第五讲机器人运动学

1、3.2 3.2 齐次变换及运算齐次变换及运算 结论：左乘和右乘原则： 绝对运动变换矩阵左乘，即先做的在右边，后做的在左边。 相对运动变换矩阵右乘，即先做的在左边，后做的在右边。3.2 3.2 齐次变换及运算齐次变换及运算例：已知坐标系B先绕坐标系A的z轴旋转90，再绕坐标系A的x轴旋转90，最后沿矢量P=3i-5j+9k平移得到，求：坐标系A与B之间的齐次坐标变换矩阵MAB。解：绝对运动，左乘原则。 MAB=Trans(3,-5,9)Rot(x,90)Rot(z,90) 如果上述运动为相对运动，则应用右乘原则。有 ： MAB=Rot(z,90)Rot(x,90)Trans(3,-5,9)第第3

2、 3章章 机器人运动学机器人运动学3.1 3.1 刚体的位姿描述刚体的位姿描述3.2 3.2 机器人运动学方程机器人运动学方程3.3 3.3 运动方程的解运动方程的解3.4 3.4 微分运动与雅克比矩阵微分运动与雅克比矩阵3.2.1 Denavit-Hartenberg（D-H）描述法3.2 机器人运动学方程机器人运动学方程内容： 坐标系系统的建立、杆件参数和运动变量的定义。3.2 机器人运动学方程机器人运动学方程机器人运动功能符号： 移动关节（P）: 没有轴，只有方向。 转动关节（R）： 有转动轴。 机座或基础连杆：手部或末端执行器：3.2 机器人运动学方程机器人运动学方程机器人运动功能符号

3、 在机器人学中为什么采用D-H描述方法？ 1、物理意义明确。 2、对应的变换矩阵简单。 3、方法简单，使用面广，便于交流。3.2.1 D-H描述法一、建立坐标系系统 目标： 用坐标系描述机器人中各连杆的位姿。建立坐标系的原则： 1）反应几何和运动特征关系，便于表示杆件几何参数及运动参数。 2）使用方便，符合习惯，如右手法则。 3.2.1 D-H描述法机器人学中的坐标系主要包括： 1、笛卡尔空间的绝对（或全局、任务）坐标系。一般建立在工作现场地面上，用于定义需要完成的任务。 2、固连在杆件上、与其一起运动的杆件（或活动、当前）坐标系。 3、基座坐标系：建立在机器人基座上，是机器人的公共参考坐标系

4、，也称固定（或基础参考）坐标系。 4、末端执行器坐标系，与末端执行器相固连。 3.2.1 D-H描述法与连杆坐标系建立 杆件的编号：从基础连杆（机座）开始，依次编号为0、1、2、3、n号杆件，其中，n为末端执行器。 关节编号：第i杆件绕其作转动的关节（即i杆件的下关节）记为 i号关节，它是连接第 i 连杆与第 i-1连杆的运动副。 坐标系编号：编号为 i的坐标系Fi(即Oi-xiyizi) 被固连在第 i号杆件上。3.2.1 D-H描述法2、建立坐标系、建立坐标系1）杆件坐标系i，i=1，2，n zi轴与关节轴线重合， zi轴的正方向没有明确规定，应尽可能一致；移动关节只定义了方向，zi轴可以

5、位于平行于移动方向的任意位置，通常取移动关节的中心。 由于每个连杆有两条轴线，根据坐标系的zi轴与那条关节轴线一致，建立杆件坐标系可有两种做法： 第一种： zi轴与i+1关节轴线重合，称前置模式。 第二种： zi轴与i关节轴线重合，称后置模式。3.2.1 D-H描述法与连杆坐标系建立 xi轴与i杆件的两关节轴线的公垂线重合，方向指向下一个杆件，坐标系原点位于公垂线在轴线上的垂足处。 注意： 如果i杆件的两个轴相交，则规定其单位矢量为xi =zi+1 x zi；如果两轴平行，Xi轴位置自定，一般选在杆件上。 例：前置坐标系 i坐标系的z轴与i+1关节轴线重合。建立坐标系建立坐标系x0z0o001

6、23关节关节1关节关节2关节关节3y2x2o2z3x3o3x1z1o1建立坐标系建立坐标系例：后置坐标系： i坐标系的z轴与i关节轴线重合。 后置坐标系在各种文献中应用较多。例：三维立体说明2）机座坐标系，也称0杆坐标系。 它一般静止不动；作为参考坐标系，其他连杆坐标系都可以相对它来定义。 机座坐标系的创建具有任意性，一般： z轴：一般垂直向上，即与重力加速度反向。 x轴：沿工作空间的对称平面内，指向其余杆件所在初始位置。 为计算方便，机座坐标系的原点经常与1号连杆坐、标系的原点重合，使杆件参数为零。x0z0o0建立坐标系建立坐标系2、建立坐标系建立坐标系3）手部坐标系h 在前置杆件坐标系下，

7、h与末端执行器坐标系n重合。建立坐标系建立坐标系3）手部坐标系h 在第后置杆件坐标系下，h与末端执行器n坐标系的方向保持一致。oh0123关节关节1关节关节2关节关节3y2x2o2z3x3o3x1z1o1Zhxhx0z0o03.2.1 D-H描述法与连杆坐标系建立二、机器人构形的描述 机器人机构是由一系列杆件组成的，确定机器人构型涉及的参数有两类：连杆（Link）的几何参数及两相邻连杆间的运动参数。 1）、连杆的几何描述 连杆的主要几何特征是其两端的轴线间的位置关系，可以用两个参数来确定： （1）连杆的长度ai。 （2）连杆两端轴线之间的钮角 i。 在机器人运动中，杆件的几何参数通常为定值。3

8、.2.1 D-H描述法与连杆坐标系建立 （1）连杆的长度ai：连杆两端轴线之间的公垂线长度。 （2）连杆钮角i（-180 i 180）：两端轴线之间在公垂线方向的夹角。特点：杆长沿xi方向。扭角以xi为转轴。（1）关节平移量di 相邻杆件的长度在关节轴线zi上的距离。3.2.1 D-H描述法与连杆坐标系建立2）连杆间的运动参数： 描述两连杆之间的运动关系。（2）关节转量i 相邻两个杆件的长度在关节轴线上的夹角定义为关节转动量i 。3.2.1 D-H描述法与连杆坐标系建立例：三维立体说明 当两连杆发生相对运动时，关节的运动参数将发生变化，如果关节是平移关节，则平移量di会变化；如果是回转关节；则

9、关节回转量i会变化。 我们将这些运动时会发生变化的量称为关节变量。对于每一个关节，都有一个关节变量和三个参数。n个关节的操作臂有n个关节变量，他们构成n维矢量。 用上述连杆几何参数和运动参数来描述机器人机构运动关系的方法称为Denzvit-Hartenberg方法，简称D-H法。3.2.1 D-H描述法与连杆坐标系建立3.2.1 D-H描述法 注意： 由于杆件坐标系的Z轴的指向可任选；另外，在与杆件相连的两轴线相交的情况下，x轴可有两个不同指向；因此，D-H描述的结果具有非唯一性，即可能参数符号不一致。3.2.2 机器人运动学方程3.2.2 机器人运动学方程 目标：建立笛卡尔空间m与关节空间q

10、之间的数学关系。 机器人运动学的一般模型为： M= f(qi)， i=1，n M机器人末端执行器的位姿。 qi机器人各个关节变量。 若给定qi，要求确定相应的M，称为正运动学问题，简记为DKP。 如果已知末端执行器的位姿M，求解对应的关节变量，称为逆运动学（Inverse Kinematics）问题，简记为IKP。3.2.2 机器人运动学方程为什么求正运动学问题的解？ 检验、校准机器人；计算工作空间等。为什麽研究逆运动学问题解？ 路径规划、机器人控制等，但求解困难。机器人正运动学问题的特点： 求解容易，具有唯一性。机器人逆运动学问题的特点： 1、一般求解方程组是由一些非线性的、超越、难解的方程

11、组成。 2、必须关心解的存在性、多解性、可解性和求解方法。3.2.2 机器人运动学方程运动学逆解的求解方法 不像线性方程，不存在通用算法。逆解的形式： 1)闭式解(Close-form solution):用解析函数式表示解。求解速度快。 仅仅在一些特别简单的或特殊的情况下，存在解析的闭式解。 2）数值解：递推求解，不易求出所有解。逆解的求解方法： 1、代数法。2、几何法。3、数值法。3.2.2 机器人运动学方程问：i坐标系的位姿如何在i-1坐标系中表示。 1）关节运动变量的统一表示 设平移关节变量为di，回转关节变量为i，则广义关节变量表示为：其中：iiiiidssq)1 ( 为为移移动动关

12、关节节为为转转动动关关节节iisi,0,13、求解相邻杆件的位姿矩阵2）相邻杆件位姿矩阵 a、前置模式试分析坐标系i-1坐标系i的变换过程。 从图中可看出，由i-1到i的变换，仅涉及i杆件的参数，这时： 1、杆长:沿xi轴从zi-1到zi的距离。 2、扭角：绕xi从zi-1转到zi的角度。 3、平移量：沿zi-1轴从xi-1轴量至xi轴的距离。 4、转角：绕zi-1轴从xi-1轴到xi的转角。3、求解相邻杆件的位姿矩阵I、i-1i变换过程 a、Trans（0，0，di） b、Rot（z，i）； c、Trans（li，0，0） d、Rot（x，i）注意：用的都是i下标参数，即同一杆件的参数。ii

13、-1lii关节关节idiXi-1Z i-1Oi-1XiZiOii3、求解相邻杆件的位姿矩阵II、单步齐次变换矩阵 10000cossin00sincos00001,1000010000100011000010000cossin00sincos,100010000100001iiiidiciiiibiaMlMMdM 3、求解相邻杆件的位姿矩阵III、相邻杆件的位姿矩阵 相对运动，用右乘 1000cossin0sinsincoscoscossincossinsincossincos10000cossin00sincos0001100010000cossin00sincos)()(1iiiiiiii

14、iiiiiiiiiiiiiiiiiiidcbaiidllldMMMMM 3、求解相邻杆件的位姿矩阵III、相邻杆件的位姿矩阵关关节节变变量量iqqfMdssqdllMiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii),()1(1000cossin0sinsincoscoscossincossinsincossincos11 3、求解相邻杆件的位姿矩阵注意：由于平移是沿转动轴方向进行的，因此，作为特例， 前两步之间可以交换顺序，后两步之间也可以交换顺序，即： 10000cossin00sincos0001100010000cossin00sincosiiiiicddciiiiiabbal

15、MMMMdMMMM 3、求解相邻杆件的位姿矩阵b、后置模式 建立坐标系i-1、i，试分析i-1i的变换过程。ii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi 从图中可看出，由i-1到i的变换，涉及i-1杆件和i杆件的参数，这时： 1、杆长ai-1:沿xi-1轴从zi-1到zi的距离。 2、扭角 ：绕xi-1从zi-1转到zi的角度。 3、平移量di：沿zi轴从xi-1轴量至xi轴的距离。 4、转角i：绕zi轴从xi-1轴到xi的转角。1i3、求解相邻杆件的位姿矩阵第二种坐标系 I、i-1i变换过程a、Trans（li-1，0，0）；b、Rot（x，i-1）；c、Trans（0，0，di

16、）；d、Rot（z，i）。注意：用i下标运动参数和i-1下标杆件几何参数，即用到i杆件的几何参数和i+1杆件的运动参数。ili-1i-1i关节关节idiXi-1Z i-1Oi-1XiZiOii-13、求解相邻杆件的位姿矩阵II、单步齐次变换矩阵 1000010000cossin00sincos,10001000010000110000cossin00sincos00001,10000100001000111111iiiidiciiiibiaMdMMlM 3、求解相邻杆件的位姿矩阵III、相邻杆件的位姿矩阵 1000coscoscossinsinsinsinsincoscossincos0sin

17、cos100010000cossin00sincos10000cossin00sincos0001)()(111111111111111iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiidcbaiiddldlMMMMM 3、求解相邻杆件的位姿矩阵III、相邻杆件的位姿矩阵关关节节变变量量iqqfMdssqddlMiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii),()1(1000coscoscossinsinsinsinsincoscossincos0sincos11111111111 3.3.1 机器人运动学方程及D-H表示法4、建立方程 求出了相邻杆件之间的位姿矩阵：后，就可容

18、易地得到手部相对基座的位姿矩阵：nh1n-n1201MMMM、各个关节变量。手相对基座的位姿。则：、又：ihihhqMniqfMqfMqfMqfMMMMMM00n1n-n212101nh1n-n12010, 2 , 1),()()()(此式被称作机器人的正运动学方程。3.2.2 机器人运动学方程例1：已知三自由度平面关节机器人如图所示，设机器人杆件1、2、3的长度为l1，l2，l3。建立机器人的运动学方程。 l1l3l23.3 3.3 机器人运动学方程机器人运动学方程解：（1）建立坐标系(前置) a、机座坐标系0 b、杆件坐标系i c、手部坐标系h （与末端杆件坐标系 n重合） l1l3l2x

19、0y0y1x1y2x2y3hx3hZ轴方向都向外3.3 3.3 机器人运动学方程机器人运动学方程解：（2）确定参数 各轴线相互平行，各杆件处于同一平面内。l1l3l2x0y0y1x1y2x2y3hx3h i dii lii qi 1 01 l1 01 2 02 l2 02 3 03 l3 033213.3 3.3 机器人运动学方程机器人运动学方程解：（3）相邻杆件位姿矩阵l1l3l2x0y0y1x1y2x2y3hx3h321 1000010000100001000010001100001000000)0 , 0 ,(),(11111111111111101 slcsclsclcssclTran

20、szRotM3.3 3.3 机器人运动学方程机器人运动学方程l1l3l2x0y0y1x1y2x2y3hx3h3211000010000)0 , 0 ,(),(同理可得：222222222212slcsclsclTranszRotM3.3 3.3 机器人运动学方程机器人运动学方程l1l3l2x0y0y1x1y2x2y3hx3h321 1000010000)0 , 0 ,(),(3333333333)(23 slcsclsclTranszRotMh同理可得：同理可得：3.3 3.3 机器人运动学方程机器人运动学方程（4）建立方程将相邻杆件位姿矩阵依次相乘，则有： 10000100001233122

21、11123123123312211123123)(2312010 slslslcsclclclscMMMMhh)sin(),cos(321123321123 sc式中：式中：)sin(),cos(21122112 sc3.3 3.3 机器人运动学方程机器人运动学方程若用矩阵形式表示，则为： 10000100001000123312211123123123312211123123 slslslcsclclclscpaonpaonpaonzzzzyyyyxxxx3.3 3.3 机器人运动学方程机器人运动学方程若用方程组形式表示，则为：若用方程组形式表示，则为： 123312211123312211

22、123123123123 slslslpclclclpcososncnyxyxyx3.3 3.3 机器人运动学方程机器人运动学方程例1：已知三自由度平面关节机器人如图所示，设机器人杆件1、2、3的长度为l1，l2，l3。建立机器人的运动学方程。 l1l3l23.3 3.3 机器人运动学方程机器人运动学方程解解：（1 1）建立坐标系）建立坐标系( (后置后置) ) a a、机座坐标系、机座坐标系0 0 b b、杆件坐标系、杆件坐标系i i c c、手部坐标系、手部坐标系h h （与末端杆件坐标系（与末端杆件坐标系 n n方向一致）方向一致） l1l3l2x0y0y1x1y2x2y3x3yhxh3

23、.2.2 机器人运动学方程解：（1）建立坐标系（后置） a、杆件坐标系123。 c、末端执行器坐标系4。3.2.2 机器人运动学方程解：（2）确定参数 各轴线相互平行，各杆件处于同一平面内。 i bii aii qi 1 01 l1 01 2 02 l2 02 3 03 l3 031233.2.2 机器人运动学方程解：（3）相邻杆件位姿矩阵1000010000100001000010001100001000000)0 , 0 ,(),(11111111111111112slcsclsclcsscaTranszRotT1233.2.2 机器人运动学方程1000010000)0 , 0 ,(),(

24、同理可得：222222222223slcsclscaTranszRotT1233.2.2 机器人运动学方程1000010000)0 , 0 ,(),(3333333333)(34slcsclscaTranszRotTh同理可得：1233.2.2 机器人运动学方程（4）建立方程将相邻杆件位姿矩阵依次相乘，则有： 100001000012331221112312312331221112312334231214slslslcsclclclscTTTT)sin(),cos(321123321123 sc式中：式中：)sin(),cos(21122112 sc3.2.2 机器人运动学方程 为了说明上述位姿矩阵中各元素的作用，可写为： 10000100001000123312211123123123312211123123 slslslcsclclclscpaonpaonpaonzzzzyyyyxxxx 同学们回想一下，这里向量N、O、A和P的含义。手部相对基座的位姿关节变量表示3.2.2 机器人运动学方程若用方程组形式表示，则为：若用方程组形式表示，则为： 123312211123312211123123123123 slslslpclclclpcososncnyxyxyx可见：用前置和后置两种方法得到的该机器人的