第2章电路的分析方法

1、第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 第第2章章 电路的分析方法电路的分析方法 2.1 支路电流法支路电流法 2.2 叠加定理叠加定理2.3 戴维南定理戴维南定理思考题与习题思考题与习题 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 2.1 支支 路路 电电 流流 法法 支路电流法是电路分析中普遍适用的求解方法， 它可以在不改变电路结构的情况下， 以各支路电流为待求量， 利用基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律列出电路的方程式， 从而求解出各支路电流。 支路电流法的求解规律可以通过下面的实例来说明。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 图2-1 例2-1的电路 e1r1i1ab

2、e2r2i2ri第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 例2-1 电路如图2-1所示， 已知e1=50 v， r1=10 , e2=20 v， r2=10 ， r=30 。 试求各支路电流及各电源的功率。 解 先假定各支路电流的参考方向如图2-1所示。 根据基尔霍夫电流定律ik=0， 列出节点电流方程。 图2-1所示的电路共有a和b两个节点， 对于节点a有 -i1-i2+i=0 对于节点b有 i1+i2-i=0第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 将节点a的方程乘以-1， 就是节点b的方程， 因此， 节点a与节点b的方程只有一个是独立的。 对于节点电流方程， 有如下的结论： 若电

3、路有n个节点， 则可以列出n-1个独立的节点电流方程。 本例中选取节点a的电流方程作为独立方程， 将其记作式。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 根据基尔霍夫电压定律rkik=ej， 列出回路电压方程。 同样， 所列的回路电压方程应该是独立的， 为此， 选定的每一个回路必须至少包含一条新的支路。 为简单起见, 通常选择网孔列回路电压方程。 所谓网孔， 是指平面电路（画在平面上不出现支路交叉的电路）中的一个回路， 在它所包围的范围内不存在其他支路， 如本例中的回路和回路。 选定回路和回路的循行方向如图2-1所示。 对于回路有 r1i1-r2i2=e1-e2 第第2 2章章 电路的分析

4、方法电路的分析方法 对于回路有 r2i2+ri=e2 将回路和回路的电压方程分别记作式和式。 本例中共有三条支路， 相应的有三个待求电流i1、 i2和i， 为了求解待求的支路电流， 需要三个独立的方程。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 联立、 、 式， 代入数据， 解方程组， 求出支路电流。 -i1-i2+i=0 10i1-10i2=50-20 10i2+30i=20 解得 i1=2 a， i2=-1 a， i=1 a第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 电压源e1吸收的功率为 p1=-e1i1=-502=-100 w 电压源e2吸收的功率为 p2=-e2i2=-20(-

5、1)=20 w 由此可知, 电压源e1发出100 w的功率， 电压源e2吸收20 w的功率。 当两个电动势相差较大的电源并联时， 其中一个电源不但不发出功率， 反而吸收功率成为负载。 在实际的供电系统中， 直流电源并联时， 应使两电源的电动势相等， 内阻接近。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 通过例2-1的求解过程可以总结出支路电流法的解题步骤如下： (1) 假定各支路电流的参考方向， 如果电路具有n个节点， 根据基尔霍夫电流定律列出（n-1）个独立的节点电流方程。 (2） 如果电路有b条支路， 根据基尔霍夫电压定律列出（b-n+1）个独立的回路电压方程。 通常选择网孔作为回路。

6、 （3） 解方程组， 求出n个支路电流。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 如果电路中具有电流源， 应将电流源的端电压作为待求量计入回路电压方程中， 为此， 应先选定电流源端电压的参考方向。 此时， 电流源所在支路的电流为已知的电流源的电流， 方程组中待求量的数目仍然不变。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 例2-2 电路如图2-2所示。 已知e1=4 v， r1=10 , e2=2 v， r2=10 ， is=1 a， 求电路中各电源的功率及两电阻吸收的功率。 解 假定各支路电流及电流源端电压的参考方向如图2-2所示。 根据基尔霍夫电流定律得 i1+is-i2=0 选

7、定回路和回路的循行方向如图2-2所示。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 图2-2 例2-2的电路 e1r1i1e2r2i2isu第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 根据基尔霍夫电压定律得 回路：r1i1+u=e1 回路：r2i2-u=-e2 联立方程、 、 ， 代入数据后得 i1+1-i2=0 10i1+u=4 10i2-u=-2第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 解方程组得 i1=-0.4 a, i2=0.6 a, u=8 v 电压源e1吸收的功率为 p1=-e1i1=-4(-0.4)=1.6 w 电压源e2吸收的功率为 p2=e2i2=20.6=1.2 w

8、 电流源is吸收的功率为 ps=-uis=-81=-8 w （实为发出功率）第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 两电阻吸收的功率为 p=i21r1+i22r2=(-0.4)210+0.6210=5.2 w 可见， ps=p1+p2+p， 整个电路中发出的功率等于吸收的功率。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 2.2 叠加定理叠加定理 对于无源元件来讲， 如果它的参数不随其端电压或通过的电流而变化， 则称这种元件为线性元件。 比如电阻， 如果服从欧姆定律u=ri， 则r=u/i为常数， 这种电阻就称为线性电阻。 由线性元件所组成的电路称为线性电路。 第第2 2章章 电路的分

9、析方法电路的分析方法 叠加定理是线性电路普遍适用的基本定理， 它反映了线性电路所具有的基本性质。 其内容可表达为在线性电路中， 多个电源（电压源或电流源）共同作用在任一支路所产生的响应（电压或电流）等于这些电源分别单独作用在该支路所产生响应的代数和。 在应用叠加定理考虑某个电源的单独作用时， 应保持电路结构不变， 将电路中的其他理想电源视为零值， 亦即理想电压源短路， 电动势为零； 理想电流源开路， 电流为零。 下面通过实例说明应用叠加定理分析电路的方法。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 例2-3 电路如图2-3(a)所示， 求电路中的电流il。 图2-3 例2-3的电路 1 a

10、3 v5 5 il(a)1 a5 5 (b)li3 v5 5 (c)li 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 解 图2-3（a）所示的电路中共有两个电源。 先考虑电流源单独作用， 此时电压源视为短路， 如图2-3(b)所示， 由图可知ail5 . 05555 再考虑电压源单独作用， 此时电流源视为开路， 如图2-3(c)所示， 由图可知ail3 . 0533 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 叠加后得 i=i l +il =0.5-0.3=0.2 a 受控源在没有其他电源激励的情况下不可能独立存在， 不能将受控源视为独立电源。 如果电路中含有受控源， 在考虑某个电源单独作

11、用时， 受控源应保留在原处。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 例2-4 电路如图2-4(a)所示， 求电压u1。 图2-4 例2-4的电路3 (a)2 a2u12 u14 v3 (b)2 a2 u21u3 (c)2 4 v1u 12u 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 解 这是一个含有受控源的电路。 按叠加定理， 分别作出电流源单独作用的电路如图2-4(b)所示， 电压源单独作用的电路如图2-4(c)所示。 在图2-4(b)和图2-4(c)中， 都将受控电压源保留在了原处， 相应的控制量分别标为u1和u1。 对于图2-4(b)， 根据基尔霍夫电流定律， 可列出节点电流

12、方程vuuuu12232211解得 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 对于图2-4(c)， 根据基尔霍夫电压定律， 可列出回路电压方程vuuuvuuuu4812842321111111 解得 则有 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 使用叠加定理时应注意以下几点： （1） 叠加定理只适用于分析线性电路中的电压和电流， 而线性电路中的功率或能量与电流、 电压成平方关系， 不具有叠加的性质。 （2） 叠加定理反映的是电路中理想电压源或理想电流源所产生的响应， 而不是实际电源所产生的响应， 所以实际电源的内阻必须保留在原处。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 （3）

13、 叠加时应注意原电路中各电压和电流与各电源单独作用下各分电压和分电流的参考方向。 以原电路中电压和电流的参考方向为准， 分电压和分电流的参考方向与其一致时取正号， 不一致时取负号。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 2.3 戴戴 维维 南南 定定 理理 在电路计算中， 有时只需计算电路中某一支路的电流和电压， 如果使用支路电流法或叠加定理来分析， 会引出一些不必要的电流， 因此常使用戴维南定理来简化计算。 在讨论戴维南定理之前， 先介绍一下二端网络的概念。 任何具有两个端点与外电路相连接的网络， 不管其内部结构如何， 都称为二端网络。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法

14、图2-5(a)、 (b)所示的两个网络都是已知电路结构的二端网络。 根据网络内部是否含有电源又分为有源二端网络和无源二端网络。 图2-5(a)是无源二端网络， 图2-5(b)是有源二端网络。 一般情况下， 有源二端网络可用一个带有字母a的方框加两个引出端表示， 无源二端网络可用一个带有字母p的方框加两个引出端表示， 有源二端网络与无源二端网络的连接方法如图2-5(c)表示。 很显然， 一个有源支路是最简单的有源二端网络， 一个无源支路是最简单的无源二端网络， 它们的连接如图2-5(d)所示。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 图2-5 二端网络的概念ab(a)cd(b)r1e1r2

15、e2apcadb(c)er0cadb(d)r第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 任何一个无源线性二端网络， 其端电压与端点电流之间是符合欧姆定律的， 它们的比值是一个常数， 因此， 任何一个线性无源二端网络都可以用一个等效电阻来代替， 该等效电阻也称为无源二端网络的入端电阻。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 戴维南定理又称等效电压源定理。 可叙述如下： 任一线性有源二端网络， 对其外部电路来说， 都可用一个电动势为e的理想电压源和内阻r0相串联的有源支路来等效代替。 这个有源支路的理想电压源的电动势e等于网络的开路电压u0 ， 内阻r0 等于相应的无源二端网络的等效电阻

16、。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 所谓相应的无源二端网络的等效电阻， 就是原有源二端网络所有的理想电压源及理想电流源均除去后网络的入端电阻。 除去理想电压源， 即e=0， 理想电压源所在处短路； 除去理想电流源， 即is=0， 理想电流源所在处开路。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 例2-5 试用戴维南定理求解例2-1中通过电阻r的电流i。 解 将例2-1中的电路重画， 如图2-6(a)所示， 图中点划线框内是一有源二端网络， 根据戴维南定理可用一电动势为e的理想电压源和内阻r0 相串联的有源支路来等效代替， 如图2-6(b)所示。 其理想电压源的电动势e为a、

17、b两端的开路电压u0 ， 可由图2-6(c)求得, 即aeeeei5 . 11010205021211第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 故 e=u0=r2i1+e2=101.5+20=35 v 其内阻r0 为a、 b两端无源网络的入端电阻， 可由图2-6(d)求得, 即arreirrrrr130535510101010021210于是由图2-6(b)可得这与例2-1求得的结果相同。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 图2-6 例2-5的电路 r1e1r2e2ri(a)r0eri(b)第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 图2-6 例2-5的电路 r1e1r2e2

18、abu0i1abr0r1r2(c)(d)第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 例2-6 电路如图2-7(a)所示， 已知e=10 v， r1=4 , r2=6 ， r3=8 , r4=2 ， r5=6 ， 求通过电阻r5的电流i5 。 解 将电阻r5 所在的支路抽出， 如图2-7(b)所示， 点划线框内为一有源二端网络， 根据戴维南定理， 它可以用一电动势为e的理想电压源和内阻r0 相串联的有源支路来等效代替。 电动势e和内阻r0可分别由图2-7(c)和图2-7(d)求得。 由图2-7(c)可知第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 故 e=u0=r2i1-r4i2=61-21=

19、4 v 由图2-7(d)可知arreiarrei1281016410432211428286464434321210rrrrrrrrr第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 最后由图2-7(e)求出电流i5 arrei4 . 0644505 本例中， 由r1、 r2、 r3、 r4构成的是一个电桥电路， 理想电压源e称作电桥的激励。 电桥的一个重要性质是当电桥平衡时， 通过电桥对角线支路的电流（本例中i5）为零。 为此， 必须有e=u0=0， 由图2-7(c)可知043421224120rrerrreririrue第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 图2-7 例2-6 的电路e

20、(a)bdacer5i5r1r2r4r3(b)acbdr1r3r4r2r5i5第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 图2-7 例2-6 的电路acer1r2r4r3(c)bdi1i2(d)r1r2r4r3u0bdr0(e)r0i5r5dbe第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 这就是电桥平衡的条件。 利用电桥的平衡原理， 当三个桥臂的电阻为已知时， 可准确地测出第四个桥臂的电阻。 4132344212rrrrrrrrrr则 于是 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 戴维南定理告诉我们， 有源二端网络可以用电压源来等效代替， 而电压源与电流源可以等效变换， 因此有源二端

21、网络也可用电流源来等效代替。 如图2-8所示， 图2-8(a)的电压源可以变换成如图2-8(b)所示的电流源。 图2-8(b)中的is=e/r0即为网络的短路电流。 这一关系可用诺顿定理叙述如下： 任一线性有源二端网络， 对其外部电路来说， 可用一个电流为is的理想电流源和内阻r0相并联的有源支路来等效代替。 其中, 理想电流源的电流is等于网络的短路电流， 内阻r0等于相应的无源二端网络的等效电阻。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 图2-8 戴维南定理与诺顿定理的关系er0u0(a)u0(b)r0is第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 例2-7 如图2-9(a)所示的

22、二端网络， 用内阻为1 m的电压表去测量时其开路电压为30 v， 用内阻为500 k的电压表去测量时其开路电压为20 v。 试将该网络用有源支路来代替。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 图2-9 例2-7的图 av11 m30 vv2500 k20 v(a)r0e1 m30 vi1500 k20 vi2(b)第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 解 用电压表测量网络开路电压的等效电路如图2-9(b)所示。 由图2-9(b)可知201050010500301010330660rere解得 e=60 v r0=106 =1 m 本例提示我们， 戴维南定理可用于校正非理想电压表

23、测量的电压。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 应用戴维南定理与诺顿定理求解电路时， 需要注意下面两个问题： (1) 戴维南或诺顿等效电路只能对线性的有源二端网络进行等效， 不能对非线性的有源二端网络进行等效。 但外电路不受此限制， 即外电路既可以是线性电路, 也可以是非线性电路。 (2) 戴维南或诺顿等效电路只在求解外电路时是等效的， 当求解有源二端网络内部的电压、 电流及功率时， 一般不等效。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 本章小结本章小结 支路电流法是求解电路最基本的方法。 它以支路电流为待求量， 应用基尔霍夫定律列出电路方程。 当电路有n个节点b条支路时，

24、可列(n-1)个独立的电流方程， 然后根据网孔可列出(b-n+1)个独立的电压方程， 即可解出b个支路电流。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 叠加定理反映了线性电路的基本性质。 利用叠加定理可将多个激励（理想电压源和理想电流源）共同作用在某支路所产生的响应（电压或电流）分解为单个激励分别作用所产生的响应之和。 戴维南定理说明任何一个有源二端线性网络都可以用一个电动势为e的理想电压源和内阻r0 串联的有源支路来等效代替， 而对外电路的作用不变。 戴维南定理常用于求解某一支路的电流。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 思考题与习题思考题与习题 2-1 电路如图2-10所示

25、， 试列出求解各支路电流所需的方程。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 图2-10 习题2-1的图 e1e2r1r4r3r2r5r6第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 图2-11 习题2-3的图ei第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 2-2 当数值相等的两理想电压源并联或两理想电流源串联时， 叠加定理是否适用？ 2-3 电路如图2-11所示， 当e=10 v时， i=1 a。 如果e=30 v， 此时i等于多少？ 2-4 试将图2-12(a)与(b)分别用等效电压源来代替， 再变换成等效电流源。 2-5 试将图2-13用等效电流源来代替， 再变换成等效电压源。 第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 图2-12 习题2-4的图 20 v10 10 ab(a)ab20 v4 2 3 3 (b)第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 图2-13 习题2-5的图 6 v4 ab1 a第第2 2章章 电路的分析方法电路的分析方法 2-6 试用支路电流法求图2-14所示电路中的电流i1、 i2、 i3。 已知e1=220 v， e2=e3=110 v， 内阻r01=r02=r03=1 ， 负载电阻r1=r2=r3=9 。 2-7 试用支路电流法求图2-15所示网络中通过电阻r3支路的电流i3及理想