空间向量与空间角

1、卢氏一高分校卢氏一高分校 【学习目标】【学习目标】 1. 掌握利用向量方法求线线角、线面掌握利用向量方法求线线角、线面角、二面角的方法角、二面角的方法. 2.运用向量法求异面直线的夹角。运用向量法求异面直线的夹角。【重点】：利用向量方法求线面角和【重点】：利用向量方法求线面角和二面角的有关问题二面角的有关问题.【难点】：正确理解空间向量夹角与【难点】：正确理解空间向量夹角与空间角的区别与联系空间角的区别与联系.复习复习1：线面角的定义及范围：线面角的定义及范围（1）.当直线与平面平行或直线在平面当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面的夹角是内时，直线与平面的夹角是_；（2）当直线与平面垂

2、直时，直线与平）当直线与平面垂直时，直线与平面的夹角是面的夹角是_；因此，直线与平面的夹角的范围是因此，直线与平面的夹角的范围是_；复习复习2：二面角及二面角的平面角二面角及二面角的平面角的定义及范围的定义及范围（1）二面角的平面角的求法）二面角的平面角的求法:定定义法，义法，棱的垂面，棱的垂面，三垂线定三垂线定理。理。（2）范围）范围 ；复习复习3：两条异面直线所成的角的：两条异面直线所成的角的定义及范围定义及范围（1）如何求两条异面直线所成的）如何求两条异面直线所成的角？角？ 平移法平移法 （2）范围）范围 . 主要知识点：主要知识点：1.如何用向量法求两条异面直线所成的角？向量如何用向量

3、法求两条异面直线所成的角？向量夹角与两条异面直线所成的角的关系怎样夹角与两条异面直线所成的角的关系怎样? 2.如何用向量法求直线与平面所成的角？直线与如何用向量法求直线与平面所成的角？直线与平面所成的角与向量夹角的关系怎样平面所成的角与向量夹角的关系怎样?3如何用向量法求二面角的平面角？二面角的如何用向量法求二面角的平面角？二面角的平面角与平面法向量的夹角的关系怎样平面角与平面法向量的夹角的关系怎样?怎样怎样判断？判断？(小技巧小技巧)4.利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值范围与向量夹角的取值范围的区别，具体问题范围与向量夹角的取值范围的区别，具体

4、问题具体分析具体分析.【典型分析【典型分析 展示点评】展示点评】 例例1如图，在棱长为如图，在棱长为1的正方体的正方体 abcd-a1b1c1d 1 中，点中，点 e、f、g 分别为分别为 dd1 ，bd，bb1 的中点的中点. 求证：求证：ef cf ; 求求ef与与cg所成角的所成角的 余弦值；余弦值； 求求ce的长的长. 例例2 如图，正三棱柱如图，正三棱柱abc-a1b1c1的底面边长为的底面边长为a，侧棱长为，侧棱长为 a. 试建立适当的坐标系，写出试建立适当的坐标系，写出 点点a、b、a1、c1 的坐标。的坐标。 求求a c1与侧面与侧面abb1a1 所成的角所成的角. 21111

5、1111111111111 11 11111例例3.3.如如图图，长长方方体体abcd-a b c dabcd-a b c d 中中, ,点点e e、f f分分别别在在bbbb 、dddd 上上，且且aeaea ba b，afafa d.a d.(1)(1)求求证证：a ca c平平面面aef.aef.(2)(2)当当ab = 4ab = 4，ad = 3ad = 3，aa = 5aa = 5时时，求求平平面面aefaef与与平平面面d b bdd b bd所所成成的的角角的的余余弦弦值值。例例4 如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱abca1b1c1中，中，ac3，bc4，ab5，aa14.(1)证明：证明：acbc1；(