九节二次曲面

1、第九节第九节 二次曲面二次曲面二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面三元二次方程所表示的曲面.相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的截痕法截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面一、基本内容ozyx（一）椭球面（一）椭球面1222222 czbyax 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的

2、交线：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax图形有界，并且关于坐标面对称。图形有界，并且关于坐标面对称。椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆kz 同理与平面同理与平面 x=k 和和 y=k 的交线也是椭圆的交线也是椭圆. kzkccbykccax1)()(2222222222ck |当当k k由由0 0变到变到c c时时, ,椭圆由大变小椭圆由大变小, ,最后缩成一点。最后缩成一点。椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 1222222 czayax

3、旋转椭球面旋转椭球面12222 czax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z旋转椭球面与椭球面的区别：旋转椭球面与椭球面的区别：122222 czayx方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.kz )| (ck ,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(222222 kzkccayx截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为（二）抛物面（二）抛物面zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得一点，即坐标原点截得一点，

4、即坐标原点)0 , 0 , 0(o设设0, 0 qp原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.图形位于图形位于xoyxoy平面的上方，并关于平面的上方，并关于yozyoz及及zoxzox坐标面对称。坐标面对称。与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.kz kzqkypkx12222当当 k 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 z轴上轴上.)0( k与平面与平面 z=k (k0) 的交线为圆的交线为圆.当当k变动时，这种圆的变动时，这种圆的中心中心都在都在 z 轴上轴上.zqypx 2222（ 与与 同号）同号）pq双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：

5、用截痕法讨论：设设0, 0 qp图形如下：图形如下：xyzo（三）双曲面（三）双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( zxoy截得中心在原点截得中心在原点 的椭圆的椭圆.)0 , 0 , 0(o 012222zbyax与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz 当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz 122122221zzczbyax（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0( yxoz截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线. 012222yczax实轴与实轴与 轴相合，

6、轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.xz 122122221yybyczax双曲线的双曲线的中心中心都在都在 轴上轴上.y与平面与平面 的交线为双曲线的交线为双曲线.1yy )(1by ,)1(221by x实轴与实轴与 轴平行轴平行,z虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)2(221by z实轴与实轴与 轴平行轴平行,x虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)3(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.)0 , 0(b,0 byczax.0 byczax,)4(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.)0 , 0(b ,0 byczax.0 byczax（3）用坐标面）用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截)0( x