届高考数学一轮复习曲线的参数方程及应用

1、了解曲线的参数方程的意义，掌握直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的参数方程并能灵活运用，理解直线和圆的参数的几何意义222222221()1 a111b111c111d11.11xcoscysinxyxyxyxy曲线 ：为参数的普通方程为c1() 2a bc 2. dxttty 方程为参数 表示的曲线是一条直线两条直线一条射线两条射线10202 . d2(22.)xttxttxyxx 对于，当解 时，当 时，则方程化为或，表示两条射线，析：故选1 5(21)(02 )5 a30 b20c10 3.d 250 xcospysinxyxyxyxy 若，为圆参数，的弦的中点，则该弦所在的直线方程为221

2、251,011 30a.cpxyckxy 圆的方程化为，则圆心为，所以，所以弦所在的直线的斜率为，所以解直线方程为，析：故选1,24 4. .圆心在，半径为 的圆的参数方程是14()24xcosysin 为参数22121 . 5 xyxyxy若实数 ， 满足，则的最大值为，最小值为221()21cos2sin 5115cos()11125.xcosxyysinxyxy 由，令为参解析：最大值为，最小值为数 ，所以，所以的_()1(xytttm xyxyt在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 ， 都是某个变数 的函数，即为参数 ，并且对于 的每一个允许值，由该方程组所确定的点，都在这条曲

3、线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 ，之间的变数 叫做参变数，简称参数相对于参数方程，前面学过的直接给出曲线上的点的坐标间关系的方程，叫做曲线的普通方程在曲线的参数参数方方程中程的定义，要明确参数的取值范围，这个范围决定了曲线的存在范围，并且两者要保持一致 1_.()2_2xy由参数方程化为普通方程消参数的方法有代入法、加减 或乘除 消元法、三角代换法等消参时应特别注意参数的取值范围对 ， 的限制由参数方程化为普通方程一般是唯一的由普通方程化为参数方程，参数选法各种各样，所以由普通方参数方程和普通方程的互化程化为参数方程是不唯一的 00000001() ()()()_|3.m

4、xyttmxym xym mt 标准式：经过点，倾斜角为的直线的参数方程为为参数 ，其中 是直线上的定点，到动点， 的直线参数方程的，即几种形式000000()()0()()0()()0.xyxytxyxytxyxytt当点 ，在点，的上方时， ；当点 ，在点，的下方时， ；当点 ， 与点，重合时，以上反之亦然由于直线的标准参数方程中 具有这样的几何意义，所以在解决直线与二次曲线相交的弦长和弦的中点问题时，用参数方程来解决方便了很多 0000 2() ()()()()txyabm xyxytatbtm xyxyxy点斜式：为参数 其中，表示该直线上的一点，表示直线的斜率当 ， 分别表示点，在

5、轴正方向与 轴正方向的分速度时， 就具有物理意义时间，相应的 ， 则表示点，在轴正方向、 轴正方向上相对，的位移 2220022221 () 21(0) () 4 xxyyrxyabab圆的参数方程为为参数 圆锥曲线的参数方椭圆 的参数方程为为参数程 22222231()42(0)2()2xyabxasecybtanypx pxpttypt 双曲线的参数方程为为参数 抛物线 的参数方程为为参数 1() 2(5)1xr cossinyr sincosxrsinyrcos 圆的渐开线的参数方程：是参数 圆的摆线的参数方渐开程：是和摆线参数线0000000 cossincossin cos sinx

6、xtyytm mxxatyybtxxryyrxayb ；消去参数；选参数；有向线段的数量；南；】；【要点指 22 111() 2()21123(1.)12ttxxsinttycostytxetetyete将下列参数方程化为普通方程：为参数 ；为参数 ；为参数例题型一题型一 参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化 222222222212sin 11cos21 2sin10111121 1 2( 11)0 xyxttxyxtyxxxyxtx 因为，因为，又由两式平解析方相加得，：所以即 22222211212211 3122 1(1)tttttttxeeet exyeeexyxe解析：

7、为即因，且， 参数方程与普通方程的互化必须充分注意探究方程的等价性，即互化前后坐标取值范围的评析：一致性 1212121212121212 ()222 ()22112xcoscysinxtctytcccccccccccccc已知曲线：为参数 ，曲线：为参数指出，各是什么曲线，并说明与公共点的个数；若把，上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线、，写出、的参数方程与公共点的个数和与公共点的个数是否相同？说明素材 ：你的理由 12221121211 0, 01.20.2011 cccxycrcxyxcccy是圆，是直线的普通方程为，圆心，半径的普通方程为因为圆心到直线的距离为，解析：所以与只

8、有一个公共点 122212221122222 () ()122412412 222 210(2 2)4 2 102cxcosxtctysinytcxycccccyxxx 压缩后的参数方程分别为：为参数 ；：为参数 化为普通方程为：，：，联立消元得，其判别式，解析：所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同 本题考查参数方程的有关概念及参数方程与普通方程的互化评析：等知识1()12.12xtttyttpyx 化参数方程为参数为普通方程例，并求出该曲线上的一点 ，使它到的距离为最小，并求此最小距离题型二题型二 参数方程的应用参数方程的应用 224.11()2103|1|.52 3

9、10.51 xyp ttpxyttttdtd 化参数方程为普通方程：设，则点 到直线的距离当 时，解析： 302 33312 31.|1| 2 3 412 312 332 3(12 315)33552 31.5 2tttttttddp 当 时，因为，所以所以，所以因为，所以 的解析：此最小值时点，为的坐标为 把曲线上点的坐标用参数式表示，将问题转化为一元函数求最值是简化问题的常评析：用方法 222222222. 111641421(0)xypqoopoqopoqxyabxaabpopapoe两点 、 在椭圆上，是原点若、的斜率之积为，求证：为定值椭圆 与 轴正向交于点 ，如果在这个椭圆上总存在

10、点 ，使，为原点，求离心率素材的取值范围 2222222222(4cos2sin)(4cos2sin)12214444coscossinsin0cos()02()16cos4sin16cos4sin16sin4 cos16cos4sin 1 opoqpqsinsinkkcoscoskkopoq z设，因为，所以，即，所以，则于解：是证明：析20，为定值 222222( cossin )11sincos (1 cos )121111(0)1212112 2(1)2 22opapp abkkbsinbsinbaacosaacosbcoscoscosasincoscoseee 设，依题意，所以，即，

11、所以，所以 ，得 ，解析：即离心率 的取值范围为， 1222 2,111641112|pllxyabcdpapbpa pbpcpd过且两两互相垂直的直线 ，分别交椭圆于 、 与 、 ；求的最值；求证备选例题：为定值 11222222()11164(cos4sin)(4cos8sin)8082 8242882421 321.a bllxtcostytsinxyttt tcossinpapbcossinsinpa pb 设直线 的倾斜角为 ，则 的参数方程为解析：所为参数 ，代入椭圆的方程中，整理得以的最大值为 ，最小，所以，值为所以 121222222(1 22)lllllalxtcostyts

12、in 证明：因为，不妨设 的倾斜角小于 的倾斜角，则 的倾斜角为，因此直线解析：的参数方程为为参数 ， 222221164(sin4cos)4(2cossin )8081 3211|1 321 325 8828c dxyaa taa tpc pdt tcospa pbpcpdsinsin代入椭圆的方程中，整理得，所以解析，所以，：为定值 | ababababpttttabttt要求 、 两点到 的距离之和或积，由参数的几何意义，即只要求或，求即求出，运用韦达定理和直线的参数方程中 的几何意义即可，是解决直线和二次曲线问题常用的方评析：法之一123参数方程与普通方程的互化一定要讲究方程的等价性在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解在直线与圆和圆锥曲线位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解222()31xttytxy求直线为参数 被双曲线所截得的弦长2222212121 2212121 22()132( 3 )124303224322410.2xttxyytttttttttt tttttt t 把为参数 代入，整理得，即