2021届高考物理二轮复习专题一第4讲万有引力定律及其应用学案

1、- 1 -第第 4 4 讲讲万有引力定律及其应用万有引力定律及其应用思维导图要点熟记1.重力和万有引力的关系(1)不考虑自转时，星球表面附近物体的重力等于物体与星球间的万有引力，即有gmmr2mg，其中g为星球表面的重力加速度。(2)考虑自转时，在两极上才有gmmr2mg，而赤道上则有gmmr2mgm42t2r。2.一个重要公式：黄金代换式gmgr2，应用于题目中没有给出引力常量g或天体质量m， 而提供了天体表面重力加速度g的信息的情况。3.万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力(1)列出五个连等式：gmmr2mamv2rm2rm42t2r。(2)导出四个表达式：agmr2，vgmr，- 2

2、-gmr3，t42r3gm。(3)定性结论：r越大，向心加速度a、 线速度v、角速度均越小，而周期t越大。4.三类天体(1)近地卫星：gmmr2mgmv2r。(2)同步卫星：gmm（rh）2m(rh)(2t)2(t24 h)。(3)双星：gm1m2l2m12r1m22r2，r1r2l。5.卫星变轨问题：当卫星速度减小时，f向小于f万，卫星做近心运动而轨道下降，此时f万做正功，使卫星速度增大，变轨成功后可在低轨道上稳定运动；当卫星速度增大时，与此过程相反。研考向提能力_考向研析_掌握应试技能考向一天体质量及密度的计算1两条思路(1)利用中心天体的半径和表面的重力加速度g计算。由gmmr2mg求出

3、mgr2g，进而求得mvm43r33g4gr。- 3 -(2)利用环绕天体的轨道半径r和周期t计算。由gmmr2m42t2r，可得出m42r3gt2。若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动，轨道半径rr，则m43r33gt2。2两点提醒(1)利用gmmr2m42t2r只能计算中心天体的质量，不能计算绕行天体的质量。(2)注意区分轨道半径r和中心天体的半径r，计算中心天体密度时应用m43r3而不是m43r3。典例 1(2020浙江省名校联合体高三下学期 3 月第二次联考)2020 年，我国将一次实现火星的“环绕、着陆、巡视”三个目标。假设探测器到达火星附近时，先在高度恰好等于火星半径的轨道上环绕

4、火星做匀速圆周运动， 测得运动周期为t， 之后通过变轨、 减速落向火星。探测器与火星表面碰撞后，以速度v竖直向上反弹，经过时间t再次落回火星表面。不考虑火星的自转及火星表面大气的影响，已知万有引力常量为g，则火星的质量m和火星的半径r分别为()amv3t41284gt3，rvt2162tbmv3t21284gt3，rvt2162tcmv3t41 0244gt3，rvt2322tdmv3t41 0244gt2，rvt322t解析探测器与火星表面碰撞后，以速度v竖直向上反弹，经过时间t再次落回火星表面，则火星表面的重力加速度g2vt，根据万有引力定律，对火星表面的物体有gmm0r2m0g，探测器在

5、高度恰好等于火星半径的轨道上环绕火星做匀速圆周运动周期为t，则gmm（2r）2m42t22r，联立解得rvt2162t，mv3t41284gt3，故 a 正确，b、c、d 错误。答案a- 4 -1. (2020四川成都高三诊断)2019 年 1 月 3 日上午，“嫦娥四号”顺利着陆月球背面，成为人类首颗成功软着陆月球背面的探测器(如图所示)。已知地球和月球的半径之比为rr0a，表面重力加速度之比为gg0b，则地球和月球的密度之比为0为()a.abbbac.abdba解析：设星球的密度为，由gmmr2mg得gmgr2，mvm43r3，联立解得3g4gr，则0grr0g0ba，b 正确。答案：b2

6、为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量。已知地球半径为r，地球质量为m，太阳与地球中心间距为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为t，则太阳的质量为()a.42r3t2r2gbt2r2g42mr3c.42mgr2r3t2d42mr3t2r2g解析：对绕太阳公转的地球，根据万有引力定律得gmmr2m42t2r，根据地球表面的万有引力近似等于重力，对地球表面物体m有gmmr2mg，两式联立得m42mr3t2r2g，d 正确。答案：d3(多选)(2020江西南昌模拟)下表是一些有关火星和地球的数据，利用万有引力常量g和表中选择的一些信息可以完成的估算是()信息序号- 5 -信息内

7、容地球一年约365 天地表重力加速度约为 9.8m/s2火星的公转周期为 687 天日地距离大约是 1.5 亿公里地球半径约 6400 kma.选择可以估算地球质量b选择可以估算太阳的密度c选择可以估算火星公转的线速度d选择可以估算太阳对地球的吸引力解析：由gmmr2mg，解得地球质量mgr2g，所以选择可以估算地球质量，选项 a 正确；gmmr2mr(2t)2，解得m42r3gt2，所以选择可以估算太阳的质量，由于不知太阳半径(太阳体积)，因而不能估算太阳的密度，选项 b 错误；根据开普勒定律，选择可以估算火星公转轨道半径r，火星公转的线速度vr2tr，选项 c 正确；选择可以估算地球围绕太

8、阳运动的加速度，由于不知地球质量，不能估算太阳对地球的吸引力，选项 d 错误。答案：ac考向二卫星运行参数的分析1一种模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。2两条思路(1)万有引力提供向心力，即gmmr2mamv2rm2rm42t2r。(2)天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即gmmr2mg或gmgr2(r、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gmgr2应用广泛，被称为“黄金代换式”。3两种特殊卫星(1)近地卫星轨道半径等于地球半径。卫星所受万有引力fmg。卫星向心加速度ag。(2)同步卫星同

9、步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期。所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上。典例 2(2020山东济南区县联考)科学家预测银河系中所有行星的数量大概在 23 万亿之间。目前在银河系发现一颗类地行星，半径是地球半径的两倍，质量是地球质量的三倍。- 6 -卫星a、b分别绕地球、类地行星做匀速圆周运动，它们距中心天体表面的高度均等于地球的半径，则卫星a、b的()a线速度之比为 1 3b角速度之比为 32 2c周期之比为 2 2 3d加速度之比为 43解析设地球的半径为r，质量为m，则类地行星的半径为 2r，质量为 3m，卫星a的运动半径为ra2r，卫星b的运动半径为rb3r，万有引力充

10、当向心力，根据公式gmmr2mv2r，可得vagm2r，vbgmr，故线速度之比为 1 2，a 错误；根据公式gmmr2m2r，可得agm（2r）3，b3gm（3r）3， 故角速度之比为 32 2， 根据t2可得周期之比为 2 23，b 正确，c 错误；根据公式gmmr2ma，可得aagm（2r）2，ab3gm（3r）2，故加速度之比为 34，d 错误。答案b规律总结做圆周运动的卫星运行参量与轨道半径的四个关系gmmr2maagmr2a1r2mv2rvgmrv1rm2rgmr31r3m42t2rt42r3gmtr3越高越慢4. (多选)2020 年 6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫

11、星成功发射。北斗系统空间段由若干地球静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星和中圆地球轨道卫星组成。如图所示，地球静止轨道卫星a与倾斜地球同步轨道卫星b距地面高度均约为 36 000 km，中圆轨道卫星c距地面高度约为 21 500 km。已知地球静止轨道卫星a与中圆轨道卫星c质量相同，引力势能公式为epgmmr。下列说法正确的是()- 7 -aa与b运行的周期相同ba与b受到的向心力大小相同c正常运行时a比c的动能小d正常运行时a比c的机械能大解析：地球静止轨道卫星a与倾斜地球同步轨道卫星b距地面高度均约为 36 000 km，两者轨道半径大小相等，根据开普勒第三定律得t2at2br3ar3b，可

12、知a与b运行的周期相同，选项 a 正确；题述没有给出地球静止轨道卫星a与倾斜地球同步轨道卫星b的质量关系，由万有引力提供向心力得f向gmmr2，可知a与b受到的向心力大小不一定相同，选项 b 错误；地球静止轨道卫星a距地面高度约为 36 000 km，中圆轨道卫星c距地面高度约为 21 500 km，可知地球静止轨道卫星a的轨道半径大于中圆轨道卫星c的轨道半径， 由万有引力提供向心力有gmmr2mv2r，解得vgmr，所以a比c运行的线速度小，根据动能公式ek12mv2，可知正常运行时a比c的动能小，卫星正常运行时的机械能e12mv2epgmm2rgmmrgmmr，则正常运行时a比c的机械能大

13、，选项 c、d 正确。答案：acd5(2019高考天津卷)2018 年 12 月 8 日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为m、半径为r，探测器的质量为m，引力常量为g，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的()a周期为42r3gmb动能为gmm2r- 8 -c角速度为gmr3d向心加速度为gmr2解析：探测器绕月球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有gmmr2m(2t)2r，解得周期t42r3gm，a 对；由gmmr2mv2r知，动能ek12mv2gmm2r，b

14、错；由gmmr2mr2得，角速度gmr3，c 错；由gmmr2ma得，向心加速度agmr2，d 错。答案：a6(2020浙江 7 月选考)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为 32，则火星与地球绕太阳运动的()a轨道周长之比为 23b线速度大小之比为 3 2c角速度大小之比为 2 23 3d向心加速度大小之比为 94解析：轨道周长c2r，与半径成正比，故轨道周长之比为 32，a 错误；由万有引力提供向心力，gmmr2mv2r，得vgmr，得v火v地r地r火23，b 错误；由万有引力提供向心力，gmmr2m

15、2r，得gmr3，所以火地r3地r3火2 23 3，c 正确；由gmmr2ma得agmr2，得a火a地r2地r2火49，d 错误。答案：c7(2020山西大同十九中高三下学期 3 月线上模拟)已知同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为r，则下列比值正确的是()a.a1a2rrba1a2(rr)2c.v1v2rrdv1v2rr- 9 -解析：地球同步卫星的角速度和地球赤道上的物体随地球自转的角速度相同，由a12r，a22r得a1a2rr，故 a 正确，b 错误；对于地球同步卫星和以第一宇宙速度运动的

16、近地卫星，由万有引力提供做匀速圆周运动所需向心力得到gmmr2mv21r，gmmr2mv22r，解得v1v2rr，故 c、d错误。答案：a考向三卫星变轨问题1变轨实质：卫星变轨的运动模型是向心运动和离心运动。当由于某种原因卫星速度v突然增大时，有gmmr2mv2r，卫星将做向心运动。2五点注意(1)卫星的a、v、t是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化。(2)a、v、t均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定。(3)卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆周轨道上的运行速度变化由vgmr判断。(4)质量相同的航天器在不同轨道上运

17、行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。(5)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。典例 3(多选)(2020四川成都七中二诊)2020 年 3 月 9 日我国成功发射第 54 颗北斗导航卫星，意味着北斗全球组网仅差一步之遥。人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星从近地圆轨道的a点先变轨到椭圆轨道，然后在b点变轨进入地球同步轨道，则()a卫星在同步轨道上的运行速度小于 7.9 km/sb卫星在轨道上稳定运行时，经过a点时的速率比过b点时小c若卫星在、轨道上运行的周期分别为t1、t2、t3，则t1t2t3

18、d现欲将卫星由轨道变轨进入轨道，则需在b点通过点火减速来实现解析卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有gmmr2mv2r，得vgmr，可- 10 -知卫星运动半径r越大，运行速度v越小，所以卫星绕近地轨道运行时速度最大，即地球的最大环绕速度(7.9 km/s)，则卫星在同步轨道上的运行速度小于 7.9 km/s，选项 a 正确。卫星在轨道上从a向b运动过程中，万有引力对卫星做负功，动能逐渐减小，速率也逐渐减小，所以卫星在轨道上过a点时的速率比卫星在轨道上过b点时的速率大，选项 b 错误。设卫星在轨道上运行的轨道半径为r1、轨道的半长轴为r2、在轨道上运行的轨道半径为r3，根据图中几何

19、关系可知r1r2r3，又由开普勒第三定律有r3t2k，可得t1t2t3，选项 c 正确。卫星在b点要进入轨道必须加速做离心运动，所以卫星在b点通过点火加速可实现由轨道进入轨道，选项 d 错误。答案ac8. (多选)(2020福建龙岩高三上学期期末)2019 年 5 月 17 日 23 时 48 分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号丙运载火箭成功发射了第四十五颗北斗导航卫星。如图所示，先将卫星送入近地圆轨道，当卫星进入赤道上空p点时，控制火箭点火，使卫星进入椭圆轨道，卫星到达远地点q时，再次点火，卫星进入相对地球静止的轨道。下列说法正确的是()a卫星在轨道上的线速度大于在轨道上的线速度b卫星在轨

20、道上的运动周期等于在轨道上的运动周期c卫星在轨道通过p点的加速度等于在轨道通过p点的加速度d卫星在轨道通过q点的线速度小于在轨道通过q点的线速度解析：根据万有引力提供向心力可知gmmr2mv2r，解得线速度vgmr，轨道半径越大，线速度越小，所以卫星在轨道上的线速度大于在轨道上的线速度，故 a 正确；轨道的半径小于轨道半长轴的长度，根据开普勒第三定律可知，卫星在轨道上的运动周期小于在轨道上的运动周期，故 b 错误；卫星只受万有引力作用，同一位置，加速度相等，所以卫星在轨道通过p点的加速度等于在轨道通过p点的加速度，故 c 正确；卫星在轨道通过q点时，加速变轨到轨道，所以卫星在轨道通过q点的线速度小于在轨道通过q点的线速度，故 d 正确。- 11 -答案：acd9(多选)(2020江西南昌安义中学月考)2019 年 1 月 3 日 10 时 26 分，在反推发动机和着陆缓冲机构的“保驾护航”下，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面的预选着陆区。已知“嫦娥四号”的运行过程示意图如图所示，下列说法正确的是()a“嫦娥四号”的发射速度可以小于第一宇宙速度b“嫦娥四号”从地月转移轨道进入绕月椭圆轨道时必须减速c“嫦娥四号”在绕月轨道上运行时，轨道降低，周期减小d“嫦娥四号”在向月球着陆过程中始终处于失重状态解析：第一宇宙速度是最小的发射速度，“嫦娥四号”的发射速度一定大于第