三章5节函数的分布ppt课件

1、1）第三章 随机变量及其分布3）在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函数的在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函数的分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的寿命分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的寿命分别为随机变量分别为随机变量 x,y ，它们相互独立同分布。我们，它们相互独立同分布。我们想知道系统寿命想知道系统寿命 z 的分布。的分布。),min(yxz ),max(yxz yxz 这就是求这就是求随机变量函数的分布问题。随机变量函数的分布问题。2）退 出前一页后一页目 录 第三章 随机变量及其分布5 多维多维随机变量函数的分布随机变量函数的分布一般情形求随机变量函数分布的方法一般情

2、形求随机变量函数分布的方法和的分布和的分布极值分布极值分布退 出前一页后一页目 录解题步骤（解题步骤（分布函数法分布函数法）：）： ，的的分分布布函函数数，先先求求随随机机变变量量函函数数zfyxgzz ，的的密密度度函函数数，再再求求随随机机变变量量函函数数zfzfyxgzzz 第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布一、一般情形问题一、一般情形问题(分布函数法分布函数法)已知二维随机变量（已知二维随机变量（x,y）的联合密度为）的联合密度为 f ( x , y ), g ( x , y ) 是二元连续函数，欲求随机变量是二元连续函数，欲求随机变量 z=g (x,y)的概率密度。的

3、概率密度。退 出前一页后一页目 录例例 1 的密度函数的密度函数，试求随机变量，试求随机变量令令，相互独立，相互独立，与与设随机变量设随机变量zyxznynxyx221010 解：解：由由题题意意，可可知知 数数为为的的联联合合密密度度函函，是是相相互互独独立立的的，所所以以，与与由由于于yxyx ,2122xexfxx第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布退 出前一页后一页目 录 ,2122yeyfyy yxeyxfyx，22221 的的分分布布函函数数为为所所以以，22yxz zzpzfz zyxp 22，则则若若0 z 0 zfz第三章 随机变量及其分布，则则若若0 z zy

4、xpzfz 22 zyxdxdyyxf22， zyxyxdxdye2222221 5 多维随机变量函数的分布例例 1（续）（续）退 出前一页后一页目 录则则有有，作作极极坐坐标标变变换换 sincosryrx zrzrdredzf0220221 zrrdre022第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布 000022zzrdrezfzrz的的密密度度函函数数为为所所以以，22yxz 00022zzzezfzz例例 1（续）（续）退 出前一页后一页目 录第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布例例 2 的密度函数的密度函数试求随机变量试求随机变量，令，令的指数分布的指数分布参

5、数为参数为，相互独立，相互独立，与与设随机变量设随机变量zyxzyuxyx2110 其他其他0011)()1 , 0(xxfux解：解： 000)y(1yyefyy的指数分布的指数分布参数参数 其他其他且且相互独立，相互独立，0100),(,xyeyxfyxy)()(),(zfzfzfzzzz 然后求解然后求解变量的分布函数变量的分布函数下面先求解下面先求解第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布 )(zfz)(zzp )2(zyxp 0)(, 0)1( zfzz )(, 10)2(zfzzdxdyyxfzyz 2020),(dxdyezyzy 2020)()(),(zfzfzfzz

6、zz 然后求解然后求解变量的分布函数变量的分布函数下面先求解下面先求解第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布 )(, 1)3(zfzzdydxyxfxz 1020),()()(zfzfzz )2(zyxp dydxexzy 1020？思考)2(zyxp二、和的分布二、和的分布第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布例例 2 y x 0 1 1 41 0 2 81 85 的的联联合合分分布布律律为为，设设二二维维离离散散型型随随机机变变量量yx的的分分布布律律，试试求求随随机机变变量量令令：zyxz 1）离散型随机变量和的分布）离散型随机变量和的分布退 出前一页后一页目 录

7、解解：的的取取值值为为yxz ,的取值知的取值知与与由于由于yx 1 zp 01 yxp，；41 2 zp 0211 yxpyxp，810 3 zp 12 yxp，第三章 随机变量及其分布. 3, 2, 1；81 ；85 的的分分布布律律为为由由此此得得yxz z 1 2 3 p 41 81 85 退 出前一页后一页目 录5 多维随机变量函数的分布例例 3的的分分布布律律机机变变量量，试试求求随随分分布布，令令的的与与参参数数为为相相互互独独立立，且且分分别别服服从从与与设设随随机机变变量量zyxzyx poisson21 解解：，的的取取值值都都是是与与由由随随机机变变量量210yx，的的取

8、取值值也也是是可可知知随随机机变变量量210yxz 而而且且， nzp nyxp 第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布 nkknykxp0，退 出前一页后一页目 录 nkknykxp0， nkknkeknek02121! nkknypkxp0 nkknkknke021!121 nkknkknknne021!21 第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布例例 3（续）（续）退 出前一页后一页目 录 nkknkkncne021!21 nne21!21 即，即， 21!21 ennzpn ，210 n第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布分分布布的的服服从从参参数

9、数为为poisson21 yxz分分布布，则则的的与与参参数数为为相相互互独独立立，且且分分别别服服从从与与若若随随机机变变量量poisson21 yx结论：结论：例例 3（续）（续）退 出前一页后一页目 录2）连续型随机变量和的分布）连续型随机变量和的分布 ，数为数为，其联合密度函，其联合密度函是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量，设设yxfyx，令令：yxz 的的密密度度函函数数下下面面计计算算随随机机变变量量zfyxzz 的的分分布布函函数数首首先先计计算算随随机机变变量量zfyxzz zzpzfz zyxp zyxdxdyyxf，第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布x

10、yox + y = z xzdyyxfdx，退 出前一页后一页目 录,xuy 作作变变换换：则有则有 zzduxuxfdxzf， dxxuxfduz，第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布 xzzdyyxfdxzf，)(的的密密度度函函数数为为导导，可可得得求求之之间间的的关关系系，上上式式对对由由分分布布函函数数与与密密度度函函数数yxzz zfzfzz dxxzxf，退 出前一页后一页目 录由于由于 x , y 的对称性可得的对称性可得 dyyyzfzfz，相相互互独独立立，则则有有与与特特别别地地，如如果果随随机机变变量量yx .yfxfyxfyx ，此此时时，我我们们有有

11、dxxzfxfzfyxz或者或者 dyyfyzfzfyxz第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布退 出前一页后一页目 录 的的卷卷积积，记记作作与与我我们们称称上上式式为为函函数数yfxfyx yfxfyx*：因因此此，我我们们有有以以下下结结论论卷卷积积：密密度度函函数数的的与与的的密密度度函函数数等等于于相相互互独独立立，则则它它们们的的和和与与如如果果随随机机变变量量yxyxzyx yfxfzfyxz* 第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布 dxxzfxfzfyxz dyyfyzfzfyxz退 出前一页后一页目 录例例 4解：解： 的密度函数的密度函数，试求随机

12、变量，试求随机变量均匀分布，令均匀分布，令上的上的，相互独立，都服从区间相互独立，都服从区间与与设随机变量设随机变量zyxzyx 10由由题题意意，可可知知 ., 0, 10, 1其其它它xxfx ., 0, 10, 1其其它它yyfy ，则有，则有的密度函数为的密度函数为设随机变量设随机变量zfyxzz dxxzfxfzfyxz第三章 随机变量及其分布 dxxzfxfzfyxz5 多维随机变量函数的分布退 出前一页后一页目 录, 20 zz，或或若若 . 0 zfz，若若10 z zzdxzf01. z 第三章 随机变量及其分布 dxxzfxfzfyxz10, 10 xzxxz0 xz1 x

13、z0112 111zzdxzf.2 z ，若若21 z的密度函数为的密度函数为综上所述，我们可得综上所述，我们可得yxz ., 0, 21,2, 10,其其它它zzzzzfz5 多维随机变量函数的分布例例 4（续）（续）退 出前一页后一页目 录 ., 0, 10, 1其其它它xxfx ., 0, 10, 1其其它它yyfy例例 5解解： 的的密密度度函函数数，试试求求随随机机变变量量的的指指数数分分布布，令令服服从从上上的的均均匀匀分分布布，服服从从区区间间相相互互独独立立，与与设设随随机机变变量量zyxzyxyx 110 由由题题意意，可可知知 ., 0, 10, 1其其它它xxfx . 0

14、, 0, 0,yyeyfyy ，则则有有的的密密度度函函数数为为设设随随机机变变量量zfyxzz dxxzfxfzfyxz第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布退 出前一页后一页目 录，若若0 z 0 zfz，若若10 z第三章 随机变量及其分布 , dxxzfxfzfyxz0, 10 xzx zxzzdxezf0)(1ze 1 zxzdxee0，若若1 z 10)(dxezfxzzzzee 1 10dxeexz5 多维随机变量函数的分布例例 5（续）（续）退 出前一页后一页目 录xz0 xz011的的密密度度函函数数为为综综上上所所述述，我我们们可可得得yxz 1101001ze

15、ezezzfzzzz第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布例例 5（续）（续）退 出前一页后一页目 录例例 6解：解： 的的密密度度函函数数，试试求求随随机机变变量量，令令，相相互互独独立立，与与设设随随机机变变量量zyxznynxyx 1010由由题题意意，可可知知 ，则有，则有的密度函数为的密度函数为设随机变量设随机变量zfyxzz dxxzfxfzfyxz ,2122xexfxfxyx dxeexzx222221 第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布退 出前一页后一页目 录，代入上式，有，代入上式，有则有则有，作积分变换作积分变换dxduzxu 222作作配配方

16、方法法，得得的的指指数数上上对对在在上上式式中中xe dxeezfzxzz22242121 dueezfuzz22222221221 2222221 ze ，这这表表明明，20 nz第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布例例6（续）（续）退 出前一页后一页目 录结结 论：论：相互独立，且相互独立，且与与如果随机变量如果随机变量yx ,211 ，nx，yxz 222 ，ny 222121 ，则则nz第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布退 出前一页后一页目 录 2iiinx ，结结论论：更更一一般般地地，我我们们有有如如下下相相互互独独立立，如如果果随随机机变变量量nxx

17、x21，令：令： niiixaz1 ni，21 niiiniiiaanz1221 ，则则个实常数，个实常数，为为，又又naaan21第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布退 出前一页后一页目 录第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布都都服服从从正正态态分分布布相相互互独独立立，且且如如果果随随机机变变量量yxyx,例例)9 , 2()4 , 1(nynx的的分分布布？求求：yx2 )40, 5(2nyx也也服服从从正正态态分分布布解解： ，令：令： niiixaz1 niiiniiiaanz1221 ，则则例例 9解：解： 是是否否相相互互独独立立？与与判判断断各各自自

18、的的边边缘缘分分布布律律，并并与与合合分分布布律律及及的的联联与与，试试求求随随机机变变量量，令令，相相互互独独立立，与与设设随随机机变变量量 yxyxppbypbxyxmaxmin1011，知知与与的的取取值值都都为为与与由由随随机机变变量量10yx yxyx，maxmin 与与的的取取值值也也为为10第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布四、极值分布四、极值分布退 出前一页后一页目 录第三章 随机变量及其分布 yxyx，maxmin 5 多维随机变量函数的分布例例 9（续）（续）退 出前一页后一页目 录 00 ，p 00 yxp， 00 ypxp 21p 10 ，p 0110

19、yxpyxp， 0110 ypxpypxp pp 12 01 ，p p 11 ，p 11 yxp， 11 ypxp2p 0 各各自自的的边边缘缘分分布布律律为为，与与的的联联合合分分布布律律及及与与随随机机变变量量 0 1 ip 0 21p pp 12 21p 1 0 2p 2p jp 21p 211p ，由由于于10 p所以，所以，第三章 随机变量及其分布不不独独立立与与这这表表明明，随随机机变变量量 5 多维随机变量函数的分布例例 9（续）（续）退 出前一页后一页目 录 001 ，p 22101pppp 例例 10解：解： 令：令：的分布函数为的分布函数为量，量，是独立的连续型随机变是独立

20、的连续型随机变，设设xfxxxxiin21 ，nnnxxxxxxxx21211maxmin 的的分分布布函函数数与与试试求求随随机机变变量量nxx1 ，的分布函数为的分布函数为设随机变量设随机变量xfx11第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布 的分布函数为的分布函数为随机变量随机变量xfxnn退 出前一页后一页目 录则则 xxpxfnn xxxxpn ，21max xxxxxxpn ，21 xxpxxpxxpn 21 xfini 1 第三章 随机变量及其分布5 多维随机变量函数的分布例例 10（续）（续）退 出前一页后一页目 录 xxpxf 11 xxxxpn ，21min xx

21、xxxxpn ，211 xxxxpn ，21min1第三章 随机变量及其分布 xxpxxpxxpn 211 xxpxxpxxpn 111121 xfini 1115 多维随机变量函数的分布例例 10（续）（续）退 出前一页后一页目 录例例 11解：解：的的密密度度函函数数的的寿寿命命的的指指数数分分布布，试试求求系系统统，它它们们都都服服从从参参数数为为的的寿寿命命为为并并联联而而成成，并并且且，个个相相互互独独立立的的子子系系统统是是由由设设系系统统zlxllllnliin 121 ，nxxxz21max 并联而成，故有并联而成，故有，个相互独立的子系统个相互独立的子系统是由是由由于系统由于系统nlllnl21的密度函数为的密度函数为因此因此的指数分布，的指数分布，服从参数为服从参数为的寿命的寿命又因为子系统又因为子系统iiixxl 第三章 随机变量及其分布 000 xxexfx 5 多维随机变