结构动力学单自由度体系的振动

1、第二章 单自由度体系的振动 2主要内容2.1运动方程的建立2.2无阻尼自由振动2.3阻尼自由振动2.4对简谐荷载的响应2.5对周期荷载的响应2.6对冲击荷载的响应2.7对一般动力荷载的响应2.8阻尼理论与阻尼比的量测3第二章 单自由度体系的振动v单自由度体系动力分析的重要性：具有实际应用价值，或进行初步的估算。很多实际动力问题可按单自由度体系计算。多自由度体系动力分析的基础。单自由度体系包括振动分析中涉及到的所有物理量和基本概念。2.1运动方程的建立v1、水平振动 作用在质量块上有三个真实力、一个虚拟的力：荷载、弹簧弹性力和阻尼力; 惯性力5 左边的三个力都是位移y(t)或y(t)对时间t导数

2、的函数，正向与位移y(t)的负方向相对应，与外荷载p(t)的方向相反。 坐标y的坐标原点取在弹簧自然放松的位置。( )dsfffp t根据力的平衡条件得:2.1运动方程的建立6( )sfky t( )fmy t( )dfcy t 2.1运动方程的建立( )dsfffp t)()()()(tptkytyctym 单自由度体系的运动方程弹性力等于弹簧刚度k与位移y(t)的乘积：惯性力是质量与加速度的乘积：c)(ty 阻尼为粘滞阻尼，则阻尼力是阻尼系数 与速度 的乘积:7v2、竖向振动 质量块沿垂直方向上下振动，建立振动微分方程，考虑重力的影响。2.1运动方程的建立8v根据平衡条件，体系的振动方程：

3、 wtptkytyctym)()()( ( )( )sty ty t 2.1运动方程的建立 是由重力w产生的静力位移，是不随时间变化的，即： 是动力位移，由静力平衡位置开始计算。 ststwk)(ty)(ty质量块m的总位移 分解为两部分：9弹簧力部分可写成：)()(tykktkyfsts)()()()(tptyktyctym ( )( )sty ty t 2.1运动方程的建立 相对于静力平衡位置所写出的振动方程不受重力影响，即重力对动力位移无影响。 振动方程：1、位移以静力平衡位置作为基准的，而这样确定的位移即为动力响应。2、在求总挠度和总应力时，要把动力分析的结果与静力分析结果相加。 10

4、v3、支座运动的影响 结构的动位移和动应力既可以由动荷载引起，也可以由结构支座的运动而产生。 2.1运动方程的建立1）由地震引起建筑物基础的运动；2）由建筑物的振动而引起安置在建筑物内的设备基底的运动等等。11 地震导致的地面水平运动用相对于固定参考轴的结构基底位移 表示。 )(tyg1、地震动问题的简化模型2.1运动方程的建立 假定： （1）刚架内水平横梁是刚性的，且包含了结构所有的运动质量， （2）柱假定无重量且在轴向不能变形，抵抗刚架侧向位移的恢复力由两根柱的侧向刚度来提供。 120sdifff2.1运动方程的建立一个自由度即可描述刚架的运动情况。 刚架体系的平衡方程可写为：)(tymf

5、ti )(tyt表示横梁相对于参考轴的总位移，即：)()()(tytytygtsfdfif弹性力 和阻尼力 与前相同，而惯性力 则由下式计算：13 运动方程：0)()()()(tkytyctymtymg )()()()()(tptymtkytyctymeffg 或： 2.1运动方程的建立0sdifff)(tpeff ：等效荷载，即在地面加速度 影响下，结构的响应就和在外荷载 作用下的响应一样，只是外荷载 等于质量和地面加速度的乘积。 负号表示等效力的方向和地面加速度方向相反。)(tyg )(tp)(tp142.2 无阻尼自由振动 自由振动(free vibration) ：无外界干扰的体系振动

6、形态称为自由振动（free vibration）。振动是由初始位移或初始速度或两者共同影响下所引起的。无阻尼自由振动：如果阻尼系数等于零，则这种自由振动称为无阻尼自由振动（undamped free vibration）。假设由于外界干扰，质点离开平衡位置，干扰消失后，质点将围绕静力平衡点作自由振动。15my.1）自由振动微分方程的建立(依据原理：达朗伯原理)mky(t)y(t)a、刚度法(stiffness method)kmymky从力系平衡建立的自由振动微分方程： ).(0akyym my.my.(dalembers principle)2.2 无阻尼自由振动1、运动方程建立及其解的形式

7、16b、柔度法(flexibility method)从位移协调角度建立的自由振动微分方程。取振动体系为研究对象，惯性力：=1/kymfi ).()(bymfyi 2.2 无阻尼自由振动172.2 无阻尼自由振动0myky令mk /20)()(2tyty tctctycossin)(21齐次微分方程，其通解为： 系数 和 可由初始条件（initial condition）确定。 1c2c0t0y0v00)0(,)0(vyyy0201,/ycvcv设在初始时刻 时，有初始位移 和初始速度 ，即： 求得：tytvtycossin)(0018（a）没有初始速度，仅由初始位移引起的振动按 的规律变化；

8、（b）没有初始位移，仅由初始速度引起的振动按 的规律变化：（c）既有初始位移，又有初始速度引起的振动形态 按方程 进行。2200()(/)ayv00arctanvytycos0tvsin0比较两式得： tytvtycossin)(00( )sin()y tat( )sin()y tat2.2 无阻尼自由振动简谐振动的标准形式a：振幅， ：初相位角。amplitude of vibrationinitial phase angle19y(t)ty0y0y(t )tv0/v0/ttaat/tytvtycossin)(00( )sin()y tat2.2 无阻尼自由振动20 t:自由振动的周期，单位

9、为秒（s）。 :频率，表示单位时间内的振动次数，单位为1/秒（1/s），或称为赫兹（hz）。 :圆频率或角频率，表示在 个单位时间内的振动次数,单位为rad/s 。/2t)()/2()(tytyttytf/1f222.2 无阻尼自由振动当时间t 增加一个 时，上式保持不变，即： /2t2、结构的自振周期21 经过一个周期t后，质点又回到了原来的位置，因此周期t称为自振周期或固有周期（natural periold）。 )()/2()(tytytty2.2 无阻尼自由振动计算自振周期的几种形式：（1）由周期和圆频率的定义可知：kmt2（2）将 代入上式，得：k1mt222gwt2gtst22.2

10、 无阻尼自由振动gwm/（3）将 代入上式，得：stw（4）令 ，得：23 圆频率也仅与结构参数k和m有关，即仅与结构体系本身的固有性质有关，而与初始干扰无关，故称为固有频率或自振频率（natural frequency）。 stgwgmmk12.2 无阻尼自由振动圆频率计算公式的几种形式：24v结构自振动周期重要性质：（1）自振动周期与结构的质量和刚度有关，而且只与这两者有关，与外界的干扰因素无关。 干扰力的大小只能影响振幅a的大小，而对结构自振周期t的大小没影响。2.2 无阻尼自由振动（2）自振周期与质量平方根成正比，质量越大，则周期越大；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，则周期越小

11、。要改变结构的自振周期，只有改变结构的质量或刚度。25（4）自振周期是结构动力性能的一个重要的数量标志。 a、两个外表相似的结构，如果周期相差很大，则动力性能相差很大； b、两个外表看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下其动力性能基本一致。地震中常出现这样的现象。2.2 无阻尼自由振动（3）把集中质点放在结构上产生最大位移的地方，则可以得到最低的自振频率和最大的振动周期。stkgm26v例2-1 悬臂梁长度l=1米，其末端装一重量q=1221n的电动机，梁为钢梁，弹性模量e=2.11011n/m2，惯性矩i=7810-8m4，与电动机重量相比梁的重量可以略去。求结构的自振圆频

12、率及周期。 2.2 无阻尼自由振动27 解：悬臂梁在竖向力q作用下，端部的竖向位移为 eiqlst331183333 2.1 1078 109.862.8(1/ )1221 1.0stgeigsql220.1( )62.8ts2.2 无阻尼自由振动自振周期：自振频率：28例2-2 ： 求刚架的自振频率，不考虑横梁的变形。2.2 无阻尼自由振动29解：使横梁发生单位位移所需外力k为: 3122heik324mheimk2.2 无阻尼自由振动自振频率： 30例2-3：图示三根单跨梁，ei=常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解

13、：1）求eil4831p=13l/165l/32p=1l/2eillllleil7687)325216322(61321eil768732eil19233311481mleim32277681mleim3331921mleim2.2 无阻尼自由振动31l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm311481mleim32277681mleim3331921mleim据此可得：结构约束越强结构约束越强, ,其刚度越大其刚度越大, ,刚度越大刚度越大, ,其自振动频率也越大。其自振动频率也越大。2.2 无阻尼自由振动123:1:1.512:232l/2l/2ml/2l/2k1acb3396)2/(1

14、2leileiqcb3396)2/(12leileiqcaqcaqcb3192leiqqkcbca3192mleimk2.2 无阻尼自由振动用刚度法：33例2-4:求图示刚架的自振频率。不计柱的质量。eieiei1=mlh13ei/h26ei/h26ei/h2k12ei/h33ei/h3315heik315mheimk2.2 无阻尼自由振动解：34274l272l9l113leillllleil43745)9327432(613311311543741mleiml/32l/3m例2-52.2 无阻尼自由振动解：35l/2lm12leilllllllei8)3222212322221(13113

15、1181mleim2.2 无阻尼自由振动解：例2-636h1例2-7解法1：求 k=1/hmba=kh = mbck1hmi=eibaclheilei33lmheimk211323lheik1解法2：求 eilhhlhei3322121121131mlheim2.2 无阻尼自由振动37例2-8leimk1k11k11k33lei解：求 k3113leikkmkmklei33112.2 无阻尼自由振动38对于静定结构一般计算柔度系数方便。如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方便。312lei一端铰结的杆的侧移刚度为：33lei两

16、端刚结的杆的侧移刚度为：2.2 无阻尼自由振动39mky1) c不存在不存在0y(t)taamky=0c2) c存在存在阻尼是客观存在的阻尼是客观存在的 振幅随时间减小，这表明在振动过振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗，称为程中要产生能量的损耗，称为阻尼阻尼。 （1 1）产生阻尼的原因）产生阻尼的原因1)1)结构与支承之间的外摩擦结构与支承之间的外摩擦2)2)材料之间的内摩擦材料之间的内摩擦3)3)周围介质的阻力周围介质的阻力 （2 2）阻尼力的确定）阻尼力的确定1)1)与质点速度成正比与质点速度成正比2)2)与质点速度平方成正比与质点速度平方成正比3)3)与质点速度无关与质点

17、速度无关粘滞阻尼粘滞阻尼2.3 有阻尼的自由振动 402.3 有阻尼的自由振动 0)()()(tkytyctym mc2mk /2 如果体系内存在阻尼，单自由度体系的自由振动微分方程为 :令：则方程可改写为：0)()(2)(2tytyty ykykmp(t )ycy.( 阻尼比damping ratio ）41特征方程的解为：0)()(2)(2tytyty tcety)(0222)1(22, 12.3 有阻尼的自由振动 设方程解的形式为：特征方程：(characteristic equation)42 c1和c2为两个积分常数，由初始条件确定。 有阻尼自由振动的特性与根式（ ）的符号有关。 t

18、tececty2121)(121mccr20)()()(tkytyctym )1(22, 12.3 有阻尼的自由振动 的通解为：所对应的阻尼系数c称为临界阻尼系数，记为ccr，其计算公式为： 43crccmc22.3 有阻尼的自由振动 阻尼比(damping ratio ）称为阻尼比（damping ratio）,反映了阻尼系数与临界阻尼系数之比。一般材料的阻尼比都很小，例如钢（0.0040.03）,木材（0.04），混凝土（0.05-0.08）等。对一般建筑结构，其阻尼比约在0.01-0.1之间。44v（1）当 1时 体系的阻尼系数小于临界阻尼系数，称为低阻尼体系（under damping

19、）。式可写为 :dii)1(22, 1)()(21tditditeaeaety)1(22, 12.3 有阻尼的自由振动 0)()(2)(2tytyty 振动微分方程 的解为：21d其中， 称为阻尼固有频率。45 其中：a1及a2或a及 由初始条件确定。 设当t=0时，初始位移 ，初始速度，将此初始条件代入方程解，可得： )sin()(taetydt0)0(yy0)0(vy01ya dvya0022.3 有阻尼的自由振动 或：46 表示低阻尼下的自由振动，不是一个严格的周期振动，是一个减幅的往复运动，可称为准周期振动，其往复一次的周期时间为：220020)(dvyya000vyytgd2122d

20、dt)sin()(taetydt衰减因子阻尼对周期影响？2.3 有阻尼的自由振动 或：472.3 有阻尼的自由振动 其衰减简谐运动如图所示。在有阻尼自由振动中，由于阻尼不断消耗能量又没有外界能量补充，因此结构系统总能量不断减少，振幅不断衰减。tyty低阻尼y- t曲线tae)sin()(taetydt48v（a）、阻尼对固有频率的影响 有阻尼和无阻尼的固有频率 和 间的关系由式 : 确定。在 1的低阻尼情况下， 恒小于 ，而且 随 的增大而减小。d21ddd2.3 有阻尼的自由振动 但一般材料的阻尼比都很小，例如钢（0.0040.03）,木材（0.04），混凝土（0.05-0.08）等。对一般

21、建筑结构，其阻尼比约在0.01-0.1之间。如果 0.2则0.96 1，即 与 的值很接近。所以说阻尼对固有频率的影响很小，一般可认为 。ddd阻尼对固有频率基本无影响！49v（b）、阻尼对振幅的影响 振幅为 ，阻尼比出现在指数项，对振幅有较大影响。 taetkttktkkeeeyy)(1)sin()(taetydt2.3 有阻尼的自由振动 值愈大，振幅衰减速度愈快。ky1ky经过一个周期t后，相邻两个振幅 与 比值为：50两边进行对数变换后可得：dkktyy2)ln(1)ln(211kkdyy)ln(211kkyytkttktkkeeeyy)(12.3 有阻尼的自由振动 d如果 0.2，则

22、，51 称为对数衰减率（logarithmic decrement），表征系统的阻尼情况，用符号 表示，定义为两个相邻的同号位移值之比的自然对数，即:1lnkkyy212ln21kkyy2.3 有阻尼的自由振动 对数衰减率与阻尼比只差一个常数倍。工程中常用此方法测定阻尼)ln(211kkyy52 用 和 表示两个相隔n个周期的振幅，可得： kynky)ln(21nkkdyyn)ln(21nkkyyn2.3 有阻尼的自由振动 对于阻尼较小的体系，取相隔几周的响应峰值来计算阻尼比，可以获得更高的精度。d当 0.2时，即 时，53v（2）当 =1时 体系阻尼等于临界阻尼（critical dampi

23、ng）。临界阻尼是在自由振动响应中不出现振动所需的最小阻尼值。此时方程 的特解为 tetaaty)()(2101ya 002yva0)()(2)(2tytyty 2.3 有阻尼的自由振动 0v0y设初始条件： t=0时初始位移为 ，初始速度为 ，则：)1( 254 运动不呈振动形式，按指数规律随时间t的增大而逐渐衰减以至消失。tetyvyty)()(0002.3 有阻尼的自由振动 因此：tyy0000vtg这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。55v（3）当 1时 体系的阻尼大于临界阻尼时，称为超阻尼体系（over damping）。这时方程的特征根为d2, 10)()(2)(2tytyty

24、2.3 有阻尼的自由振动 相应的通解为:)()(21tdtdteaeaety56 设t=0时，初始位移称为 ，初始速度为 ， 待定系数为 : 0y0v)(210001dyvya)(2100002yvya)sinhcosh()(000tyvtyetydddt2.3 有阻尼的自由振动 故：)()(21tdtdteaeaety57 运动也不再呈振动形式，而是按指数规律随时间t的增大而逐渐衰减以至消失。 图表示 时 的时程曲线。从该图可以看到，系统不出现振动现象，同时以 时衰减得最快。 1)(ty1)sinhcosh()(000tyvtyetydddt2.3 有阻尼的自由振动 58v例: 一个单层建筑物被理想化为无重柱支承的刚性梁，如图。使横梁产生0.2m的位移需要在横梁处施加20kn的