第二节常用统计分布

1、数理统计数理统计第二节第二节 常用统计分布常用统计分布 2分布t分布f分布分位数数理统计数理统计一、分位数一、分位数1. 定义定义: 设设 01 , 对随机变量对随机变量x, 称满足称满足:的点的点 x 为为x的概率分布的的概率分布的水平水平的上侧分位数的上侧分位数或或上侧上侧分位数分位数. ()p xx()1p xx标准正态分布标准正态分布的上侧的上侧分位数分位数u()p uu un(0, 1)u数理统计数理统计2. 定义定义: 设设 01 , 对随机变量对随机变量x, 称满足称满足:的点的点 为为x的概率分布的的概率分布的水平水平的双侧分位数的双侧分位数或或双侧双侧分位数分位数. 2()p

2、 xx标准正态分布标准正态分布的双侧的双侧分位数分位数u2x22数理统计数理统计)(22n记为记为: :二二. 2 2分布分布(chi-square distribution)1.定义定义: 设设 x1, x2, , xn互相独立互相独立, 都服从正态分布都服从正态分布 n(0, 1),222212nxxx 2 2分布分布是由是由正态分布正态分布派生出来的一种分布派生出来的一种分布. .则称随机变量：则称随机变量： 所服从的分布为所服从的分布为自由度为自由度为 n 的的 2 2分布分布. 2 2分布的密度函数为分布的密度函数为: :12221,0( )2(2)0,0nxnxexf xnx 其中

3、其中, 伽玛函数伽玛函数 (x)通过如下积分来定义通过如下积分来定义:10().xxedx p133p133数理统计数理统计probability density function（概率密度函数）（概率密度函数）cumulative distribution function（分布函数）（分布函数）数理统计数理统计),(2n1) 设设 相互独立相互独立, 都服从正态分布都服从正态分布nxxx,21则则:)()(121222nxnii).(:21221nnxx则),(),(222121nxnx这个性质叫这个性质叫 分布的可加性分布的可加性.222. 分布的性质2) 设设 且且x1, x2相互独立

4、，相互独立， e( 2 2)=n, d( 2 2)=2n.222)( ),n 3 3 若若分分布布的的数数学学期期望望与与方方差差数理统计数理统计24) 分分布布的的分分位位点点: : 222( )( )( )npnf x dx 01,对对于于给给定定的的正正数数 ，称称满满足足条条件件: :22( )( ).nn 的的点点为为分分布布的的上上侧侧 分分位位数数)(2n 220.1( ):(25)34.382.n 如如图图所所示示, ,可可通通过过查查表表求求，例例数理统计数理统计t(n)分布的概率密度函数为：分布的概率密度函数为： 1 /22(1) 2()1,(2)nnxfxxnnn 1.定

5、义定义: 设设xn(0, 1), y 2 2 n , 且且x与与y相互独立相互独立, 则称变量则称变量:nyxt 所服从的分布为所服从的分布为自由度为自由度为 n的的 t 分布分布.三三. t 分布分布(t-distribution) ( ).tt n记记为为: : t分分布布又又称称为为学学生生氏氏分分布布. .数理统计数理统计probability density functioncumulative distribution function数理统计数理统计2. t分布的性质：221)lim( )0.,1lim( ).2xxntyf xnf xe 分分布布的的密密度度函函数数关关于于 轴

6、轴对对称称, ,且且当当 充充分分大大时时 其其图图形形近近似似于于标标准准正正态态分分布布概概率率密密度度的的图图形形，再再由由 函函数数的的性性质质有有: :(0,1).ntn近近似似即即: :当当 足足够够大大时时, ,数理统计数理统计( )( ).tnt n 的的点点为为分分布布的的上上侧侧 分分位位数数)(nt ( )( )( )tnp ttnf x dx 2):t分分布布的的分分位位点点)()(1ntntt 分位点的性质：分位点的性质：分布的上分布的上0.025( )(15)2.1314.ttnt 分分布布的的上上 分分位位点点可可查查表表求求得得, ,例例45( ).ntnu 当

7、当时时, ,对对于于常常用用的的 的的值值, ,可可用用正正态态近近似似01,:对对于于给给定定的的 ，称称满满足足条条件件数理统计数理统计2( )( ).tnt n 的的点点为为分分布布的的双双侧侧 分分位位数数 22( )2( )( )( )( )tntnp ttnf x dxf x dx 01,:对对于于给给定定的的 ，称称满满足足条条件件数理统计数理统计由定义可知由定义可知:四四. f分布分布(f-distribution)1(,).ynfn mfxm 1.定义定义: 设设 x 2 2 m , y 2 2 n , x 与与y 相互独立相互独立,服从服从自由度为自由度为(m, n)的的f

8、分布分布, m称为称为第一自由度第一自由度, n称为称为第二自由度第二自由度. xmfy n记作记作: ff(m, n) .若若ff(m,n), f的概率密度为的概率密度为: 1222222()( ) ( )1,0( )( ) ( )0.0mmm nm nmmnnmnxxxf xx 则称随机变量则称随机变量:数理统计数理统计probability density functioncumulative distribution function数理统计数理统计 ( , )f mn2) f分布的分位点分布的分位点:01,对对于于给给定定的的 ，称称满满足足条条件件: : (, )(, )( )fm np ffm nf x dx (, )(, ).fm nf m n 的的点点为为分分布布的的上上侧侧 分分位位数数分位点的性质：分位点的性质：分布的上分布的上 f11( , )( ,)f m nfn m0.950