利用数形结合法解题湛江市二十中学洪飞

1、 利用利用 数形结合法数形结合法 解题解题 湛江市第二十中学 洪飞 数形结合法就是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”寻找解题途径，使问题得到解决，它包含“以形助数”和“以数辅形”两个侧面。 利用数形结合法解题应注意的几个问题： 1、要彻底明白一些概念和运算的、要彻底明白一些概念和运算的几何意义，以及曲线与方程的对应几何意义，以及曲线与方程的对应关系关系 2、通过坐标系做好、通过坐标系做好“数数”与与“形形”之间的相互转化之间的相互转化 3、要正确确定变量的取值范围、要正确确定变量的取值范围

2、下面我们从“以形助数”和“以数辅形”两个侧面加以分析 a) 以数辅形 例1、 如图,已知平面内并列的三个相等的正方形,利用复数证明:1 + 2 + 3 = .123证明:如图建立 坐标系 (确定复平 面),由于平行线的 内错角相等,1, 2,3分别等于复数1+ i, 2+ i, 3 + i的辐角主值,这样1+2+3就是积(1+i)(2+i)(3+i)=(1+3i) (3+i)=10i的辐角,其辐角主值是 , 并且1,2,3都是锐角,于是01 +2 3 ,所以：1 + 2 3= b)、以形助数 解: 在同一坐标系内画出 y = lgx 及 y = 3 - x的图象,求得交点的横坐标 x 2.6

3、, 这个 x 值近似地满足 lgx = 3 - x , 所以它就是原方程的近似解.y=3-xy=lgxx=2.6例2 求方程 x + lgx = 3 的近似解.数形结合法专题练习 湛江市第二十中学 洪飞 一 、方程或不等式的问题常可转化为，研究两个函数图象交点或位置关系的问题。 1）已知方程2x + x = 0 , log = x , log = 2 - x 的实根依次为x 1 、x2 、 x3 , 则三根的大小关系为）已知是方程 x + log = 4 的实根,是方程2x + x = 4 的实根, 那么 + = 1）已知方程2x + x = 0 , log = x , log = 2 - x

4、 的实根依次为x 1 、x2 、 x3 , 则三根的大小关系为y=2-xy =logy=logy = 2xy = -xy=xx1x2x3y=2xy=-xy=xy=logy=2-xy=log）已知是方程 x + log = 4 的实根,是方程 2x + x = 4 的实根，那么 += y=xaba(,4- )b(,4- )y=2xy=4-xy=logy=logy=4-xy=2x y=4-x( + )=( )+( ) 4- 4- += 4二 、用解 析几何中的重要公式（如：斜率、两点间距离公式、定比分点公式等）与定义来谋求数式背景及相关性质 3 ）如果实数 x、y 满足(x - 2)2 + y2

5、= 3 ,那么 的最大值是 a) b) c ) d) 4) 不等式 k x + k(其中k为常数)的解集不为空集，则 k 的取值范围是 a ) (- , b ) 0 , c ) 0 , d ) (- , 3 ）如果实数 x、y 满足(x - 2)2 + y2 = 3 ,那么 的最大值是 a) b) c ) d) = = k求 的最大值就是求 k 的最大值p(x,y)4) 不等式 k x + k(其中k为常数)的解集不为空集，则 k 的取值范围是 a ) (- , b ) 0 , c ) 0 , d ) (- , y1=y2=k(x+1)y10y1y2y12+(x-1)2=1y2=k(x+1)y

6、10y1y2-9030- k=四 、利用复数的向量表示及模的性质来谋求数式背景及相关性质7 ) 复数z满足 , 求z的模与辐角主值的取值范围8) 已知arg = , arg = , 则 z = 7 ) 复数z满足 , 求z的模与辐角主值的取值范围zz315argz75arg =8) 已知arg = , , 则 z = z1-z2表示从z2到z1的有向线段(三角形法则）z=cos60 +sin60 z+1=z-(-1)表示从-1到z的有向线段arg(z+1)=表示从-1到z的有向线段倾斜角为z-1 ?arg(z-1) = ？arg =arg =三、利用函数的图象及性质谋求数形结合的背景 5、函数f(x)的定义域为r，且x1,已知f(x+1)为奇函数，当x1时，f(x)的递减区间是 a、 ,+ ） c、 , + ） b、(1， d、(1, 5、函数f(x)的定义域为r，且x1,已知f(x+1)为奇函数，当x1时，f(x)的递减区间是a、 ,+ ）b、(1， c、 , + ）d、(1, 6、已知y=f(x)的图象如右， y