2021届高考数学一轮复习选修4_5不等式选讲学案理含解析

1、选修选修 4-54-5 不等式选讲不等式选讲最新考纲考情分析核心素养1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：|ab|a|b|；|ab|ac|cb|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.1.绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，与绝对值相关的参数问题是 2021 年高考考查的热点，题型为解答题，分值为 10 分.2.综合法、分析法、比较法证明不等式是 2021 年高考考查

2、的热点，题型为解答题，分值为 10 分.1.逻辑推理2.数学运算知识梳理1绝对值三角不等式定理 1：如果 a，b 是实数，则|ab|1|a|b|，当且仅当2ab0 时，等号成立定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么3|ac|ab|bc|，当且仅当4(ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a 的解集不等式a0a0a0|x|ax|axax|xa 或 x0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc 或 axbc.(3)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解利用零点分段法求解构造函数，利用函数

3、的图象求解常用结论如果把实数 a，b 改为向量也成立，即|ab|a|b|，这里|ab|，|a|，|b|均为向量的模，当且仅当 a 与 b 方向相同或至少有一个向量为零时等号成立3基本不等式定理 1：如果 a，br，那么 a2b252ab，当且仅当6ab 时，等号成立定理 2：如果 a，b0，那么ab27ab，当且仅当8ab 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均定理 3：如果 a，b，cr，那么abc393abc，当且仅当10abc 时，等号成立4比较法(1)比差法的依据是：ab011ab步骤是：“作差12变形13判断差的符号”变形是手段，变形的目的是判断差的符

4、号(2)比商法：若 b0，欲证14ab，只需证ab1.5综合法与分析法(1)综合法： 一般地， 从已知条件出发， 利用定义、 公理、 定理、 性质等， 经过一系列的15推理、论证而得出命题16成立(2)分析法：从17要证的结论出发，逐步寻求使它成立的18充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若|x|c 的解集为 r，则 c0.()(2)不等式|x1|x2|b0 时等号成立()(4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立()(5)对|ab|a

5、|b|当且仅当 ab0 时等号成立()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(选修 45p20t7改编)不等式 3|52x|9 的解集为()a2，1)4，7)b(2，1(4，7c(2，14，7)d(2，14，7)答案：d3(选修 45p20t8改编)不等式|x1|x5|2 的解集为_答案：(，4)三、易错自纠4设 a，b 为满足 ab|ab|b|ab|ab|c|ab|a|b|d|ab|a|b|解析：选 bab|ab|.5若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为_解析：|x1|1，|y2|1，1x11，1y21，|x2y1|(x1)2(y2)2|1225.答案：56若存在实

6、数 x 使|xa|x1|3 成立，则实数 a 的取值范围是_解析：|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3 有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案：2，4考点一绝对值不等式的解法【例 1】(2019 年全国卷)已知 f(x)|xa|x|x2|(xa)(1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2)若 x(，1)时，f(x)0，求 a 的取值范围解(1)当 a1 时，f(x)|x1|x|x2|(x1)当 x1 时，f(x)2(x1)20；当 1x0，所以，不等式 f(x)0 的解集为(，1)(2)因为 f(a)0，所以 a1.当 a1，x(，1)时，f(x)(a

7、x)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0，所以，a 的取值范围是1，)名师点津解绝对值不等式的常用方法基本性质法对 ar，|x|aaxaxa平方法两边平方去掉绝对值符号零点分区间法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解|跟踪训练|1(2020 届贵阳摸底)设函数 f(x)|x1|x5|，xr.(1)求不等式 f(x)10 的解集；(2)如果关于 x 的不等式 f(x)a(x7)2在 r 上恒成立，求实数 a 的取值范围解：(1)由题

8、意得 f(x)2x4，x1，6，1x5，2x4，x5，当 x1 时，由2x410 得3x1；当1x5 时，f(x)610 恒成立，则1x5；当 x5 时，由 2x410 得 5x7.综上可得，不等式 f(x)10 的解集为x|3x7(2)设g(x)a(x7)2， 则g(x)的图象是以x7为对称轴的抛物线，如图所示，在同一坐标系中作出 f(x)的图象“关于 x 的不等式 f(x)a(x7)2在 r 上恒成立”等价于 2x4a(x7)2在(5， )上恒成立， 即 ax212x45 在(5，)上恒成立， 令(x)x212x45(x6)29，当 x6 时，(x)min9，经检验，y2x4 恰为 ya(

9、x7)2在(6，8)处的切线，a9.考点二不等式的证明多维探究不等式的证明是考查热点，归纳起来常见的命题角度有：(1)用比较法证明不等式；(2)用综合法证明不等式；(3)用分析法证明不等式命题角度一用比较法证明不等式【例 2】设 a，b 是非负实数，求证：a3b3 ab(a2b2)证明a，b 是非负实数，a3b3 ab(a2b2)a2a( a b)b2b( b a)( a b)( a)5( b)5当 ab 时， a b，从而( a)5( b)5，所以( a b)( a)5( b)50；当 ab 时， a b，从而( a)50.故 a3b3 ab(a2b2)名师点津作差比较法证明不等式的步骤(1

10、)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断差的正负作商比较法也有类似的步骤， 但注意其比较的是两个正数的大小， 且第(3)步要判断商与 1的大小命题角度二用综合法证明不等式【例 3】(2019 年全国卷)已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1.证明：(1)1a1b1ca2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明(1)因为 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，且 abc1，故有 a2b2c2abbccaabbccaabc1a1b1c，所以1a1b1ca2b2c2.(2)

11、因为 a，b，c 为正数且 abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333（ab）3（bc）3（ac）33(ab)(bc)(ac)3(2 ab)(2 bc)(2 ac)24，所以(ab)3(bc)3(ca)324.名师点津1综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件2综合法证明时常用的不等式(1)a20.(2)|a|0.(3)a2b22ab，它的变形形式有a2b22|ab|；a

12、2b22ab；(ab)24ab；a2b212(ab)2；a2b22ab22.命题角度三用分析法证明不等式【例 4】已知函数 f(x)|x1|.(1)求不等式 f(x)f(a)f(b)解(1)由题意，知|x1|2x1|1，当 x1 时，不等式可化为x12x2，解得 x1；当1x12时，不等式可化为 x12x2，即 x1，此时不等式无解；当 x12时，不等式可化为 x11.综上，mx|x1(2)证明：因为 f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|，所以要证 f(ab)f(a)f(b)，只需证|ab1|ab|，即证|ab1|2|ab|2，即证 a2b22ab1a22abb2，即证 a2b2

13、a2b210，即证(a21)(b21)0.因为 a，bm，所以 a21，b21，所以(a21)(b21)0 成立，所以原不等式成立名师点津1分析法的应用条件当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a2b22ab)、基本不等式( abab2，a0，b0)没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆2用分析法求证“若 a 则 b”这个命题的模式为了证明命题 b 为真，只需证明命题 b1为真，从而有只需证明命题 b2为真，从而有只需证明命题 a 为真，而已知 a 为真，故 b 为真|跟踪训练|2(2020 届石家庄摸底)(

14、1)已知 a，b，c 均为正实数，abc1，证明：1a1b1c9；(2)已知 a，b，c 均为正实数，abc1，证明： a b c1a1b1c.证明： (1)1a1b1cabcaabcbabccbaca1abcb1acbc1baabbccbacca32baab2bccb2acca39，当且仅当 abc 时等号成立(2)因为1a1b1c121a1b1a1c1b1c1221ab21ac21bc ，又 abc1，所以1abc，1acb，1bca，所以1a1b1c c b a，当且仅当 abc时等号成立考点三绝对值不等式的综合应用【例 5】(2020 届湖北部分重点中学联考)已知 a，b 都是实数，a

15、0，f(x)|x1|x2|.(1)求使得 f(x)2 成立的 x 的取值集合 m；(2)求证：当 xrm 时，|ab|ab|a|f(x)对满足条件的所有 a，b 都成立解(1)由题意得 f(x)32x，x1，1，1x2，2x3，x2，由 f(x)2 得x1，32x2或x2，2x32，解得 x12或x52.所以实数 x 的取值范围为，12 52，即 m，12 52，.(2)证明：因为 m，12 52，所以当 xrm 时，f(x)2，即 f(x)max2.因为|ab|ab|a|f(x)，a0，所以|ab|ab|a|f(x)又|ab|ab|a|abab|a|2，所以|ab|ab|a|f(x)在 xrm 时恒成立名师点津1研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法2f(x)a 恒成立f(x)maxa 恒成立f(x)mina.|跟踪训练|3(2019 届湘东五校联考)已知函数 f(x)m|x1|x1|.(1)当 m5 时，求不等式 f(x)2 的解集；(2)