微分几何_2.4___直纹面与可展曲面

1、第四节 直纹面与可展曲面1、定义：由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。直线为直母线。例如柱面，锥面，单叶双曲面，正螺面等。 与直纹面上所有直母线相交的曲线叫直纹面的导线。2、直纹面的方程（1）设导线为 ， 是过导线上一点 处的直母线上的单位向量，则有：其中直纹面上一点 P 到导线上的点 的距离为v。)(: )(uaac)(ub)(ua)()(ubvuar)(ua)(ub)(ua)(co（2）坐标曲线v-曲线， 为直母线；u-曲线， 为与导线平行的曲线。 )()(00ubvuar)()(0ubvuar4、1 直纹面 (3)几种特殊的直纹面 为常向量，任意母线的方向不变，为柱面。 为常向量，任意母线

2、过一定点，为锥面。 为导线上的切向量，为一空间曲线的切线曲面0)(bub0)(aua)(ub 3、直纹面的法向量与高斯曲率 ,)()(ubvuaru)(ubrv)()(ubvuar（1）由 得 ,)()()(bbvbaububvuarrvu （2）当 P 点在直纹面的一条直母线上移动时，u不变，v变，法向量变化如下： a) ，法向量改变方向. b) ，法向量不改变方向， 即沿一条直母线有相同的法向量或切平面。0),(bba，bbba即不平行0),(/bba，bbba即（3）高斯曲率 由,)()(ubvuaru)(ubrv,)()(ubvuaruu 0vvr),(ubruv. 0,),()(22

3、nrNFEGbbaFEGbbanrMvvuv2222222)(),(FEGbbaFEGMFEGMLNK 因此对于情形 a) 有 ，K0。 b) 有 ，K= 0。0),(bba0),(bba 另外注意到直纹面上有直线，即直母线，则一定是直纹面的渐近线，即直纹面上的渐近曲线。 4、腰曲线rMl)(ub)(ua)(co)(uua)(uubrrMl定义:如图M， 为直母线 l , 的公垂线，当垂足M沿直母线 l 趋向于极限位置M0，称为直母线 l上的腰点。腰点的轨迹为腰曲线。它的表示为Ml0u)()(2ubbbauar 特别地，当取腰曲线为导线时，上式中的向径 就是 ，因此有 ，即它们垂直。 r)(u

4、a0 ba二、可展曲面1、定义：称满足 的直纹面为可展曲面。 由前面的结论可知，这是情形（2），它沿一条直母线有同一个切平面，或沿一条直母线有同一法向量，因此，可展曲面是沿一条直母线有同一个切平面的直纹面。2、命题1：每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线 的切线曲面。0),(bba 证明：对于可展曲面有 ，取腰曲线为导线， （1）当 ，这时腰曲线退化成一点，所有直母线上的腰点为同一点，曲面为锥面。腰点即为锥面的顶点。方程为 （2） ，由于 ，则三向量共面，且0),(bba0 ba为常向量则aua, 0)()(0ubvrr0a0),(bba。avarba，babbb为切线曲面所以但/,

5、 1 （3） 为常向量，所有直母线平行，为柱面。bb, 03、单参数曲面族的包络 给出一个单参数曲面族 （1） 对于不同的参数有不同的曲面，并假定函数（1）有一阶和二阶 连续偏导数。 （1）定义：如果有一曲面S，它的每一点是族（1） 中的一个曲 面 上的点，而且在S与 的公共点它们有相同的切平面； 反过来，对于族中的每一曲面 ，在曲面S上有一点P ，使 和S在P有相同的切平面，则称 S 为单参数平面族 的包络。0),(:zyxFSSSSSS （2）包络面的方程 现在假定曲面族 的包络S存在，由上面的定义，S上任意点P(x,y,z)必在族中某一曲面上，而这个曲面由参数 来确定，所以包络面S上每一

6、点对应于 的一个确定的值，因此 为S上点的坐标的函数，即 代入（1）得S),(zyx0),(,(zyxzyxF (2) 对于S上的点，上式恒成立。 其次，在包络面S上任取一条曲线因为（c）上的点的坐标 满足方程，所以对t 求导得： （3）在（c）上取一点，由于S和 在 P 有相同的切平面，所以（c）在P的切线与 在P 的法线垂直，而切向量平行于对包络面上的每条曲线都成立，由（c）的任意性有 ，否则 ，因此 ，即)(),(),()(: )(tztytxtrrc0)(),(),(),(ttztytxF0dtdFdtdzFdtdyFdtdxFzyxSS00,dtdFdtdzFdtdyFdtdxFFF

7、Fdtdzdtdydtdxzyxzyx法向量平行于0dtd常数0F0),(,(zyxzyxF 由上面的分析，曲面族的包络面满足方程组 （4）消去参数 得关于x,y,z的三元方程，它表示一张曲面称为曲面族 的判别曲面。0),(,(0),(,(zyxzyxFzyxzyxFS0),(:*zyxS 若假定在族中的曲面上的点和在包络面上的点是正常点，则判别曲面就是包络面S，这一点后面说明，先看一个例： 例题：求平面族 的包络面方程。2222zyx下面说明判别曲面就是S。 首先 可以这样理解：对每一固定的 ，方程组（4）代表曲面 和曲面 的交线 ，而判别曲面 是这些交线所产生的，因此， 上的每一点决定一个

8、 的值 ，而点的坐标以及所对应的 值适合（4），但上面已经得到包络S上的每一点和它所对应的 值适合（4），因此S属于 。*S0FCS*S*S),(*zyx*S* 再证 属于S 。由于判别曲面上每一点都在族中某一曲面上，因此它的坐标对 的某个值满足方程在判别曲面上取一条过P点的曲线（c）：代入（4）式第一式中，然后关于t 求导，则有但由（4）第二式 ，所以即P点 的法线和 上曲线（c）的切向量垂直，由（c）的任意性， 与 在P点相切，这就说明了 的点也是 的点。因此， 属于S 。所以*S0),(zyxF)(),(),(tztytxr 0F0dtdFdtdzFdtdyFdtdxFzyx0dtdzF

9、dtdyFdtdxFzyx*S*SSS*SS*SSS *(3)特征线 包络S与族中的曲面 相切的曲线称为特征线，因而当 固定时，（4）为特征线的方程，特征线的轨迹就是包络，族中每曲面沿特征线切于包络。S（4）命题2：一曲面为可展曲面的充要条件是此曲面为单参数平 面族的包络。 证明：充分性：设单参数平面族为 则特征线方程为 它是平面与平面的交线，即为直线，所以这些特征线的轨迹为直纹面，即包络面为直纹面，下证是可展的。 由于包络面沿特征线（现为直母线）与族中曲面（平面）相切，所以此平面是直母线上所有点的公共切平面，即沿一条直母线有同一个切平面，按可展曲面的定义，它是可展的。0)()()()(DzC

10、yBxA0)()()()(),(0)()()()(),(DzCyBxAzyxFDzCyBxAzyxF必要性：设曲面可展。由于直纹面的坐标曲线为直母线和与导线 平行的曲线，所以对于可展曲面，它的直母线就是v线（u= 常数），当u变化时，得到v线族，所以可展曲面可以看成是由 单参数u的直母线族所构成的，即可展曲面的直母线族仅与单 参数有关，而且经过给定的母线，可引唯一的切平面，因此所有切于可展曲面的切平面也只与一个参数有关，这就是说可展曲面在它每一点处切于它的单参数平面族中的某一平面，即可展曲面是这个单参数平面族的包络。4、命题3：一个曲面是可展的充分必要条件是高斯曲率为零。 证明：如果曲面是可展

11、的，则沿一条直母线的单位法向量保持不变，即为常向量，故 。但零向量与任意向量共线，所以 ，由主方向判别定理，沿直母线的方向为主方向，并且直母线方向上的主曲率为0，于是有 K=k1 k2=0。0ndrdnd/ 一个，曲面由这些曲线组成，所以曲面是一个单参数族的包络面，因而是可展曲面。 反之，若 K=k1 k2=0，则两主曲率至少有一为0，设 k2=0，由于为主曲率，所以对应的方向为主方向，但它又是法曲率，说明这个方向是渐近方向，所以这一族渐近线也是曲率线，由主方向判别定理， 为常向量。 这说明单位法向量沿渐近曲线保持不变，因此在所有渐近曲线上曲面的法线都平行。又沿渐近曲线的切向量为dr，它垂直于

12、法向量，所以 积分有 对于渐近曲线上任一点成立。现设 为渐近曲线上某一点，有得 ，因而必在M0的切平面上 ，即r对应的点在M0的切平面上，但这些点为渐近曲线上的点，所以渐近曲线在这个切平面上，因此对于同一条渐近曲线上的点，其切平面是同 nrdknd, 02, 0nrd常量nr0r常量nrnr0nrrnrr00, 0)(命题4：曲面上的曲线是曲率线的充要条件是沿此曲线曲面的 法线组成一可展曲面。证明：必要性：曲面上的曲线 是曲率线，有 沿曲线曲面的法线组成的曲面为 所以 ，故为可展曲面。)(saaanaknrdknd/,11nvsar)(0),(nna 充分性：设 是曲面上一曲线，沿它曲面的法线

13、构成 一可展曲面 ，即有 但 （它们为有固定长和为切向量） 由此 由主方向判别定理， 是主方向，因此曲线 上每一点的切向量都是主方向，因而为曲率线。 )(saanvsar)(，nna三向量共面 0),(annn ,ndadan/ad)(saa命题5：可展曲面可以与平面成等距对应（简称展为平面）。 证明：在直角坐标下，平面的第一基本形式为 在极坐标下则为（1）柱面： 有 （2）锥面： 有22dydx 222dd)()(sbvsar22dvds )(0sbvar222dsvdv 线曲面就是平面曲线所在的平面，但第一基本形式不变，因此切线曲面也可展成平面。 又由前面结论，可展曲面只有以上三种，综上所述，命题得到证明。 最后指出，上述命题曲面和平面的一部分而言的。 （3）切线曲面： 上式中出现曲率，但没有挠率，所以如果两条曲线曲率相同，即使挠率不同，它们的切线曲面也有相同的第一基本形式，即