中的任何一个来频率或降低通带截止频率中的任何一

20、个来满足条件，如下图所示满足条件，如下图所示p1p2s1s2 模拟带通滤波器设计模拟带通滤波器设计122(1)/sspp1将降低到新的通带将大于原来所求的通带新的通带将大于原来所求的通带左边的过渡带将小于原来的值左边的过渡带将小于原来的值122(2)/ppss1将增加到模拟带通滤波器设计模拟带通滤波器设计情况情况2: p1p1s1s1 使使 ，可以通过增加通带截止频率，可以通过增加通带截止频率或降低阻带截止频率来满足条件，如下图所示或降低阻带截止频率来满足条件，如下图所示p1p1s1s1 模拟带通滤波器设计模拟带通滤波器设计2121(2)/spps将降 低 到新的通带将大于原来所求的通带新的通带将大于原来所求的通带2121(1)/pssp将增加到右边的过渡带将小于原来的值右边的过渡带将小于原来的值模拟带通滤波器设计模拟带通滤波器设计 例例: : 设计一个具有如下指标的模拟椭圆带通滤波器设计一个具有如下指标的模拟椭圆带通滤波器: :p1p2s1s2psF4kHz,F7kHz,F3kHz,F8kHz,1dB,22dB66p1 p2s1 s2 Now F F28 10 and F F24 10p1 p2s1 s2 Since F FF F we choosep1s1 s2p2 FF F /F3.571428 kHz模拟带通滤波器设计模拟带通滤波器