高中数学排列与组合

1、问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天的一项活动，其中加某天的一项活动，其中1 1名同学参加上午的名同学参加上午的活动，活动，1 1名同学参加下午的活动，有多少种不名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？同的选法？问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？加某天一项活动，有多少种不同的选法？236a 甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3情境创设情境创设从已知的从已知的3个不同个不同元素中每元素中每次取出次取出2个元素个元素 , ,并成一组并

2、成一组问题问题2从已知的从已知的3 个不同个不同元素中每元素中每次取出次取出2个元素个元素 , ,按照一定按照一定的顺序排的顺序排成一列成一列. .问题问题1排列排列组合组合有有顺顺序序无无顺顺序序 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个个不同元素中取出不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合 排列与组合的排列与组合的概念有什么共概念有什么共同点与不同点？同点与不同点？ 概念讲解概念讲解组合定义组合定义: :组合定义组合定义: : 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个个元素元素并成

3、一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个元素的一个个组合组合排列定义排列定义: : 一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m (mn) 个个元素，元素，按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，叫做从，叫做从 n 个不同元素个不同元素中取出中取出 m 个元素的一个个元素的一个排列排列. .共同点共同点: : 都要都要“从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素个元素” ” 不同点不同点: : 排列排列与元素的顺序有关，与元素的顺序有关， 而组合而组合则与元素的顺序无关则与元素的顺序无关. .概念讲解概念讲解思考一思考一: :ab

4、b与与b ba是相同的排列还是相同的组合是相同的排列还是相同的组合? ?为什么为什么? ?思考二思考二: :两个相同的排列有什么特点两个相同的排列有什么特点? ?两个相同的组合呢两个相同的组合呢? ?）元素相同；）元素相同；）元素排列顺序相同）元素排列顺序相同.元素相同元素相同概念理解概念理解 构造排列分成两步完成，先取后排；而构造构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤组合就是其中一个步骤.思考三思考三: :组合与排列有联系吗组合与排列有联系吗? ?判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题? ? (1)(1)设集合设集合a=a,b,c,d,e，则

5、集合，则集合a的含有的含有3 3个元素的子集有个元素的子集有多少个多少个? ?(2)(2)某铁路线上有某铁路线上有5 5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票车票? ? 有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题(3)10(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组, ,共有共有多少种分法多少种分法? ?组合问题组合问题(4)10(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候, ,共需握手共需握手多少次多少次? ?组合问题组合问题

6、(5)(5)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个游览个游览, ,有多少种不同的方法有多少种不同的方法? ?组合问题组合问题(6)(6)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个个, ,并确定这并确定这2 2个风景点的游览顺序个风景点的游览顺序, ,有多少种不同的方法有多少种不同的方法? ?排列问题排列问题组合问题组合问题组合是选择的结果，排列组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果是选择后再排序的结果.1.1.从从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是合分别是: :ab , ac , bc 2.2.已知已知4 4个元

7、素个元素a , b , c , d , ,写出每次取出两个元素的写出每次取出两个元素的所有组合所有组合. .ab c d b c d cd ab , ac , ad , bc , bd , cd(3(3个个) )(6(6个个) )概念理解概念理解 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的个元素的所有组合的个数，叫做从所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示. .mnc233c 246c 如如: :从从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是有组合个数是

8、: :如如: :已知已知4 4个元素个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个写出每次取出两个元素的所有组合个数是：元素的所有组合个数是：概念讲解概念讲解组合数组合数: : 是一个数，应该把它与是一个数，应该把它与“组合组合”区别开来区别开来 mnc1.写出从写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。四个元素中任取三个元素的所有组合。abc ， abd ， acd ， bcd .bcddcbacd组合排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd

9、 dbcbdc cdb dcb不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？你发现了你发现了什么什么?可分两步考虑：求p34ppc333434 34a求可分两步考虑：34 4c第一步，（）个；33 6a第二步，（）个；333.434 caa根据分步计数原理，334343aca从而mnc如何计算如何计算: :组合数公式组合数公式 排列与组合是有区别的，但它们又有联系排列与组合是有区别的，但它们又有联系根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到：因此：因此： 一般地，求从一般地，求从 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素的排个元素的排列数，可以分为以下列数

10、，可以分为以下2步：步： nm 第第1步，先求出从这步，先求出从这 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素个元素的组合数的组合数 mncnm第第2步，求每一个组合中步，求每一个组合中 个元素的全排列数个元素的全排列数 mnammmmnmnaca!121mmnnnnaacmmmnmn 这里 ，且 ，这个公式叫做 *nnm、nm 概念讲解概念讲解组合数公式组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmman nnnmcam 从从 n 个不同元中取出个不同元中取出m个元素的排列数个元素的排列数 mmmnmncaa!()!mnncm nm01.nc我们规定：概念讲解概念讲解例例1 1计算：计算： 47c

11、 710c32(3) , nnnca已知求例例2.2.甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁4 4支足球队举行单循环赛，支足球队举行单循环赛，(1)(1)列出所有各场比赛的双方；列出所有各场比赛的双方；（2)2)列出所有冠亚军的可能情况列出所有冠亚军的可能情况. .（2 2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲乙甲、丙甲丙甲、丁甲丁甲、丙乙丙乙、丁乙丁乙、丁丙丁丙(1) (1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：解：例题分析例题分析(4)(4)求求38-n3n3n21+nc+c的值.例3.11cmnmcmnmn:求证,! :）

12、（！证明mnmncmn)!1()!1(! 111mnmnmnmmnmcmn)!1)(! )!1(1mnmnnmm.! )( !cmnmnmn 例例1：一位教练的足球队共有：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是一个足球队的上场队员是11人。问：人。问： （1）这位教练从这）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上名学员中可以形成多少种学员上场方案？场方案？（2）如果在选出）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守名上场队员时，还要确定其中的守门员，

13、那么教练员有多少种方式做这件事情？门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？例例3.(1)3.(1)凸五边形有多少条对角线？凸五边形有多少条对角线？(2)(2)凸凸n n（ n3n3）边形有多少条对角线？）边形有多少条对角线？例例2.(1)2.(1)平面内有平面内有1010个点，以其中每个点，以其中每2 2个点为端点的线个点为端点的线段共有多少条？段共有多少条？ (2) (2)平面内有平面内有1010个点，以其中每个点，以其中每2 2个点为端点的有向个点为端点的有向线段共有多少条？线段共有多少条？例例4：在：在100件产品中有件产品中有98件合格品，件合格品，2件次品。产品件次品。产品检验时检验

14、时,从从100件产品中任意抽出件产品中任意抽出3件。件。(1)一共有多少种不同的抽法一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的抽出的3件中恰好有件中恰好有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?(4)抽出的抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？件中至多有一件是次品的抽法有多少种？说明：说明：“至少至少”“”“至多至多”的问题，通常用分类的问题，通常用分类法或间接法求解。法或间接法求解。按下列条件，从按下列条件，从12人中选出人中选出5人，有多少种不同选法？人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必

15、须当选；）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多）甲、乙、丙三人至多2人当选；人当选；（6）甲、乙、丙三人至少）甲、乙、丙三人至少1人当选；人当选；323936c c 0539126c c 1419126c c 1439378c c 231405393939(5)756c cc cc c方法一：5321239756cc c方法二：322314393939(6)666c cc cc c方法一：505123

16、9666cc c方法二：例例5 5、某医院有内科医生、某医院有内科医生1212名，外科医生名，外科医生8 8名，现要名，现要派派5 5人参加支边医疗队，至少要有人参加支边医疗队，至少要有1 1名内科医生和名内科医生和1 1名名外科医生参加，有多少种选法？外科医生参加，有多少种选法？例例6：（1）平面内有）平面内有9个点，其中个点，其中4个点在一条直线个点在一条直线上，此外没有上，此外没有3个点在一条直线上，过这个点在一条直线上，过这9个点可确个点可确定多少条直线？可以作多少个三角形？定多少条直线？可以作多少个三角形？（2）空间）空间12个点，其中个点，其中5个点共面，此外无任何个点共面，此外无

17、任何4个个点共面，这点共面，这12个点可确定多少个不同的平面？个点可确定多少个不同的平面？例例7 7、有翻译人员、有翻译人员1111名，其中名，其中5 5名仅通英语、名仅通英语、4 4名仅通名仅通法语，还有法语，还有2 2名英、法语皆通。现欲从中选出名英、法语皆通。现欲从中选出8 8名，其名，其中中4 4名译英语，另外名译英语，另外4 4名译法语，一共可列多少张不同名译法语，一共可列多少张不同的名单？的名单？例例8、8双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况：只，试求满足如下条件各有多少种情况：（1）4只鞋

18、子恰有两双；只鞋子恰有两双；（2） 4只鞋子没有成双的；只鞋子没有成双的；（3） 4只鞋子只有一双。只鞋子只有一双。2、从、从6位同学中选出位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。32328778.()()a cccc32328778.()()b cccc32328778.c c cc c3218711.dc c c3、要从、要从8名男医生和名男医生和7名女医生中选名女医生中选5人组成一个医疗队，如果人组成一个医疗队，如果其中至少有其中至少有2名男医生和至少有名男医生和至少

19、有2名女医生，则不同的选法种数名女医生，则不同的选法种数为（为（ ）4、从、从7人中选出人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ ）2353. ac a3353.2b c a35.c a233535.2d c aa1、把、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有法有 种种 。99cd5、在如图、在如图7

20、x4的方格纸上（每小方格均为正方形）的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？）其中有多少个正方形？排列排列组合组合组合的概念组合的概念组合数的概念组合数的概念组合是选择的组合是选择的结果，排列是结果，排列是选择后再排序选择后再排序的结果的结果联系联系小结小结一个口袋内装有大小相同的一个口袋内装有大小相同的7个白球和个白球和1个黑球个黑球 从口袋内取出从口袋内取出3个球，共有多少种取法？个球，共有多少种取法？ 从口袋内取出从口袋内取出3个球，使其中含有个球，使其中含有1 1个黑球，有个黑球，有多少种取法？多少种取法？ 从口袋内取出

21、从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少个球，使其中不含黑球，有多少种取法？种取法？5638c 2127c 3537c解：解：（1） 性质性质2 我们可以这样解释：我们可以这样解释：从口袋内的从口袋内的8个球中所取出的个球中所取出的3个球，可以分为个球，可以分为两类：一类两类：一类含有含有1个个黑球，一类不含黑球，一类不含有黑球因此根据分类计数原理，有黑球因此根据分类计数原理，上述等式成立上述等式成立 我们发现：我们发现：38c27c37c为什么呢为什么呢ccmnmn1 :证明)!1()!1(!)!( !mnmnmnmn)!1( !) 1( !mnmmnmnn)!1( !)1(mnmnmmn

22、!) 1(!)!1(mnmn.1cmncccmnmnmn11性质性质2 注注:1 公式特征：下标相同而上标差公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数的两个组合数之和，等于下标比原下标多之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数较大的相同的一个组合数 2 此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习习“二项式定理二项式定理”时，我们会看到它的主要应用时，我们会看到它的主要应用cccmnmnmn11例计算：例计算：329999( 1 ) ;cc332898( 2) .2ccc16170012398991003100

23、 c563828283838)(2ccccc;11111)1( ccccmnmnmnmn.21211)2( ccccmnmnmnmn例例2 求证求证:.111111)1(ccccccmnmnmnmnmnmn .)()(2121111111)2( ccccccccccmnmnmnmnmnmnmnmnmnmn例例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；）分给甲、乙、丙三人，每人两本；（2）分成三份，每份两本；）分成三份，每份两本；（3）分成三份，一份）分成三份，一份1本，一份本，一份2本，一份本，一份3本

24、；本；（4）分给甲、乙、丙）分给甲、乙、丙3人，一人人，一人1本，一人本，一人2本，一人本，一人3本；本；（5）分给甲、乙、丙）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；人，每人至少一本；（6）分给）分给5个人，每人至少一本；个人，每人至少一本；（7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。练习：练习：(1)今有今有10件不同奖品件不同奖品,从中选从中选6件分成三份件分成三份, 二份各二份各1件件,另一份另一份4件件, 有多少种分法有多少种分法?(2) 今有今有10件不同奖品件不同奖品,从中选从中选6件分给甲乙丙三人件分给甲乙丙三人,每每人二件有多少种分法

25、人二件有多少种分法?解解: (1)(2)641111062123150cccc62221064218900cccc例例4、某城新建的一条道路上有、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（盏灯，可以熄灭的方法共有（ ）（a） 种（种（b） 种种 （c） 种种 （d） 种种38c38a39c311c三、混合问题，先三、混合问题，先“组组”后后“排排”例例5 对某种产品的对某种产品的6件不同的正

26、品和件不同的正品和4件不同的次品件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第品恰好在第5次测试时全部发现次测试时全部发现,则这样的测试方法则这样的测试方法有种可能？有种可能？解：由题意知前解：由题意知前5次测试恰有次测试恰有4次测到次品，且第次测到次品，且第5次测试是次品。故有：次测试是次品。故有： 种可能。种可能。576441634acc练习：练习：1、某学习小组有、某学习小组有5个男生个男生3个女生，从中选个女生，从中选3名名男生和男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加

27、，则有不同参赛方法人参加，则有不同参赛方法_种种.解：采用先组后排方法解：采用先组后排方法:312353431080ccca2、3 名医生和名医生和 6 名护士被分配到名护士被分配到 3 所学校为学生所学校为学生体检体检,每校分配每校分配 1 名医生和名医生和 2 名护士名护士,不同的分配方不同的分配方法共有多少种法共有多少种?解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法一：先组队后分校（先分堆后分配）223364540c c a解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士生和护士.5401)()(24122613cccc四、分类组合四、分类组合,隔板处理隔板处理例例6、 从从6个学校中选出个学校中选出30名学生参加数学竞赛名学生参加数学竞赛,每每校至少有校至少有1人人,这样有几种选法这样有几种选法?分析分析:问题相当于把个问题相当于把个30相同球放入相同球放入6个不同盒