第讲空间几何体的表面积和体积

1、考纲要求考纲研读了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).能够根据几何体的三视图或直观图确定该几何体的结构特征，并选择相应的公式计算几何体的表面积和体积.第2讲 空间几何体的表面积和体积1多面体的侧面积ch(1)棱柱的侧面积：s直棱柱侧_(c 表示直棱柱的底面周长，h表示高)(2)正棱锥的侧面积：s正棱锥侧_(c 表示正棱锥的底面周长，h表示斜高)ch12(3)正棱台的侧面积：s正棱台侧_(c，c 分别表示正棱台的上、下底面周长，h表示斜高)12(cc)h2旋转体的侧面积(1)圆柱的侧面积：s圆柱侧_(r 表示圆柱底半径，l 表示母线长)rl(2)圆锥的侧面积：s圆锥侧

2、_(r 表示圆锥底半径，l 表示母线长)(3)圆台的侧面积：s圆台侧(rr)l(r，r 表示圆台两底半径，l表示母线长)(4)球的表面积：s球面_(r 表示球的半径)4r22rl3空间几何体的体积sh(1)柱体的体积：v柱体_(s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高)13sh(2)锥体的体积：v锥体_(s 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高)(3)台体的体积：v台体_(s、s 表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高)(4)球体的体积：v球_(r 表示球半径)43r31三棱锥 pabc 的侧棱 pa ，pb，pc 两两垂直，侧面面积分别是 6,4,3，则三棱锥的体积是()aa4b6c8d102

3、如图1321是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )a32 b16 c12 d8图13213一个与球心距离为 1 的平面截球体所得的圆面面积为，则球的体积为()a4(2010 年上海)已知四棱锥 pabcd 的底面是边长为 6 的正方形，侧棱 pa 底面 abcd，且 pa 8，则该四棱锥的体积是_.965(2011年上海)若圆锥的侧面积为2，底面积为，则该圆锥的体积为_.考点1几何体的面积例1：(2011 年安徽合肥检测)图 1322 是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2 和 4，腰长为 4 的等腰梯形，则该几何体的侧面积是()图 1322

4、a6b12c18d24解析一：由此几何体的三视图知，该几何体是上、下底半径分别为，2，母线长为 4 的圆台，由圆台的侧面积公式得s侧(12)412.解析二：该几何体为圆台，设展开图的“虚扇形”的半径为l，答案：b图 1323(2011年安徽)一个空间几何体的三视图如图1323所示，则该几何体的表面积为( ) c给出几何体的三视图，求该几何体的表面积时，先要根据三视图画出直观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计算第小题为圆台；第小题是半个球，注意表面积包括底面圆的面积【互动探究】1(2011 年北京)某四棱锥的三视图如图 1324 所示，该四棱锥的表面积是( )b图 1324考点

5、2几何体的体积例 2：(2010 年湖北)圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图 1325)，则球的半径是_cm. 图 13254(2011 年广东)如图 1326，某几何体的正视图(主视图)、侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为()图 1326答案：c 求几何体的体积时，若所给的几何体是规则的柱体、锥体、台体或球体，可直接利用公式求解；若是给出几何体的三视图，求该几何体的体积时，先要根据三视图画出直观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计算【互动探究】2(

6、2011 年天津)一个几何体的三视图如图 1327 所示(单图 1327位：m)，则该几何体的体积为_ m3.6考点3立体几何中的折叠与展开例3：如图 1328，长方体 abcda1b1c1d1中，ab3，ad2，cc11，一条绳子从a沿着表面拉到c1，求绳子的最短长度图 1328解析：将长方体沿着aa1剪开，如图1329(1)，图1329(1)若沿着 ab 剪开如图1329(2)，图1329(2)若沿着 ad 剪开如图1329(3)，图1329(3)探究几何体表面上的最短距离，常把几何体的侧面展开，把空间图形中的问题转化成平面图形中的问题来解决，其实质就是将曲(折)线拉直【互动探究】3圆柱的

7、轴截面是边长为 5 cm 的正方形 abcd，求从 a 到 c圆柱的侧面上的最短距离图d24考点4 利用函数的方法解决立体几何问题例 4：如图 13210 所示，等腰三角形abc 的底边 ab，高 cd3，点 e 是线段 bd 上异于 b，d 的动点，点 f 在bc 边上，且 efab，现沿 ef 将bef 折起到pef 的位置，使 peae，记 bex，v(x)表示四棱锥 pacfe 的体积(1)求 v(x)的表达式；(2)当 x 为何值时，v(x)取得最大值？(3)当 v(x)取得最大值时，求异面直线ac 与 pf 所成角的余弦值 图 13210有关立体几何与函数的综合问题，一般是以立体几

8、何为主体，求出有关的线段的长度、有关角度的三角函数、有关平面图形或旋转体的面积、几何体的体积，以建立函数关系式，再利用导数(基本不等式)求出最值建立函数一定要准确，求函数的最值各种方法都要了解4(2011年江西)如图13211，在 abc中，b，ab【互动探究】2bc2，p 为 ab 边上一动点，pdbc 交 ac 于 点 d，现将 pda 沿着 pd 翻折至pda，使平面 pda平面 pbcd.(1)当棱锥 apbcd 的体积最大时，求 pa 的长；(2)若点 p 为 ab 的中点，e 为 ac 的中点，求证：abde.图 13211(2)证明：如图d25，作 ab 的中点 f，连接 ef，fp.由已知得：ef12bcpdedfp，因为apb 为等腰直角三角形，所以abpf.所以abde.图d252圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式容易记错，应记住其展开图的特征：圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形，当底3计算底面积和高都不易求的不规则几何体的体积时应尽量避免直接求解，善用“等积法”和“割补法”4求解几何体表面上有关曲线(折线)的最值，最常用的方法将几何体沿着棱剪开后展成平面图形，然后在平面内化曲为直求解1正确理解圆锥的母线长 l、